拋物線中等腰直角三角形存在性問題

1、拋物線中等腰直角三角形存在性問題直角坐標系中的等腰直角三角形，兩種常見輔助線做法思考：在等腰RtABC和等腰RtABP中，求出下圖中點C和點P的坐標. 在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax2經(jīng)過點B（1）求點B的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由【考點】HF：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】16：壓軸題【分析】（1）根據(jù)題意，過點B作BDx軸，垂足為D

2、；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標；（2）根據(jù)拋物線過B點的坐標，可得a的值，進而可得其解析式；（3）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案【解答】解：（1）過點B作BDx軸，垂足為D，BCD+ACO=90，ACO+CAO=90，BCD=CAO，（1分）又BDC=COA=90，CB=AC，BCDCAO，（2分）BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）點B的坐標為（3，1）；（4分）（2）拋物線y=ax2+ax2經(jīng)過點B（3，1），則得到1=9a3a2，（5分）解得a=，所以拋物線的解析式為y=x2+x2；（7分）（3）假設(shè)存在點P，使

3、得ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：若以點C為直角頂點；則延長BC至點P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，（8分）過點P1作P1Mx軸，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC（10分）CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點P1（1，1）；（11分）若以點A為直角頂點；則過點A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，（12分）過點P2作P2Ny軸，同理可證AP2NCAO，（13分）NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點P2（2，1），（14分）以A為直角頂點的等腰RtACP的頂點P有兩種情況即過點A作直線LAC，在直線L上截取AP=AC時，點P可能在y軸右側(cè)，即現(xiàn)在解答情況的點P2；點P也可能在y軸左側(cè)，即還有第種情況的點P3因此，然后過P3作P3Gy軸于G，同理：AGP3CAO，GP3=OA=2，AG=OC=1，P3為（2，3）；經(jīng)檢驗，點P1（1，1）與點P2（2，1）都在拋物線y=x2+x2上，點P3（2，3）不在拋物線上（16分）【點評】本題考查學生將二次