直線與方程 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題習(xí)題精講 詳細(xì)答案 提高訓(xùn)練

1、課程星級(jí)：知能梳理【知識(shí)點(diǎn)一：傾斜角與斜率】（1）直線的傾斜角關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點(diǎn)：1、與x軸相交；2、x軸正向；3、直線向上方向。直線與軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為傾斜角的范圍（2）直線的斜率直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為的直線斜率不存在.記作 當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí), , 當(dāng)直線與軸垂直時(shí), ,不存在.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式是每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率.（3）求斜率的一般方法：已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)斜率公式求斜率；已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)根據(jù)來求斜率；（4）利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法：已知，若，則有a、b、c三點(diǎn)共線?！局R(shí)點(diǎn)二：直線平行與

2、垂直】（1）兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率分別為，則有特別地，當(dāng)直線的斜率都不存在時(shí)，的關(guān)系為平行（2）兩條直線垂直：如果兩條直線斜率存在，設(shè)為，則有注：兩條直線垂直的充要條件是斜率之積為-1，這句話不正確；由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直；反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，互相垂直.【知識(shí)點(diǎn)三：直線的方程】（1） 直線方程的幾種形式需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.： 高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答) 或者搜.店.鋪.： 龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】名稱方程的形式已知

3、條件局限性點(diǎn)斜式為直線上一定點(diǎn)，為斜率不包括垂直于軸的直線斜截式為斜率，是直線在軸上的截距不包括垂直于軸的直線兩點(diǎn)式不包括垂直于軸和軸的直線截距式是直線在軸上的非零截距，是直線在軸上的非零截距不包括垂直于軸和軸或過原點(diǎn)的直線一般式無限制，可表示任何位置的直線問題：過兩點(diǎn)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？ 【不一定】(1)若，直線垂直于軸,方程為；(2)若，直線垂直于軸,方程為；(3)若，直線方程可用兩點(diǎn)式表示直線的點(diǎn)斜式方程實(shí)際上就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式；利用斜截式求直線方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否.用截距式方程表示直線時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：方程的條件限制為，即兩個(gè)截距均不能為零，因此截

4、距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線以及與坐標(biāo)軸平行的直線；用截距式方程最便于作圖，要注意截距是坐標(biāo)而不是長度.截距與距離的區(qū)別：截距的值有正、負(fù)、零。距離的值是非負(fù)數(shù)。截距是實(shí)數(shù)，不是“距離”，可正可負(fù)。截距式方程的應(yīng)用與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長為: |a|+|b|+；直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為: s= ；直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則或直線過原點(diǎn)，常設(shè)此方程為（2）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式【知識(shí)點(diǎn)四 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離】（1）兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是, 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解。若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平

5、行.（2）幾種距離兩點(diǎn)間的距離：平面上的兩點(diǎn)間的距離公式特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到直線的距離兩條平行線間的距離：兩條平行線間的距離注:1求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式；2求兩條平行線間的距離時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計(jì)算。需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.： 高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答) 或者搜.店.鋪.： 龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】精講精練【例】已知，直線過原點(diǎn)o且與線段ab有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（）a b c d 答案：b分析：由于直線與線段ab有公共點(diǎn)，故直線的斜率應(yīng)介

6、于oa，ob斜率之間解：由題意，由于直線與線段ab有公共點(diǎn)，所以直線的斜率的取值范圍是考點(diǎn)：本題主要考查直線的斜率公式，考查直線與線段ab有公共點(diǎn)，應(yīng)注意結(jié)合圖象理解【例】在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)a（1，2）距離為1，且與點(diǎn)b（3，1）距離為2的直線共有（） a 1條 b 2條 c 3條 d 4條答案：b分析：由題意，a、b到直線距離是1和2，則以a、b為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線的條數(shù)即可解：分別以a、b為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求考點(diǎn)：本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想【例】將直線l1：y=2x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得直線l2，則直線l2到直線l3：x

7、+2y3=0的角為（） a 30 b 60 c 120 d 150答案：a分析：結(jié)合圖象，由題意知直線l1l3互相垂直，不難推出l2到直線l3：x+2y3=0的角解：記直線l1的斜率為k1，直線l3的斜率為k3，注意到k1k3=1，l1l3，依題意畫出示意圖，結(jié)合圖形分析可知，直線l2到直線l3的角是30需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.： 高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答) 或者搜.店.鋪.： 龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】考點(diǎn)：本題考查直線與直線所成的角，涉及到角公式【例】方程所表示的圖形的面積為_。答案： 解：方程所表示的圖形是一個(gè)正方形，其邊長為【例

8、】設(shè)，則直線恒過定點(diǎn) 答案： 解：變化為 對(duì)于任何都成立，則【例】一直線過點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為，這條直線方程是_答案：，或解：設(shè)【例】已知a（1，2），b（3，4），直線l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y1=0、設(shè)pi是li（i=1，2，3）上與a、b兩點(diǎn)距離平方和最小的點(diǎn)，則p1p2p3的面積是_答案：分析：設(shè)出p1，p2，p3，求出p1到a，b兩點(diǎn)的距離和最小時(shí)，p1坐標(biāo)，求出p2，p3的坐標(biāo)，然后再解三角形的面積即可解：設(shè)p1（0，b），p2（a，0），p3（x0，y0） 由題設(shè)點(diǎn)p1到a，b兩點(diǎn)的距離和為顯然當(dāng)b=3即p1（0，3）時(shí)，點(diǎn)p1到a，b兩點(diǎn)的距離和最小，

9、同理p2（2，0），p3（1，0），所以考點(diǎn)：本題考查得到直線的距離公式，函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程的思想，是中檔題【例】已知直線（a2）y=（3a1）x1，為使這條直線不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)a的范圍是_ _答案：2，+）分析：由已知中直線（a2）y=（3a1）x1不經(jīng)過第二象限，我們分別討論a2=0（斜率不存在），a20（斜率存在）兩種情況，討論滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值，進(jìn)而綜合討論結(jié)果，得到答案解：若a2=0，即a=2時(shí)，直線方程可化為x=，此時(shí)直線不經(jīng)過第二象限，滿足條件；若a20，直線方程可化為y=x，此時(shí)若直線不經(jīng)過第二象限，則0，0，解得a0綜上滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍是2，+）考點(diǎn)：

10、本題考查的知識(shí)點(diǎn)是確定直線位置的幾何要素，其中根據(jù)直線的斜截式方程中，當(dāng)k0且b0時(shí)，直線不過第二象限得到關(guān)于a的不等式組，是解答本題的關(guān)鍵，但解答時(shí)，易忽略對(duì)a2=0（斜率不存在）時(shí)的討論，而錯(cuò)解為（2，+）。【例】過點(diǎn)作一直線，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為。解：設(shè)直線為交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)， 得，或解得或 ，或?yàn)樗?。【例】直線和軸，軸分別交于點(diǎn)，在線段為邊在第一象限內(nèi)作等邊，如果在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)使得和的面積相等，求的值。解：由已知可得直線，設(shè)的方程為 則，過 得【例】已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，即【例】求函數(shù)的最小值。解：可看

11、作點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)【例】在abc中，已知bc邊上的高所在直線的方程為x2y+1=0， a的平分線所在直線的方程為y=0若點(diǎn)b的坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)c的坐標(biāo)分析：根據(jù)三角形的性質(zhì)解a點(diǎn)，再解出ac的方程，進(jìn)而求出bc方程，解出c點(diǎn)坐標(biāo)逐步解答解：點(diǎn)a為y=0與x2y+1=0兩直線的交點(diǎn)， 點(diǎn)a的坐標(biāo)為（1，0） kab=1又a的平分線所在直線的方程是y=0， kac=1 直線ac的方程是y=x1而bc與x2y+1=0垂直， kbc=2 直線bc的方程是y2=2（x1）由y=x1，y=2x+4， 解得c（5，6）考點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式方程。本題可以借助圖形幫助理解題意，將條件

12、逐一轉(zhuǎn)化求解【例】直線l過點(diǎn)p（2，1），且分別與x ，y軸的正半軸于a，b兩點(diǎn)，o為原點(diǎn)（1）求aob面積最小值時(shí)l的方程； （2）|pa|pb|取最小值時(shí)l的方程分析：（1）設(shè)ab方程為，點(diǎn)p（2，1）代入后應(yīng)用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形oab面積面積的最小值（2）設(shè)直線l的點(diǎn)斜式方程，求出a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入|pa|pb|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立條件解：（1）設(shè)a（a，0）、b（0，b ），a0，b0，ab方程為，點(diǎn)p（2，1）代入得2，ab8 （當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)，等號(hào)成立），故三角形oab面積s=ab4，此時(shí)直線方程為：，即x+2y4

13、=0（2）設(shè)直線l：y1=k（x2），分別令y=0，x=0，得a（2，0），b（0，12k）則|pa|pb|=4，當(dāng)且僅當(dāng)k2=1，即k=1時(shí)，|pa|pb|取最小值，又 k0， k=1，這時(shí)l的方程為x+y3=0考點(diǎn)：本題考查直線在坐標(biāo)軸上的截距的定義，直線的截距式方程，以及基本不等式的應(yīng)用【例】求傾斜角是直線yx1的傾斜角的，且分別滿足下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)(，1)；(2)在y軸上的截距是5.解：直線的方程為yx1，k，傾斜角120，由題知所求直線的傾斜角為30，即斜率為.(1)直線經(jīng)過點(diǎn)(，1)，所求直線方程為y1(x)，即x3y60.(2)直線在y軸上的截距為5，由斜截式知所

14、求直線方程為yx5，即x3y150.需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.： 高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答) 或者搜.店.鋪.： 龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】【例】已知直線l：kxy12k0(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線l交x負(fù)半軸于a，交y正半軸于b，aob的面積為s，試求s的最小值并求出此時(shí)直線l的方程。解：(1) 證明：由已知得k(x2)(1y)0， 無論k取何值，直線過定點(diǎn)(2,1)。(2) 令y0得a點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，令x0得b點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2k1)(k0)，saob|2|2k1| (2)(2k1) (4k4) (44)4當(dāng)且僅當(dāng)4k，

15、即k時(shí)取等號(hào)。即aob的面積的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為xy110 ， 即x2y40【例】已知函數(shù)，g（x）=x+a（a0）（1）求a的值，使點(diǎn)m（f（x），g（x）到直線x+y1=0的最短距離為；（2）若不等式在x1，4恒成立，求a的取值范圍。分析：（1）先用點(diǎn)到直線的距離公式表示距離，利用換元法，進(jìn)而利用二次函數(shù)的配方法即可求解；（2）將絕對(duì)值符號(hào)化去，從而轉(zhuǎn)化為上恒成立，進(jìn)而利用換元法轉(zhuǎn)化為at22t+a20在t1，2上恒成立，從而得解解：（1）由題意得m到直線的距離，令 則 t0 a1時(shí)， 即t=0時(shí)， a =30a1時(shí)，dmin=0，不合題意 綜上a=3（2）由即上恒成立，也就是在1，4上恒成立令，且x=t2，t1，2 ，由題意at22t+a20在t1，2上恒成立設(shè)（t）=at22t+a2，則要使上述條件成立，只需即滿足條件的a的取值范圍是考點(diǎn)：本