計(jì)數(shù)方法與技巧綜合學(xué)生版

1、計(jì)數(shù)方法與技巧綜合知識(shí)框架圖7 計(jì)數(shù)綜合7-6 計(jì)數(shù)方法與技巧綜合7-6-1歸納法7-6-2整體法7-6-3對(duì)應(yīng)法7-6-3-1圖形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系7-6-3-2數(shù)字問題中的對(duì)應(yīng)關(guān)系7-6-3-3對(duì)應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法7-6-3-4不完全對(duì)應(yīng)關(guān)系7-6-4遞推法教學(xué)目標(biāo)前面在講加法原理、乘法原理、排列組合時(shí)已經(jīng)穿插講解了計(jì)數(shù)中的一些常用的方法，比如枚舉法、樹形圖法、標(biāo)數(shù)法、捆綁法、排除法、插板法等等，這里再集中學(xué)習(xí)一下計(jì)數(shù)中其他常見的方法，主要有歸納法、整體法、對(duì)應(yīng)法、遞推法對(duì)這些計(jì)數(shù)方法與技巧要做到靈活運(yùn)用例題精講模塊一、歸納法從條件值較小的數(shù)開始，找出其中規(guī)律，或找出其中的遞推數(shù)量關(guān)系，歸納出一般

2、情況下的數(shù)量關(guān)系【例 1】 一條直線分一個(gè)平面為兩部分兩條直線最多分這個(gè)平面為四部分問5條直線最多分這個(gè)平面為多少部分?（6級(jí)）【鞏固】平面上5條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？平面上100條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？（6級(jí)）【例 2】 平面上10個(gè)兩兩相交的圓最多能將平面分割成多少個(gè)區(qū)域？（8級(jí)）【例 3】 個(gè)三角形最多將平面分成幾個(gè)部分？（8級(jí)）【例 4】 一個(gè)長方形把平面分成兩部分，那么3個(gè)長方形最多把平面分成多少部分？（8級(jí)）【例 5】 在平面上畫5個(gè)圓和1條直線，最多可把平面分成多少部分?（10級(jí)）【例 6】 在一個(gè)西瓜上切刀，最多能將瓜皮切成多少片？（8級(jí)）【例 7】 在一大

3、塊面包上切刀最多能將面包切成多少塊（注：面包是一個(gè)立體幾何圖形，切面可以是任何方向）（10級(jí)）模塊二、整體法解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，有時(shí)要“化整為零”，使問題變得簡(jiǎn)單；有時(shí)反而要從整體上來考慮，從全局、從整體來研究問題，反而有利于發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系【例 8】 一個(gè)正方形的內(nèi)部有1996個(gè)點(diǎn)，以正方形的4個(gè)頂點(diǎn)和內(nèi)部的1996個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，將它剪成一些三角形問：一共可以剪成多少個(gè)三角形?如果沿上述這些點(diǎn)中某兩點(diǎn)之間所連的線段剪開算作一刀，那么共需剪多少刀?（8級(jí)）【鞏固】在三角形內(nèi)有100個(gè)點(diǎn)，以三角形的頂點(diǎn)和這100點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把三角形剖分成多少個(gè)小三角形？（8級(jí)）【例 9】 在一個(gè)六邊形紙片內(nèi)有個(gè)點(diǎn)，

4、以這個(gè)點(diǎn)和六變形的個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，最多能剪出_個(gè)（8級(jí)）模塊三、對(duì)應(yīng)法將難以計(jì)數(shù)的數(shù)量與某種可計(jì)量的事物聯(lián)系起來，只要能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么這兩種事物在數(shù)量上是相同的事實(shí)上插入法和插板法都是對(duì)應(yīng)法的一種表現(xiàn)形式一、圖形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【例 10】 在88的方格棋盤中，取出一個(gè)由三個(gè)小方格組成的“L”形（如圖），一共有多少種不同的方法？（6級(jí)） 【例 11】 在88的黑白相間染色的國際象棋棋盤中，以網(wǎng)格線為邊的、恰包含兩個(gè)白色小方格與一個(gè)黑色小方格的長方形共有多少個(gè)？（6級(jí)）【鞏固】 用一張如圖所示的紙片蓋住方格表中的四個(gè)小方格，共有多少種不同的放置方法？（6級(jí)） 【例 12】 圖中可數(shù)出

5、的三角形的個(gè)數(shù)為 （8級(jí)）【例 13】 如圖所示，在直線上有7個(gè)點(diǎn)，直線上有9個(gè)點(diǎn)以上的點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)、上的點(diǎn)為另一個(gè)端點(diǎn)的所有線段中，任意3條線段都不相交于同一個(gè)點(diǎn)，求所有這些線段在與之間的交點(diǎn)數(shù)（8級(jí)）二、數(shù)字問題中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【例 14】 有多少個(gè)四位數(shù)，滿足個(gè)位上的數(shù)字比千位數(shù)字大，千位數(shù)字比百位大，百位數(shù)字比十位數(shù)字大？（8級(jí)）【鞏固】 三位數(shù)中，百位數(shù)比十位數(shù)大，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)有多少個(gè)？（8級(jí)）【例 15】 數(shù)3可以用4種方法表示為一個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的和，如3，問：1999表示為一個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的和的方法有多少種？（8級(jí)）【例 16】 （2008年國際小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）請(qǐng)問至少出現(xiàn)一個(gè)

6、數(shù)碼3，并且是3的倍數(shù)的五位數(shù)共有多少個(gè)？（8級(jí)）三、對(duì)應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法【例 17】 游樂園的門票1元1張，每人限購1張現(xiàn)在有10個(gè)小朋友排隊(duì)購票，其中5個(gè)小朋友只有1元的鈔票，另外5個(gè)小朋友只有2元的鈔票，售票員沒有準(zhǔn)備零錢問有多少種排隊(duì)方法，使售票員總能找得開零錢？（10級(jí)）【例 18】 （年第一屆“學(xué)而思杯”五年級(jí)試題）學(xué)學(xué)和思思一起洗個(gè)互不相同的碗（順序固定），思思洗好的碗一個(gè)一個(gè)往上摞，學(xué)學(xué)再從最上面一個(gè)一個(gè)地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學(xué)學(xué)一邊拿，那么學(xué)學(xué)摞好的碗一共有 種不同的摞法（10級(jí)）【例 19】 (第七屆走美試題)一個(gè)正在行進(jìn)的8人隊(duì)列，每人身高各不相同，按從低到高

7、的次序排列，現(xiàn)在他們要變成并列的2列縱隊(duì)，每列仍然是按從低到高的次序排列，同時(shí)要求并排的每?jī)扇酥凶筮叺娜吮扔疫叺娜艘?，那么?列縱隊(duì)有 種不同排法（10級(jí)）【鞏固】將112這12個(gè)數(shù)填入到2行6列的方格表中，使得每行右邊比左邊的大，每一列上面比下面的大，共有多少種填法？（10級(jí)）四、不完全對(duì)應(yīng)關(guān)系【例 20】 圓周上有12個(gè)點(diǎn)，其中一個(gè)點(diǎn)涂紅，還有一個(gè)點(diǎn)涂了藍(lán)色，其余10個(gè)點(diǎn)沒有涂色，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多邊形中，其頂點(diǎn)包含了紅點(diǎn)及藍(lán)點(diǎn)的多邊形稱為雙色多邊形；只包含紅點(diǎn)(藍(lán)點(diǎn))的多邊形稱為紅色(藍(lán)色)多邊形不包含紅點(diǎn)及藍(lán)點(diǎn)的稱無色多邊形試問，以這12個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有凸多邊形(邊數(shù)可以從三角形到

8、12邊形)中，雙色多邊形的個(gè)數(shù)與無色多邊形的個(gè)數(shù)，哪一種較多？多多少個(gè)？（8級(jí)）【例 21】 有一類各位數(shù)字各不相同的五位數(shù)，它的千位數(shù)字比左右兩個(gè)數(shù)字大，十位數(shù)字也比左右兩位數(shù)字大另有一類各位數(shù)字各不相同的五位數(shù)，它的千位數(shù)字比左右兩個(gè)數(shù)字小，十位數(shù)字也比左右兩位數(shù)字小請(qǐng)問符合要求的數(shù)與，哪一類的個(gè)數(shù)多？多多少？（10級(jí)）【例 22】 用1元，2元，5元，10元四種面值的紙幣若干張(不一定要求每種都有)，組成99元有 種方法，組成101元有種方法，則 （10級(jí)）模塊四、遞推法對(duì)于某些難以發(fā)現(xiàn)其一般情形的計(jì)數(shù)問題，可以找出其相鄰數(shù)之間的遞歸關(guān)系，有了這一遞歸關(guān)系就可以利用前面的數(shù)求出后面未知的

9、數(shù)，這種方法稱為遞推法【例 1】 每對(duì)小兔子在出生后一個(gè)月就長成大兔子，而每對(duì)大兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來如果一個(gè)人在一月份買了一對(duì)小兔子，那么十二月份的時(shí)候他共有多少對(duì)兔子？（6級(jí)）【例 2】 樹木生長的過程中，新生的枝條往往需要一段“休息”時(shí)間供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝一棵樹苗在一年后長出一條新枝，第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)新枝；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則依次“休息”這在生物學(xué)上稱為“魯?shù)戮S格定律”那么十年后這棵樹上有多少條樹枝？（6級(jí)）【例 23】 一樓梯共10級(jí)，規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)，共有多少種不同走法？（8級(jí)）【鞏固】一樓梯

10、共10級(jí)，規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或三級(jí)，要登上第10級(jí)，共有多少種不同走法？（8級(jí)）【例 24】 12的小長方形(橫的豎的都行)覆蓋210的方格網(wǎng)，共有多少種不同的蓋法（8級(jí)）【例 25】 用的小長方形覆蓋的方格網(wǎng)，共有多少種不同的蓋法？（10級(jí)）【例 26】 有一堆火柴共12根，如果規(guī)定每次取13根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？（8級(jí)）【鞏固】 一堆蘋果共有8個(gè)，如果規(guī)定每次取13個(gè)，那么取完這堆蘋果共有多少種不同取法？（8級(jí)）【例 27】 有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想將10枚棋子全部拿完，共有多少種不同的拿法？（8級(jí)）【例 3】 如下圖，一只蜜蜂從處出發(fā)，回到家里處，每次只

11、能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆行，共有多少種回家的方法？（8級(jí)）【鞏固】小蜜蜂通過蜂巢房間，規(guī)定只能由小號(hào)房間進(jìn)入大號(hào)房間問小蜜蜂由房間到達(dá) 房間有多少種方法？（8級(jí)）【例 28】 如下圖，一只蜜蜂從A處出發(fā)，回到家里B處，每次只能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆行，共有多少種回家的方法？（8級(jí)）【例 4】 對(duì)一個(gè)自然數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則加1，如此進(jìn)行直到得數(shù)為1操作停止問經(jīng)過9次操作變?yōu)?的數(shù)有多少個(gè)？（8級(jí)）【例 29】 有20個(gè)石子，一個(gè)人分若干次取，每次可以取1個(gè)，2個(gè)或3個(gè)，但是每次取完之后不能留下質(zhì)數(shù)個(gè)，有多少種方法取完石子？（石子之間不作區(qū)分

12、，只考慮石子個(gè)數(shù)）（10級(jí)）【鞏固】有20個(gè)相同的棋子，一個(gè)人分若干次取，每次可取1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)或4個(gè)，但要求每次取之后留下的棋子數(shù)不是3或4的倍數(shù)，有種不同的方法取完這堆棋子. （10級(jí)）【例 30】 個(gè)人進(jìn)行籃球訓(xùn)練，互相傳球接球，要求每個(gè)人接球后馬上傳給別人，開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，第五次傳球后，球又回到甲手中，問有多少種傳球方法？（10級(jí)）【鞏固】五個(gè)人互相傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過次傳球后，球仍回到甲手中問：共有多少種傳球方式？（10級(jí)）【例 31】 (2009年清華附中考題)設(shè)、為正八邊形的相對(duì)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)處有一只青蛙，除頂點(diǎn)外青蛙可以從正八邊形的任一頂點(diǎn)跳到其相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)中任意一個(gè)，落到頂點(diǎn)時(shí)青蛙就停止跳動(dòng)，則青蛙從頂點(diǎn)出發(fā)恰好跳次后落到的方法總數(shù)為 種（10級(jí)）【鞏固】在正五邊形上，一只青蛙從點(diǎn)開始跳動(dòng)，它每次可以隨意跳到相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)上，一旦跳到點(diǎn)上就停止跳動(dòng)青蛙在6次之內(nèi)(含6次)跳到點(diǎn)有 種不同跳法（10級(jí)）【例 32】 (2006年“迎春杯”中年級(jí)組決賽)有6個(gè)木箱，編號(hào)為1，2，3，6，每個(gè)箱子有一把鑰匙，6把鑰匙各不相同，每個(gè)箱子放進(jìn)一把鑰匙