微積分x13-2二重積分的計(jì)算方法

1、13.2 二重積分的計(jì)算方法,一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分,在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，,則面積元素為,已知平行截面面積 的立體的體積,注：二重積分轉(zhuǎn)變?yōu)槎畏e分的 推導(dǎo)過程借助于幾何直觀，略去 了分析證明過程。,用平面x=x0截立體，截得A(x0). 應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得,注意D的特殊之處。,定理13-1（基本定理） 函數(shù)f(x,y)在閉矩形區(qū)域D:,可積,若每一個(gè),若每一個(gè),d c,a b,如果積分區(qū)域?yàn)椋?如果積分區(qū)域?yàn)椋?X型,X型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,如果積分區(qū)域?yàn)椋?Y型,Y型區(qū)

2、域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,若區(qū)域如圖，,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式,則必須分割.,對(duì)非X、Y型區(qū)域,解,積分區(qū)域如圖,解,積分區(qū)域如圖,(1). 計(jì)算,其中D 是直線 y1, x2, 及,yx 所圍的閉區(qū)域.,解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則,解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則,例3計(jì)算下列二重積分,解,解,X-型,（4）. 計(jì)算,其中D 是拋物線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 為計(jì)算簡便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,及直線,則,解,（6）. 計(jì)算,其中D 是直線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :,先對(duì) x 積分不行,

3、說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.,解,令y-x=u,交換積分次序,令u=-t,O 1 x,y 1,例7,解,先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖,o 1 x,o 1 x,例6,證,利用二重積分計(jì)算空間立體體積,例1.,解,所求立體可以看成是一個(gè) 曲頂柱體，它的曲頂為,底為,例2. 求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.,解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,利用對(duì)稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為,則所求體積為,二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,解,解,解,解,例5 求由球面x2+y2+z2=4a2與柱面x2+y2=2ax所圍立