第八分離變數(shù)法ppt課件

1、1,第八章 分離變數(shù)法,齊次方程的分離變數(shù)法 非齊次振動方程和輸運方程 非齊次邊界條件的處理 泊松方程 小結(自學,本課程 重點,2,齊次方程的分離變數(shù)法,物理問題: 一根長為 的弦，兩端固定，給定初始位移和速度，在沒有強迫 外力作用下的振動,定解問題,一: 引入,3,由力學的知識,兩端固定弦的振動會形成駐波,基本思想： 把偏微分方程分解成幾個常微分方程，其中某 些常微分方程帶有附加條件，從而構成本征值問題。 本章中，只考慮本征函數(shù)為三角函數(shù)的情況,4,三. 分離變數(shù)法求解的基本步驟,第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的常微分方程和附加條件,X(x,本征值問題,T(t,5,第二

2、步：求本征值和本征函數(shù) X(x)，以及 T(t)的表達式,T(t)的表達式,6,這些駐波常稱為兩端固定弦的本征振動,這些點是駐波的波節(jié)位置，波長為,第三步：得出分離變數(shù)形式的本征解,7,第四步: 根據(jù)疊加原理求出一般解,8,第五步:利用初始條件求疊加系數(shù), 代入得定解問題的解,利用初始條件得,9,四. 分離變數(shù)法的適用范圍： 具有齊次線性泛定方程和齊次邊界條件的定解問題,A 兩端均為第一類齊次邊界條件,B.兩端均為第二類齊次邊界條件,C.一段為第一類齊次邊界條件,一端第二類齊次邊界條件,10,例2 . 第二類其次邊界條件的定解問題,兩端自由的桿的縱振動的定解問題為,11,由限定條件有 本征值

3、本征函數(shù),12,合并0，0的結果 將本征值代入T的方程，得 本征解為,13,例3. 一端為第一類齊次邊界條件，另一端為第二類齊次 邊界條件,細桿導熱，初始時刻：一端溫度為0度，保持不變，另一端溫度 為u0，跟外界絕熱，桿上溫度梯度均勻。 對應的定解問題為,14,設試探解 代入整理后得 求解本征值問題： 代入限制條件,15,要想非零解，必須 相應本征函數(shù),16,本征解為： 滿足泛定方程和邊界條件的一般解為 根據(jù)初始條件確定疊加系數(shù)，注意此處的基本函數(shù)族,17,對解的分析 (1) 基本函數(shù)族與邊界條件有關 (2) 從解可知，t0時，發(fā)散，因果關系：初始條件可推出以后時刻，但不能反推出以前時刻。 例

4、三. 非齊次邊界條件情況 對非齊次情況，讓盡可能多的邊界條件齊次化,根據(jù)：疊加原理 1：熱傳導問題二維矩形區(qū)域一邊y=b處處于較高溫度U，其余三邊x=0,x=a,y=0處于較低溫度U0，穩(wěn)定溫度分布，求定解問題,18,由于是穩(wěn)定場，不含初始條件，泛定方程是Laplace方程,定解問題,19,方法一： 設u(x,y)=v(x,y)+w(x,y) v,w分別滿足 泛定方程與齊次邊界條件一起作變量分離，用前面同樣的方法求本征值本征函數(shù)本征解線性組合得一般，再由另外的邊界條件確定組合系數(shù),20,方法二： 考慮到邊界條件中有三個都是等于同一值，平移溫標 則有 (1) 設 代入得,21,2) 求解本征值問

5、題，得 本征值 本征函數(shù) (3) 本征值代入Y的方程，得 本征解,4) 疊加 代入剩余的邊界條件,22,23,24,2. 極坐標系中的分離變數(shù)法 見書例4：勻強電場中置入 導體圓柱，靜電平衡，導 體鄰近的靜電場不再均勻， 但無限遠處仍為勻強電場。 (三維二維)取極坐標系 如圖，柱外空間無(自由)電 荷，電勢u的分布 導體表面為等勢面，且設為零,25,邊界為圓形，若直接用分離變數(shù)法，對邊界條件有 不能由此得到分離的條件。 從對稱性出發(fā)，選用極坐標系，Laplace方程為 邊界條件為 注意到無限遠處，仍為勻強電場，取x軸方向為勻強電場的方向，有,26,試探解 代入泛定方程 得 由于有（自然周期條件

6、,27,自然周期條件與方程一起構成本征值問題。 從自然周期條件得，小于0，零解 本征函數(shù) 即,28,本征值代入R的方程得 這是歐拉型常微分方程，作代換? 得 這里，R是t的函數(shù)，解為 本征解,29,疊加，得一般解為 考慮條件，得 由于傅氏級數(shù)等于0，意味著所有傅氏系數(shù)為0,30,即 再考慮趨于無窮時的條件有 故有 比較系數(shù)得,31,定解問題的解為 解的物理意義 第二項：原來靜電場的電勢分布。 第三項：靜電平衡時感應電荷的影響。 第一項：均勻帶電柱體周圍靜電場的電勢分布，在本問題中未說明導體柱是否帶電，故有此項,32,2. 非齊次振動方程和輸運方程,傅立葉級數(shù)法 沖量定理法,直接求解非齊次方程的

7、定解問題,把非齊次方程的定解問題轉化為齊次方程的定解問題后求解,適用齊次的邊界條件下的非齊次振動和輸運問題,33,一. 傅立葉級數(shù)法,由于齊次邊界條件,分離變數(shù)法得到的解具有傅立葉級數(shù)表示形式,其中關于X的部分為傅里葉級數(shù)的基本函數(shù)族，由邊界條件決定， 其系數(shù)為t的函數(shù),將此試探解代入非齊次泛定方程，嘗試分離出關于t的方程,結合 初值條件,求出關于t的解,最后帶入試探解可得方程的解. 這種方法就稱為傅立葉級數(shù)法,1.引入,34,例如求解定解問題 第一步:根據(jù)初始條件把所求的解展開為傅立葉級數(shù)問題為第二齊次邊界條件，故設解為,1,2. .傅立葉級數(shù)法的步驟,35,比較系數(shù)得 的二階線性常微分方程

8、,第二步:分離出關于T的常微分方程并得出初始條件,36,把(1)代入初始條件,得到關于 初始條件,37,結合初始條件和常微分方程可得通解,當 時,當 時,當 時,第三步:求出關于T的常微分方程的通解始條件,38,所求的解為,第四步:疊加求出定解問題的解,39,注意: 1.關鍵是分離出 的常微分方程. 2.傅立葉級數(shù)數(shù)法要求：非齊次泛定方程可以分 離，且有可分離的齊次邊界條件。 3. 試探解的級數(shù)形式由邊界條件確定. 4. 傅立葉級數(shù)法結合分離變數(shù)法可以解決齊次邊界條件的振動和輸運問題,40,練習1.使用分離變量法求解定解問題,41,二. 沖量定理法,用沖量定理法可以解決齊次邊界條件的振動和輸運

9、問題,利用疊加原理， v,w所滿足的定解問題相對得到簡化，以達到我們會求相應解的目的,引入,如可以把問題,42,轉化為,進而來求解,關于 的解,可以用分離變數(shù)法求出,求出 ,則該問題 解決.求出 的方法可用沖量定理法,43,沖量定理法的物理思想: 把連續(xù)力的作用視為瞬時力的作用的疊加。 而任何一個瞬時力的作用引起的振動的定解問題為 該作用時間很短，來不及使各質點發(fā)生位移，只會引起速度的改變，可由沖量定理得出，而在此以前無作用，弦仍處于靜止狀態(tài)。因此,44,沖量對弦的作用可視為動量的改變 即 則 時刻后的振動滿足的定解問題為 即將瞬時力作用等價為初始條件,45,取 則v滿足的定解問題為 即等價為,將 時刻記為 時刻,46,由疊加原理知 這種方法源于沖量定理，故稱“沖量定理法”： 即將瞬時力的作用轉化為初始條件來考慮。 關于沖量定理法的數(shù)學驗證（P209）自學,47,沖量定理法的步驟 定解問題 解: 用沖量定理法，有方程,48,v的余弦級數(shù)展開式為,利用分離變數(shù)法得到T解,把原來的t換為,49,比較系數(shù)得 其余的均為0，因此,式中系數(shù)由初始條件確定,50,積分求解,51,注意: 沖量定理法的前提是初始時刻的值為零 沖量定理法對齊次邊界條件都成立(第一、二、三邊界條件) 沖量