以圓為背景的相似三角形的計算與證明

1、專題提升（）以圓為背景的相似三角形的計算與證明【經(jīng)典母題】如圖Z13 1, DB為半圓的直徑，A為BD延長線上的一點(diǎn)，AC切半圓于點(diǎn)E, BC丄AC于點(diǎn)C,交半圓于點(diǎn)F.已知圖 Z13 1經(jīng)典母題答圖解：如答圖，連結(jié)0E，設(shè)O O的半徑是R，J則 0E = 0B= R.在RtAACB中，由勾股定理，得AB 7 AC2 + BC = 15. AC切半圓O于點(diǎn)E,.OE丄AC，/ OEA= 90= / C,A OE/ BC, AEOsA ACB, 鈔AO 一詐常解得R=45，75 AO = AB OB= 15 R=.【思想方法】利用圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑構(gòu)造直角三角形，從而得到相似三角形,利用

2、比例線段求 AO的長.【中考變形】1.如圖 Z13 2,在 Rt ACB 中，/ ACB = 90, O 是AC邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連結(jié)OD.圖 Z13 2(1)求證： ADOsA ACB;若O O的半徑為1,求證：AC = AD BC.證明：（1）TAB是OO的切線， OD丄AB,/ C= /ADO = 90,v/ A= /A,:. ADOsA ACB;由(1)知， ADOsA ACB. A AC=ICD, AD BC = AC OD , OD = 1 ,二 AC = AD BC.2. 2017德州如圖Z13 3,已知RtA ABC,/ C = 90, D

3、為BC的中點(diǎn)，以(1)求證：DE是O O的切線;圖 Z13 3中考變形2答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié) OE, EC,若AE :AC為直徑的O O交AB于點(diǎn)E. AC是O O的直徑,/ AEC=/ BEC= 90,v D 為 BC 的中點(diǎn), ED = DC = BD,A/ 1 = / 2,V OE = OC,A/ 3=/ 4,/ 1+/3=/ 2+/4,即/OED =/ACB,V/ ACB= 90,A/ OED = 90,a DE 是OO 的切線;由(1)知/ BEC= 90,V在 RtA BEC與 RtABCA 中，/ B=/ B,/ BEC=/ BCA,be BC BECsA BCA,a

4、 bc= ba,2 BC2= be BA,v AE : EB= 1 : 2,設(shè) AE= X,貝U BE = 2x, BA= 3x,V BC = 6,.6 = 2x 3x,解得 x= /6,即卩 AE= /6.3.如圖Z13 4,已知AB是O O的直徑，BC丄AB,連結(jié)OC,弦AD / OC,直線CD交BA的延長線于點(diǎn)E.(1)求證：直線CD是O O的切線;(2)若 DE = 2BC, 求 AD : OC 的值.BB解：(1)證明：如答圖，連結(jié)DO. AD / OC,/ DAO= / COB,/ ADO =/COD. OA= OD ,/ DAO = / ADO,/ COD= / COB.又 V

5、CO= CO, OD = OB,.COD 尢 COB(SAS ,/ CDO= / CBO = 90, 即卩 OD丄 CD.又點(diǎn)D在OO上，直線CD是OO的切線;由知， CODCOB,. CD = CB.V DE = 2BC,. DE = 2CD.V AD / OC,人 AD DE DE 2 EDA4 ECO,. AC二 CE二 dedecd 二 3.4. 2016廣東如圖Z13-5, OO是 ABC的外接圓，BC是O O的直徑，/ ABC=30 .過點(diǎn)B作O O的切線BD,與CA的延長線交于點(diǎn)D ,與半徑AO的延長線交于點(diǎn)E.過點(diǎn)A作O O的切線AF,與直徑BC的延長線交于點(diǎn)F.(1)求證：

6、ACFsA DAE;若SAOC =斗3,求de的長;連結(jié)EF，求證：EF是O O的切線.F中考變形4答圖圖 Z13-5解：(1)證明：V BC為O O的直徑，/BAC = 90又V/ ABC= 30,./ ACB = 60,又 0A= OC,:. OAC為等邊三角形，即/ OAC=/ AOC= 60, AF 為 O O 的切線,/ OAF = 90,/ CAF=/ AFC= 30,V de 為 O O 的切線，/ DBC =/OBE= 90/D =/DEA = 30,./ D =/CAF, / DEA =/AFC,:. ACFsA DAE;(2) AOC 為等邊三角形，壓aoc43oa243,

7、OA= 1, BC = 2, OB= 1,又 v/D =/BEO= 30, BD = 2心,BE=G，.DE = 3羽;證明：如答圖，過點(diǎn) O作OM丄EF于點(diǎn)M ,V OA= OB,/ OAF= / OBE= 90,/ BOE= / AOF, OAFN OBE(SAS,； OE = of ,v/EOF= 120, / OEM =/OFM = 30 / OEB=/ OEM = 30,即卩 OE 平分/BEF,又/ OBE= / OME = 90,OM = OB,a EF 為OO 的切線.5. 2017株洲如圖Z13-6, AB為O O的一條弦，點(diǎn) C為劣弧AB的中點(diǎn)，E為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在A

8、E的延長線上，且 BE= EF，線段CE交弦AB于點(diǎn)D.1：V5, 求 BCD的面積.(1)求證：CE/ BF;(2)若 BD = 2,且 EA : EB : EC= 3 :圖 Z13-6中考變形5答圖 BE= EF,/ F= / EBF,V/ AEB= / EBF+/ F,/ F= 2/ aeb,VC 是AB的中點(diǎn)， AC=BC,/ AEC=/ BEC,V/ AEB=/ AEC +/ BEC, / AEC= 1/ AEB,A/ AEC=/ F，二 CE/ BF;(2) V/ DAE =/DCB, / AED= / CEB, AD _ AE 即 ad _ A Cb_ CE，即 Cb_/5,/

9、BCD _ / ECB,:. ADEsA CBE,V/ CBD=/ CEB, CBEsA CDB, BD _ BE 即 2-CB _ CE，即 CB_ 勵， CB_25 , AD_6 , AB_8 ,V點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn),0C丄AB,設(shè)垂足為 G,則 AG= BG = AB4, CG = 7 CB2 BG2 = 2, Sabcd= 2bd CG =2X 2 = 2.6.如圖Z13 7, AB是O O的直徑，C為O O上一點(diǎn)，AE和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為E, AE交O O于點(diǎn)D，直線EC交AB的延長線于點(diǎn)P,連結(jié)AC, BC, PB : PC= 1 : 2.求證：AC平分/ BAD;(2

10、)探究線段PB, AB之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.解：(1)證明：如答圖，連結(jié) 0C. PE 是 O 0 的切線， OCX PE, AE丄PE,A OC II AE,/ DAC= / OCA,V OA= OC,A/ OCA=/ OAC,/ DAC= / OAC, AC 平分/ BAD;線段PB, AB之間的數(shù)量關(guān)系為AB = 3PB.理由:V AB是O O的直徑，/ ACB= 90,. / BAC +/ ABC = 90,VOB = OC,A/ OCB=/ABC,V/ PCB+/ OCB=PCB=/ PAC,V/ P 是公共角，二 PCBsA FAC, PC二PC2二 PBPA,V PB :

11、PC= 1 : 2, PC = 2PB, PA=4PB,. AB = 3PB.7. 2016棗莊如圖Z13 8, AC是O O的直徑，BC是O O的弦，P是O O外一點(diǎn)，連結(jié) PA, PB, AB,已知/ PBA=/ C.(1)求證：PB是O O的切線;(2)連結(jié) OP,若 OP II BC, 且 OP = 8,O O的半徑為2/2,求BC的長.P圖 Z13 8P中考變形7答圖V OA= OB,./ BAC=/OBA,解：(1)證明：如答圖，連結(jié) OB,V AC是O O的直徑,/ ABC= 90,/ C+/ BAC = 90 .V/ PBA= / C,/ PBA+/ OBA= 90, 即卩 P

12、B丄OB. PB是O O的切線;OO的半徑為2邁， 0B= 2頁，AC = 4I2,OP/ BC,A/ BOP=/ OBC=/ C,又 V/ ABC= / PBO = 90,.山 ABCsA PBO,.IOh AO,即黔羋.BC = 2.8 2017聊城如圖Z13 9,OO是ABC的外接圓，O點(diǎn)在BC邊上，/ BAC的平分線交O O于點(diǎn)D，連結(jié)BD，CD，過點(diǎn)D作BC的平行線，與AB的延長線相交于點(diǎn)P.求證：PD是O O的切線;求證： PBDsA DCA;圖 Z13 9中考變形8答圖解：（1）證明：圓心O在BC 上, BC是O O的直徑,/BAC= 90，如答圖，連結(jié) OD, AD 平分/ B

13、AC,/ BAC= 2/DAC,V/ DOC= 2/ DAC,/ DOC= / BAC= 90,即卩 OD 丄 BC, PD / BC,A OD 丄PD , V OD 為 OO 的半徑, PD是O O的切線;(2)證明：V PD / BC,./ P=/ ABC,V/ PBD+/ ABD= 180,/ ACD +/ ABD= 180,/ PBD=/ ACD,.PBDsdcA; ABC為直角三角形， BC2= AB2 + AC2= 62 + 82= 100,二 BC= 10,V OD 垂直平分 BC,A DB = DC,V BC 為 O O 的直徑，/ BDC = 90,在 RtADBC 中，DB2 + DC2= BC2, 即卩 2DC2= BC2= 100, DC = DB = 5返， pBDsA DCA,PB BD 切“ DC BD 5邁 X 5225 DC二 AC，即 PB二 AC 二 8 二才【中考預(yù)測】CD 與OO相切于點(diǎn)C,2017黃岡模擬如圖Z13 10, AB為O O的直徑,F, OD交O O于點(diǎn)E.證明:且OD丄BC,垂足為(1) / D = /AEC;2(2) OA = OD OF.(2) V/ B=/ AEC,A