Romberg積分法,Gauss型積分法

1、數(shù)學(xué)軟件實驗任務(wù)書課程名稱數(shù)學(xué)軟件實驗班級數(shù) 0901Romberg積分法， Gauss 型積分法，高斯 - 勒讓德積分實驗課題法，高斯 - 切比雪夫積分法，高斯 - 拉蓋爾積分法，高斯- 埃爾米特積分法熟悉 Romberg 積分法，Gauss型積分法，高斯 - 勒讓德實驗?zāi)康姆e分法，高斯 - 切比雪夫積分法， 高斯 - 拉蓋爾積分法，高斯 - 埃爾米特積分法實驗要求運用 Matlab/C/C+/Java/Maple/Mathematica 等其中一種語言完成Romberg積分法， Gauss 型積分法，高斯 - 勒讓德積分實驗容法，高斯 - 切比雪夫積分法，高斯- 拉蓋爾積分法，高斯- 埃爾

2、米特積分法成績教師實驗 1Romberg積分法1 實驗原理Romberg 方法是實用性很強(qiáng)的一種數(shù)值積分方法，其收斂速度是很快的，這里給出 Romberg積分的計算方法。（ 1）計算 R(0,0)1(ba) f ( a)f (b)2（ 2）計算1hi 12 i 212(i1,0)2f (a(k2)hi 1)R(i,0)k1（ 3）計算 R( m, j )4j 1R(m, j1)R( m1, j1)4 j112 實驗數(shù)據(jù)用 Romberg 積分方法計算：15x2 dxS4x03 實驗程序程序 1function s=rombg(a,b,TOL)n=1;h=b-a;delt=1;x=a;k=0;R

3、=zeros(4,4);R(1,1)=h*(rombg_f(a)+rombg_f(b)/2;while deltTOLk=k+1; h=h/2; s=0;for j=1:nx=a+h*(2*j-1); s=s+rombg_f(x);endR(k+1,1)= R(k,1)/2+h*s; n=2*n;for i=1:kR(k+1,i+1)=(4i)*R(k+1,i)-R(k,i)/(4i-1);enddelt=abs(R(k+1,k)-R(k+1,k+1);ends=R(k+1,k+1);程序 2function f=rombg_f(x)f=x/(4+x2);程序 3s=rombg(0,1.5,1

4、.e-6)%作出圖形x=0:0.02:1.5;y=x./(4+x.2);area(x,y)grid4 實驗結(jié)果s =0.2231實驗 2 高斯 - 勒讓德積分法1 實驗原理Gauss-Legendre 求積公式為1nf ( x)dxAk f ( xk )11k其中 xk 為 Legendre 多項式在1,1 區(qū)間上的零點。n 階Legendre 多項式定義為：Pn (t )1d n2nnn! dtn ( t1) 2Ak 為權(quán)系數(shù)，Ak22(1 xk )22 Pn ( xn )2 n2 Pn ( xk )2(1 xk )對于一般的積分區(qū)間為a, b問題，可以做變換xabb a2t2bba na

5、bb aaf ( x)dxAk f (xk )2k1222 實驗數(shù)據(jù)用 Gauss-Legendre 積分方法計算定積分S2 x2 cosxdx03 實驗程序function s=gau_leg(a,b)%5階 Legendre 多項式結(jié)點node=-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459;%結(jié)點對應(yīng)的權(quán)quan=0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.478628670 5,0.2369268851;%t 為（ 1， 5）的行向量，整個區(qū)間上的結(jié)點 t=(b+a)/2+(b-a)*

6、node/2; s=(b-a)/2)*sum(quan.*gau_leg_f(t);function f=gau_leg_f(x)f=(x.2).*cos(x);disp(計算結(jié)果為 :)s=gau_leg(0,pi/2)%畫出圖形x=0:0.01:pi/2;y=(x.2).*cos(x);bar(x,y)grid4 實驗結(jié)果計算結(jié)果為 : s =0.4674實驗 3 高斯 - 拉蓋爾積分法1 實驗原理n 個結(jié)點 Gauss-Laguerre 求積公為：nSAk f ( xk )k 1其中 xk 為零點， Ak 為權(quán)系數(shù)Akxk 2 Ln 1 ( xk ) 2(n1)Laguerre 多項式為

7、Ln (x) ex dnn ( xn e x ),0 xdx2 實驗數(shù)據(jù)計算反常積分Sxe xdx03 實驗程序function s=gau_lag()%多項式結(jié)點node=0.26355990,1.41340290,3.59624600,7.08580990,12.640800;%權(quán)重向量quan=0.6790941054,1.638487956,2.769426772,4.31594400,7.10489623;%求和s=sum(quan.*gau_lag_f(node)%以下為畫出積分示意圖clearx=0:0.1:20;y=x.*exp(-x);area(x,y)gridfunctio

8、n f=gau_lag_f(x)f=x.*exp(-x);4 實驗結(jié)果s =1.0000實驗 4 高斯 - 埃爾米特積分法1 實驗原理n 個結(jié)點點 Guass-Hermite 求積公式為nkkk 1其中 xk , Ak 分別為結(jié)點以及相應(yīng)的權(quán)系數(shù)。2 實驗數(shù)據(jù)采用 Gauss-Hermite 方法計算反常積分Sxe xdx3 實驗程序function s=gau_lag()%多項式結(jié)點node=-2.02018200-0.958571900.000000000.958571902.02018200;%權(quán)重向量quan=1.1814695990.98657914170.94530892370.98657914171.181469599;%求和s=su