數(shù)值分析試卷及答案

1、二1 求A的LU分解，并利用分解結(jié)果求解 由緊湊格式故 從而 故2 求證：非奇異矩陣不一定有LU分解證明 設(shè)非奇異，要說明A不一定能做LU分解，只需舉出一個反例即可?，F(xiàn)考慮矩陣，顯然A為非奇異矩陣。若A有LU分解，則故，而，顯然不能同時成立。這矛盾說明A不能做LU分解，故只假定A非奇異并不能保證A能做LU分解，只有在A的前階順序主子式時才能保證A一定有LU分解。3 用追趕法求解如下的三對角方程組解 設(shè)有分解由公式其中分別是系數(shù)矩陣的主對角線元素及其下邊和上邊的次對角線元素，故有從而有故 ，故 ，4 設(shè)A是任一階對稱正定矩陣，證明是一種向量范數(shù)證明 （1）因A正定對稱，故當(dāng)時，而當(dāng)時，（2）對任

2、何實(shí)數(shù)，有（3）因A正定，故有分解，則故對任意向量和，總有綜上可知，是一種向量范數(shù)。5 設(shè)，已知方程組的精確解為（1）計算條件數(shù)；（2）若近似解，計算剩余；（3）利用事后誤差估計式計算不等式右端，并與不等式左邊比較，此結(jié)果說明了什么？解 （1）（2）（3）由事后誤差估計式，右端為而左端 這表明當(dāng)A為病態(tài)矩陣時，盡管剩余很小，誤差估計仍然較大。因此，當(dāng)A病態(tài)時，用大小作為檢驗解的準(zhǔn)確度是不可靠的。6 矩陣第一行乘以一數(shù)成為，證明當(dāng)時，有最小值證明 設(shè)，則又 故 從而當(dāng)時，即時，有最小值，且7 討論用雅可比法和高斯-賽德爾法解方程組時的收斂性。如果收斂，比較哪一種方法收斂較快，其中 解 對雅可比方

3、法，迭代矩陣 ，故雅可比法收斂。對高斯-賽德爾法，迭代矩陣，故高斯-賽德爾法收斂。因=故高斯-賽德爾法較雅可比法收斂快。8 設(shè)，求解方程組，求雅可比迭代法與高斯-賽德爾迭代法收斂的充要條件。解 雅可比法的迭代矩陣 ，故雅可比法收斂的充要條件是。高斯-賽德爾法的迭代矩陣，故高斯-賽德爾法收斂的充要條件是。9 設(shè)求解方程組的雅可比迭代格式為，其中，求證：若，則相應(yīng)的高斯-賽德爾法收斂。證明 由于是雅可比法的迭代矩陣，故 又，故，即，故故系數(shù)矩陣A按行嚴(yán)格對角占優(yōu)，從而高斯-賽德爾法收斂。10 設(shè)A為對稱正定矩陣，考慮迭代格式求證：（1）對任意初始向量， 收斂； （2）收斂到的解。證明 （1）所給格

4、式可化為這里存在是因為，由A對稱正定，故也對稱正定。設(shè)迭代矩陣的特征值為，為相應(yīng)的特征向量，則與做內(nèi)積，有因正定，故，從而，格式收斂。（2） 設(shè)收斂到，則即，即收斂到的解。三1 設(shè)且求證：證明 以和為插值節(jié)點(diǎn)建立的不超過一次的插值多項式應(yīng)用插值余項公式有 2 求一個次數(shù)不高于4次的多項式，使它滿足解法一（待定參數(shù)法） 滿足的Hermite插值多項式為設(shè)，令得于是解法二（帶重節(jié)點(diǎn)的Newton插值法） 建立如下差商表這樣可以寫出Newton插值公式 3 設(shè)，在上取，按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)，計算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處與的值，并估計誤差解 步長，在區(qū)間上的線性插值函數(shù) 分段線性插值函數(shù)定義如下， 各區(qū)

5、間中點(diǎn)的函數(shù)值及插值函數(shù)值如表所示估計誤差：在區(qū)間上 而令得的駐點(diǎn)，于是故有結(jié)論， 右端與無關(guān)，于是有， 四1 確定參數(shù)和，使得積分取得最小值，并計算該最小值解 本題實(shí)質(zhì)上是求，關(guān)于權(quán)函數(shù)的二次最佳平方逼近多項式選切比雪夫多項式為基函數(shù)進(jìn)行計算：于是得的二次最佳平方逼近多項式 進(jìn)而有參數(shù)最小值就是平方誤差： 2 對彗星1968Tentax的移動在某個極坐標(biāo)系下有如表所示的觀察數(shù)據(jù)假設(shè)忽略來自行星的干擾，坐標(biāo)應(yīng)滿足其中為參數(shù)，為離心率，試用最小二乘法擬合和，并給出平方誤差解 由于關(guān)于參數(shù)和是非線性的，變形為，這樣有下表的數(shù)據(jù)記，得擬合模型求解法方程組得 進(jìn)而有，擬合方程為平方誤差為3 求函數(shù)在指

6、定區(qū)間上關(guān)于的最佳平方逼近多項式解 對做線性變換，即利用勒讓德正交多項式為基建立的一次最佳平方逼近多項式的最佳平方逼近為五1 確定中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度。解 令，代入公式兩端并令其相等，得解得 令，得令，得故求積公式具有3次代數(shù)精確度。2 計算積分，若復(fù)化梯形公式，問區(qū)間應(yīng)分多少等份才能使截斷誤差不超過 ？若改用復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到同樣精確度，區(qū)間應(yīng)分多少等份？解 由于，故對復(fù)化梯形公式，要求即 。取，即將區(qū)間分為213等份時，用復(fù)化梯形公式計算，截斷誤差不超過。用復(fù)化辛普森公式，要求即。取，即將區(qū)間等分為8等份時，復(fù)化辛普森公式可達(dá)精度。3 確

7、定求積公式中的系數(shù)，使代數(shù)精確度盡量高，并給出的表達(dá)式。公式中。解 這是一個帶權(quán)的且?guī)?dǎo)數(shù)值的求積公式。為了積分方便，設(shè)該求積公式對準(zhǔn)確成立，得化簡得解得又因為故求積公式具有3次代數(shù)精確度。下面估計求積公式的余項。設(shè)在上三次插值多項式為，即滿足。因前述求積公式具有3次代數(shù)精確度，故它對于是準(zhǔn)確成立的，且因此有注意到在上不變號，故余項4 已知。（1）推導(dǎo)以這3個點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)在上的插值型求積公式；（2）指明求積公式所具有的代數(shù)精確度；（3）用所求公式計算。解 （1）過這3個點(diǎn)的插值多項式故其中故所求的插值型求積公式為（2）上述求積公式是由二次插值函數(shù)積分而來，故至少具有2次代數(shù)精確度。再將代入上

8、述求積公式，有故上述求積公式具有3次代數(shù)精確度。（3）由于該求積公式具有3次代數(shù)精確度，從而為的精確度。5設(shè)。求證：（1）（2）（提示：直接使用泰勒展開即可得證）七1 對于迭代函數(shù)，試討論：（1） 當(dāng)為何值時，產(chǎn)生的序列收斂于；（2） 取何值時收斂最快？（3） 分別取計算的不動點(diǎn)，要求解 （1），根據(jù)定理7.3，當(dāng)，亦即時迭代收斂。（2）由定理7.4知，當(dāng)，即時迭代至少是二階收斂的，收斂最快。（3）分別取，并取，迭代計算結(jié)果如表7-4所示。01612131.21.481.1.1.012341.21.1.1.1.此時都達(dá)到。事實(shí)上，2（牛頓迭代法收斂性定理）設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足條件（1

9、）；（2）在上；（3）滿足。則由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列單調(diào)收斂于在內(nèi)的唯一實(shí)根，并且是平方收斂的。證明 因在上連續(xù)，由條件（1）知，方程在內(nèi)有根。又由條件（2）知在上恒正或恒負(fù)，所以在上嚴(yán)格單調(diào)，因而是在內(nèi)的唯一實(shí)根。條件（1）（2）共有四種情形：（1）（2）（3）（4）僅就（1）進(jìn)行定理證明，其余三種情況證明方法類似。由，可知，再由知單增且。又由牛頓迭代法知由臺勞展開的其中介于，之間。利用得由以及前面證明的有一般地，設(shè)，則必有且再由臺勞及，得根據(jù)歸納法原理數(shù)列單調(diào)下降有下界，因此有極限。設(shè)，對迭代式兩端取的極限，并利用，的連續(xù)性知即。由上述證明知，有關(guān)系式，即對于單根，牛頓迭代法是平方收斂的。3 給定函數(shù)，對于一切，存在且，