重積分的應(yīng)用課件

1、重積分的應(yīng)用,1,第四節(jié),一、立體體積,二、曲面的面積,三、物體的質(zhì)心,四、物體的轉(zhuǎn)動慣量,五、物體的引力,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,第九章,重積分的應(yīng)用,2,1. 能用重積分解決的實際問題的特點,所求量是,對區(qū)域具有可加性,從定積分定義出發(fā) 建立積分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界閉域上的整體量,3. 解題要點,畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、,定出積分限、計算要簡便,2. 用重積分解決問題的方法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,3,一、立體體積,曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面,則其體積為,占有空間有界域 的立體的體積為,機動 目錄 上頁 下頁

2、返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,4,任一點的切平面與曲面,所圍立體的體積 V .,解: 曲面,的切平面方程為,它與曲面,的交線在 xoy 面上的投影為,(記所圍域為D ),在點,例1. 求曲面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,5,例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的,內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.,解: 在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為,則立體體積為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,6,二、曲面的面積,設(shè)光滑曲面,則面積 A 可看成曲面上各點,處小切平面的面積 d A 無限積累而成.,設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素),則,機動 目錄 上頁 下頁 返回

3、 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,7,故有曲面面積公式,若光滑曲面方程為,則有,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,8,若光滑曲面方程為,若光滑曲面方程為隱式,則,則有,且,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,9,例3. 計算雙曲拋物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影為,則,出的面積 A .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,10,例4. 計算半徑為 a 的球的表面積.,解:,設(shè)球面方程為,球面面積元素為,方法2 利用直角坐標方程. (見書 P109),方法1 利用球坐標方程.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,11,三、物體的

4、質(zhì)心,設(shè)空間有n個質(zhì)點,其質(zhì)量分別,由力學(xué)知, 該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標,設(shè)物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù),則,公式 ,分別位于,為,為,即:,采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導(dǎo)出其質(zhì)心,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,12,將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點,例如,令各小區(qū)域的最大直徑,系的質(zhì)心坐標就近似該物體的質(zhì)心坐標.,的質(zhì)點,即得,此質(zhì)點,在第 k 塊上任取一點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,13,同理可得,則得形心坐標：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,14,若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄

5、片,(A 為 D 的面積),得D 的形心坐標:,則它的質(zhì)心坐標為,其面密度, 對 x 軸的 靜矩, 對 y 軸的 靜矩,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,15,例5. 求位于兩圓,和,的質(zhì)心.,解: 利用對稱性可知,而,之間均勻薄片,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,16,例6. 一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線,的方程為,內(nèi)儲有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解: 利用對稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，,采用柱坐標, 則爐壁方程為,因此,故,自重, 求它的質(zhì)心.,若爐,不計爐體的,其坐標為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,17,機動 目錄 上頁 下頁 返回

6、結(jié)束,重積分的應(yīng)用,18,四、物體的轉(zhuǎn)動慣量,設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù),該物體位于(x , y , z) 處的微元,因此物體 對 z 軸 的轉(zhuǎn)動慣量:,對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為,因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和,故,連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,19,類似可得:,對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量,對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量,對原點的轉(zhuǎn)動慣量,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,20,如果物體是平面薄片,面密度為,則轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,21,例7.求半徑為 a

7、的均勻半圓薄片對其直徑,解: 建立坐標系如圖,半圓薄片的質(zhì)量,的轉(zhuǎn)動慣量.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,22,解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,則,球體的質(zhì)量,例8.求均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量.,設(shè)球,所占域為,(用球坐標),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,23,G 為引力常數(shù),五、物體的引力,設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,物體對位于原點的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力,利用元素法,在上積分即得各引力分量:,其密度函數(shù),引力元素在三坐標軸上的投影分別為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,24,對 xoy 面上的平面薄片D ,它對原點處

8、的單位質(zhì)量質(zhì)點,的引力分量為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,25,例9.,設(shè)面密度為 ,半徑為R的圓形薄片,求它對位于點,解: 由對稱性知引力,處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.,。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,26,例10. 求半徑 R 的均勻球,對位于,的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.,解: 利用對稱性知引力分量,點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,27,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,28,作業(yè),P96 7，10 , 17 P116 1，3，6, 11, 13 , 14,習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,29,( t 為時間) 的雪堆在融化過程中,其,側(cè)面滿足方程,設(shè)長度單位為厘米,時間單位為小時,設(shè)有一高度為,已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比,(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小時? (2001考研),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題