山西省太原市第五中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期4月模擬試題文含解析

1、山西省太原市第五中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期4月模擬試題 文（含解析）一選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題有且只有一個正確選項）1. 已知集合，則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，再根據(jù)補集的定義計算可得；【詳解】解：因為，所以，故選：B.【點睛】本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題.2. 若，則（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)與模長的求解計算即可.【詳解】由題意可得，且，.故選：D【點睛】本題主要考查了共軛復(fù)數(shù)與模長的概念與計算,屬于基礎(chǔ)題.3. 已知非零向量滿足，且，則的夾角為A. B. C. D. 【

2、答案】C【解析】【分析】運用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計算向量夾角，結(jié)合其范圍，即可得到【詳解】，即，又，解得，結(jié)合，所以，故選C.【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4. 若 ，則（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】試題分析：由，得或，所以，故選A【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，倍角公式【方法點撥】三角函數(shù)求值：“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過相消或相約消去非特殊角，進而求出三角函數(shù)值；“給值求值”關(guān)鍵是目標明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系5. 已知雙曲線的左右焦點為，點為雙曲線上任意一

3、點，則的最小值為( )A. 1B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，設(shè)點在雙曲線右支上，則，設(shè)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：由題意知，不妨設(shè)點在雙曲線右支上，則，設(shè)，所以，所以當時，的值最小，最小為1，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.6. 以下四個命題中，真命題的個數(shù)是（ ） 若，則，中至少有一個不小于；是的充要條件； 函數(shù)是奇函數(shù)，則的圖像關(guān)于對稱.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】利用逆否命題的真假判斷的正誤；由可得，反之不成立，取即可判斷；利用全稱命題直接判斷的正誤即

4、可；利用函數(shù)的奇偶性以及對稱性說明的正誤.【詳解】解：對于，逆否命題為：，都小于1，則是真命題所以原命題是真命題對于，反之不成立，取，不能說，所以是假命題；對于，；顯然是真命題；對于，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的對稱中心為，則的圖象是的圖象向右平移1個單位得到的，所以關(guān)于對稱是真命題；故選：【點睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系，函數(shù)的對稱性，充要條件，是基礎(chǔ)題7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖.則輸出的所有點（ ）A. 都在函數(shù)的圖象上B. 都在函數(shù)的圖象上C. 都在函數(shù)的圖象上D. 都在函數(shù)的圖象上【答案】C【解析】【分析】列出循環(huán)的每一步，根據(jù)輸出的點的坐標可判斷出點符合

5、哪一個函數(shù)的解析式.【詳解】開始：，進行循環(huán)：輸出，輸出，輸出，輸出，因為，退出循環(huán)，則輸出的所有點、都在函數(shù)的圖象上.故選：C.【點睛】本題主要考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)流程圖計算運行結(jié)果是算法這一模塊的重要題型，處理的步驟一般為：分析流程圖，從流程圖中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當?shù)臄?shù)學(xué)模型解模.8. 已知函數(shù)滿足：且（ ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】B【解析】【詳解】可設(shè)，則f（x）滿足題意.易知但15,排除A.但23,排除C.排除D故選B.9. 函數(shù)（）的圖象大致形狀是（ ）A. B. C. D.

6、【答案】C【解析】【分析】確定函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，x0時，f（x）logax（0a1）是單調(diào)減函數(shù)，即可得出結(jié)論【詳解】由題意，f（x）f（x），所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除B、D；x0時，f（x）logax（0a1）是單調(diào)減函數(shù)，排除A故選C【點睛】本題考查函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，正確分析函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵10. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)求出，的值，代入得答案.【詳解】在等差數(shù)列中，由，得，在等比數(shù)列中，由，得，則.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列與

7、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了三角函數(shù)值的求法，是中檔題.11. 拋物線的焦點為，點是拋物線上的點，為坐標原點，若的外接圓與拋物線的準線相切，則該圓面積為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依題意可得的外接圓的圓心一定在拋物線上，且圓心在的垂直平分線上，所以，從而求出外接圓的半徑以及圓的面積；【詳解】解：因為的外接圓與拋物線的準線相切，所以的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑，則的外接圓的圓心一定在拋物線上.又因為圓心在的垂直平分線上，則此外接圓的半徑，故此外接圓的面積，故選：C.【點睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔

8、題.12. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ ）A. 14B. C. D. 【答案】D【解析】【詳解】還原三視圖如下：其表面積為故選二填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上）13. 若樣本數(shù)據(jù)、的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)、，的平均數(shù)為_.【答案】【解析】分析】利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)、的平均數(shù)為，則，所以數(shù)據(jù)、的平均數(shù)為，故答案為：.【點睛】本題考查平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14. 已知，滿足約束條件，若的最大值為，則_【答案】【解析】【分析】畫出可行域，當直線的截距最大時，取得最大

9、值，若，則目標函數(shù)在點取得最大值，若，則目標函數(shù)在點取得最大值，分別求解即可得到答案【詳解】畫出，滿足的可行域（見下圖陰影部分），目標函數(shù)可化為，若，則目標函數(shù)在點取得最大值，解方程，得，則，解得，不滿足題意；若，則目標函數(shù)在點取得最大值，解方程，得，則，解得，滿足題意故答案為2.【點睛】本題考查了目標函數(shù)含參的線性規(guī)劃問題，屬于中檔題15. 函數(shù)的圖象向右平移個單位后與原函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小正值是_.【答案】【解析】【分析】求出圖象變換后的函數(shù)解析式，結(jié)合所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，可得出關(guān)于的等式，即可求得的最小正值.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位后與原函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則平移

10、后函數(shù)的解析式為，當時，取得最小正值，此時，因此，的最小正值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換以及函數(shù)圖象的對稱性，考查推理能力，屬于中等題.16. 已知，若滿足的有四個，則的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】滿足的有個，等價于方程有個根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，畫出函數(shù)的大致圖象，再利用函數(shù)圖象的變換得到函數(shù)的大致圖象，要使方程有個根，則方程應(yīng)有兩個不等的實根，根據(jù)圖象得出這兩根的范圍，設(shè)，再利用二次函數(shù)根的分布列出不等式，即可解出的取值范圍.【詳解】滿足的有個，方程有4個根，設(shè)，則，令，得.當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，畫出函數(shù)的大致圖象，如圖

11、所示：，保留函數(shù)的軸上方的圖象，把軸下方的圖象關(guān)于軸翻折到軸上方，即可得到函數(shù)的圖象如下圖所示：令，則，所以要使方程有個根，則方程應(yīng)有兩個不等的實根，又由于兩根之積為1，所以一個根在內(nèi)，一個根在內(nèi)，設(shè)，因為，則只需，解得：，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題.三解答題（本大題5小題，共60分，解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟）17. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，是和的等差中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）等比

12、數(shù)列中，是和的等差中項，由等比數(shù)列的公比表示出已知條件，解方程即可求得公比，代入等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果；（2）把（1）中求得的結(jié)果代入，求出，利用錯位相減法求出.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，因為，所以，.因為是和的等差中項，所以.即，化簡得.因為公比，所以.所以；（2）因為，所以，所以.則，得，所以.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式的求解，考查了等差、等比中項的概念的應(yīng)用，以及錯位相減法，考查運算能力，屬中檔題.18. 如圖，四棱柱中，平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，.（1）若，求證：/平面；（2）若，且三棱錐的體積為，求.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）

13、連接交于點，連接，根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，可得/，然后根據(jù)線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）利用正弦定理，可得，進一步可得，然后根據(jù)，可得，最后利用勾股定理，可得結(jié)果.【詳解】（1）連接交于點，連接.如圖由四棱柱的性質(zhì)可知/，且，則/.四邊形ABCD為平行四邊形，.同理，四邊形為平行四邊形，/.又平面，平面，/平面.（2），.又，.由正弦定理可得，解得，即.又平面ABCD，即平面ABCD，CD，CA兩兩垂直.，.【點睛】本題考查線面平行的判定以及線面垂直的判定，還考查了錐體體積公式，掌握線線、線面、面面之間的位置關(guān)系，考驗分析能力，屬中檔題.19. 2019年下半年以來，各地區(qū)陸續(xù)出

14、臺了“垃圾分類”的相關(guān)管理條例，實行“垃圾分類”能最大限度地減少垃圾處置量，實現(xiàn)垃圾資源利用，改善生存環(huán)境質(zhì)量.某部門在某小區(qū)年齡處于區(qū)間內(nèi)的人中隨機抽取人進行了“垃圾分類”相關(guān)知識掌握和實施情況的調(diào)查，并把達到“垃圾分類”標準的人稱為“環(huán)保族”，得到圖各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖和表中統(tǒng)計數(shù)據(jù).（1）求值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人年齡的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，結(jié)果保留整數(shù)）；（3）從年齡段在的“環(huán)保族”中采用分層抽樣的方法抽取9人進行專訪，并在這9人中選取2人作為記錄員，求選取的2名記錄員中至少有一人年齡在區(qū)間中的概率.組數(shù)分組“環(huán)保族”人數(shù)占本組頻率第一組450

15、.75第二組25第三組0.5第四組30.2第五組30.1【答案】（1），；（2）31；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算可得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計算出平均數(shù)即可；（3）根據(jù)古典概型的概率計算公式計算可得；【詳解】解：（1）對于第一組，人數(shù)為，占總?cè)藬?shù)，故總?cè)藬?shù)人，所以，.（2）設(shè)這人年齡的平均值為，所以.（3）易知采用分層抽樣法抽取的9人中，在內(nèi)的有5人，在內(nèi)的有4人，選取2名記錄員的可能情況共有種，均在內(nèi)的有種，恰有一個在內(nèi)的有種，故所求概率.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，古典概型的概率計算問題，屬于中檔題.20. 已知過原點的動直線與圓相交于不

16、同的兩點，（1）求圓的圓心坐標；（2）求線段的中點的軌跡的方程；（3）是否存在實數(shù)，使得直線與曲線只有一個交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】分析】（1）通過將圓的一般式方程化為標準方程即得結(jié)論；（2）設(shè)當直線的方程為y=kx，通過聯(lián)立直線與圓的方程，利用根的判別式大于0、韋達定理、中點坐標公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化，計算即得結(jié)論；（3）通過聯(lián)立直線與圓的方程，利用根的判別式=0及軌跡的端點與點（4，0）決定的直線斜率，即得結(jié)論【詳解】（1）由得， 圓的圓心坐標為；（2）設(shè)，則 點為弦中點即，即， 線段的中點的軌跡的方程為；（3

17、）由（2）知點的軌跡是以為圓心為半徑的部分圓?。ㄈ缦聢D所示，不包括兩端點），且，又直線：過定點，當直線與圓相切時，由得，又，結(jié)合上圖可知當時，直線：與曲線只有一個交點考點：1.軌跡方程；2.直線與圓相交的位置關(guān)系；3.圓的方程21. 已知函數(shù)，函數(shù)在點處的切線與函數(shù)相切.（1）求函數(shù)的值域；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點處的切線方程，與函數(shù)的解析式聯(lián)立，由可求得的值，然后利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域；（2）要證明，即證，即證，求出函數(shù)的最小值，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）切點，則，.所以，函數(shù)在

18、點處的切線方程為，即.函數(shù)在點處的切線與函數(shù)相切.聯(lián)立，化為，解得.，所以，函數(shù)的值域為；（2）要證，即證，即證.設(shè)，則函數(shù)的定義域為.，.當時，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，此時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)的最大值為.所以，但是函數(shù)的最小值和函數(shù)的最大值不在同一處取得，因此，.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，二次函數(shù)值域的求解，同時也考查了函數(shù)不等式的證明，考查推理能力與計算能力，屬于難題.請考生在2223題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22. 已知曲線C的極坐標方程是sin28cos0.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建

19、立平面直角坐標系xOy.在直角坐標系中，傾斜角為的直線l過點P(2，0)(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程；(2)設(shè)點Q與點G的極坐標分別為，(2，)，若直線l經(jīng)過點Q，且與曲線C相交于A，B兩點，求GAB的面積【答案】(1) y28x， (t為參數(shù))(2) .【解析】分析】（1）曲線C可化為2sin28cos0，即得其直角坐標方程，根據(jù)已知寫出直線l的參數(shù)方程；（2）先求出直線l的參數(shù)方程為，將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程得到t28t320，利用韋達定理和直線參數(shù)方程t的幾何意義求出|AB|=16, 再求點G到直線l的距離，即得GAB的面積【詳解】(1)曲線C可化為2sin28co