立體幾何10道大題

1、立體幾何練習(xí)題1.四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面面，已知，.（1）設(shè)平面與平面的交線為，求證：；（2）求證：；（3）求直線與面所成角的正弦值.2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AD=AC=1，O為AC的中點(diǎn)，PO平面ABCD，PO=2，M為PD的中點(diǎn)。（1）證明：PB/平面ACM；（2）證明：AD平面PAC（3）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值。3. 如圖，四棱錐中，與都是等邊三角形（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值4.如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ACAD底面ABCD為梯形，ABDC，ABBC，PA=AB=BC=3，點(diǎn)E在棱PB上

2、，且PE=2EB（）求證：平面PAB平面PCB；（）求證：PD平面EAC；（）求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值5.如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直線，平面平面，且，且 （1）設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn)，在面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）求二面角的余弦值.6.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC側(cè)面A1ABB1，且AA1=AB=2（1）求證：ABBC；（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為，求銳二面角AA1CB的大小7.在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD（1）求證AB面VA

3、D；（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小8.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且BAD=，對(duì)角線AC與BD相交于O，OF平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2（） 求證：EFBC；（）求面AOF與平面BCEF所成銳二面角的正弦值9.如圖，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)（）求證：PBDM；（）求BD與平面ADMN所成的角10.如圖，在等腰梯形中，四邊形為矩形，平面平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面二面角的平面角為，試求的取值范圍.立體幾

4、何試卷答案（2）證明：連接AC， ，由余弦定理得， 6分取中點(diǎn)，連接，則. 面 8分（）如圖，以射線OA為軸，以射線OB為軸，以射線OS為軸，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系, B y SCA D2、試題解析：（1）證明：為AC的中點(diǎn)，即O為BD的中點(diǎn)，且 M為PD的中點(diǎn)，又平面ACM，平面ACM,所以PB/平面ACM。（2）證明：因?yàn)?，AD=AC，所以，所以,又PO平面ABCD，所以所以AD平面PAC。（3）取OD的中點(diǎn)為N，因?yàn)樗訫N平面ABCD，所以為直線AM與平面ABCD所成角。因?yàn)锳D=AC=1，所以所以又所以3.（1）證明見(jiàn)解析；（2）試題解析：（1）證明：過(guò)作平面于，連依題意，則又

5、為，故為的中點(diǎn)面，面面在梯形中，4.【解答】（）證明：PA底面ABCD，BC底面ABCD，PABC又ABBC，PAAB=A，BC平面PAB又BC平面PCB，平面PAB平面PCB（）證明：PCAD，在梯形ABCD中，由ABBC，AB=BC，得BAC=，DCA=BAC=，又ACAD，故DAC為等腰直角三角形，DC=AC=（AB）=2AB連接BD，交AC于點(diǎn)M，則=2連接EM，在BPD中， =2，PDEM，又PD/平面EAC，EM平面EAC，PD平面EAC（）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AP所在直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P

6、（0，0，3），E（0，2，1）設(shè)=（x，y，1）為平面AEC的一個(gè)法向量，則，=（3，3，0），=（0，2，1），解得x=，y=，=（，1）設(shè)=（x，y，1）為平面PBC的一個(gè)法向量，則，又=（3，0，0），=（0，3，3），解得x=0，y=1，=（0，1，1）（取PB中點(diǎn)為F，連接AF可證為平面PBC的一個(gè)法向量）cos，=|=，平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值為.注：以其他方式建系的參照給分5.（1）詳見(jiàn)解析；（2）.試題分析：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，證明平面，從而即為所求；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量后即可求解.試題解析：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則平面，

7、 為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為的中位線，又平面平面，平面平面，平面，6【解答】（本小題滿分14分）（1）證明：如右圖，取A1B的中點(diǎn)D，連接AD，因AA1=AB，則ADA1B 由平面A1BC側(cè)面A1ABB1，且平面A1BC側(cè)面A1ABB1=A1B。得AD平面A1BC，又BC平面A1BC，所以ADBC因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，則AA1底面ABC，所以AA1BC又AA1AD=A，從而B(niǎo)C側(cè)面A1ABB1，又AB側(cè)面A1ABB1，故ABBC（2）解：連接CD，由（1）可知AD平面A1BC，則CD是AC在平面A1BC內(nèi)的射影ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，則在等腰直角A1AB中，AA1=

8、AB=2，且點(diǎn)D是A1B中點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A作AEA1C于點(diǎn)E，連DE由（1）知AD平面A1BC，則ADA1C，且AEAD=AAED即為二面角AA1CB的一個(gè)平面角，且直角A1AC中：又，且二面角AA1CB為銳二面角，即二面角AA1CB的大小為7.【解答】證明：（1）由于面VAD是正三角形，設(shè)AD的中點(diǎn)為E，則VEAD，而面VAD底面ABCD，則VEAB又面ABCD是正方形，則ABAD，故AB面VAD（2）由AB面VAD，則點(diǎn)B在平面VAD內(nèi)的射影是A，設(shè)VD的中點(diǎn)為F，連AF，BF由VAD是正，則AFVD，由三垂線定理知BFVD，故AFB是面VAD與面VDB所成的二面角的平面角設(shè)正方形ABCD的

9、邊長(zhǎng)為a，則在RtABF中，AB=a，AF=a，tanAFB=故面VAD與面VDB所成的二面角的大小為8. 【解答】（本小題滿分12分）證明：（）四邊形ABCD為菱形ADBC，且BC面ADEF，AD面ADEF，BC面ADEF，且面ADEF面BCEF=EF，EFBC 解：（）FO面ABCD，F(xiàn)OAO，F(xiàn)OOB又OBAO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OF分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取CD的中點(diǎn)M，連OM，EM易證EM平面ABCD又BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各點(diǎn)坐標(biāo)：B（0，1，0），C（，0，0），D（0，1，0），F(xiàn)（0，0，），E（，），向量=（，），向量=（，1，0），向量，設(shè)面BCFE的法向量為：，得到，令時(shí)， =（1，1），面AOF的一個(gè)法向量，設(shè)面AOF與面BCEF所成的銳二面角為，則cos=，sin=故面AOF與面BCEF所成的銳二面角的正弦值為99如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)BC=1，則A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0）（）因?yàn)?0所以PBDM（）因?yàn)?0所以PBAD又PBDM因此的余角即是BD與