9A文外接球內(nèi)切球問題答案

1、MeiWei 81 重點借鑒文檔】1 球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié) 合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題 .1.1 球與正方體發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通 過兩個截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題例 1 棱長為 1 的正方體 ABCD A1B1C1D1 的 8 個頂點都在球 O 的表面上， E，F(xiàn) 分別是棱 AA1 ，DD1的中點，則直線 EF 被球 O 截得的線段長為()A 2

2、B1C 1 2D 21.2 球與長方體 長方體各頂點可在一個球面上， 故長方體存在外切球 . 但是不一定存在內(nèi)切球 . 設(shè)長方體的 棱長為 a,b,c, 其體對角線為 l. 當球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正la2 b2 c2方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑 R l a b c .22例 2 在長、寬、高分別為 2， 2，4 的長方體內(nèi)有一個半徑為 1 的球，任意擺動此長方體，則球經(jīng)過的空 間部分的體積為 ( )A. 103 B.4 C.83 D.731.3 球與正棱柱MeiWei_81 重點借鑒文檔】MeiWei 81 重點借鑒文檔】例 3 正四棱柱 ABC

3、D A1B1C1D1 的各頂點都在半徑為 R 的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值，為2 球與錐體 規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種 形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題2.1 球與正四面體MeiWei_81 重點借鑒文檔】MeiWei 81 重點借鑒文檔】R r2a，R2 r 2 CE22a= ，解得：3612a.這個解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個球的半徑的等量關(guān)系進行求解 . 同時我們可以發(fā)現(xiàn)， 球心 O 為正四面體高的四等分點 . 如果我 們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題

4、帶來極大的方便 .例4 將半徑都為的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最 小值為 ( )A.3 2 63B. 2+ 2 63C. 4+ 2 6 D. 4 3 2 633球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到 地面距離的 3 倍 .2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球為三棱錐的外接球 . 解決的基本方法是補 形MeiWei_81 重點借鑒文檔】MeiWei 81 重點借鑒文檔】例 5 在正三棱錐 S ABC中， M 、N分別是棱 SC、 BC的中點，且 AM MN

5、,若側(cè)棱 SA 2 3 ,則正2.3 球與正棱錐 球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根 據(jù)截面圖的特點， 可以構(gòu)造直角三角形進行求解 .二是球為正棱錐的內(nèi)切球， 例如正三棱錐的內(nèi)切球， 球與 正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑R 這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積 .MeiWei_81 重點借鑒文檔】【MeiWei 81 重點借鑒文檔】例6 在三棱錐 PABC中， PA PB=PC= 3,側(cè)棱 PA 與底面 ABC 所成的角為 60，則該三棱錐外接球A

6、B.3C. 4 D. 43的體積為（ ）SC接球的球心 , 則 R SC .2例 7 矩形 ABCD中， AB 4,BC 3,沿 AC將矩形 ABCD折成一個直二面角 B AC D, 則四面體ABCD 的外接球的體積是 ( )125125125125A. B. C. D.1296 33球與球?qū)€多個小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需 掌握恰當?shù)奶幚硎侄危鐪蚀_確定各個小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化 平面問題求解 .MeiWei_81 重點借鑒文檔】【MeiWei_81 重點借鑒文檔】4 球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的

7、各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達到明確球心的位 置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進行轉(zhuǎn)換和求解. 如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半： r2a4例 8 把一個皮球放入如圖 10 所示的由 8 根長均為 20 cm 的鐵絲接成的四MeiWei_81 重點借鑒文檔】MeiWei 81 重點借鑒文檔】綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，通 過作截面來解決 . 如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多 面體的幾個頂點放在球面上即為球的內(nèi)接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多

8、 面體的頂點的距離等于球的半徑發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進行轉(zhuǎn)化，問題即可得解如 果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解 , 此時結(jié)論的記憶必須準確1. 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為 1 的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該 正三棱錐的體積是（ ）A 3 3B 3 C 3 D 3 答案 B4 3 4 122. 直三棱柱 ABC A1 B1C1的各頂點都在同一球面上，若 AB AC AA1 2, BAC 120 ，則此球的 表面積等于。 解:在 ABC中 AB AC 2, BAC 120 ,可得 BC 2 3 ,由正弦定理可得 ABC外接圓半徑

9、r=2,設(shè)此圓圓心為 O ，球心為 O，在 RT OBO 中，易得球半徑 R 5， 故此球的表為 4 R2 20 .3正三棱柱 ABC A1B1C1內(nèi)接于半徑為 2 的球，若 A,B兩點的球面距離為 ，則正三棱柱的體積為 答案 84. 表面積為 2 3 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為A答案解析】 此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以由22342 3 知，a 1 ，則此球的直徑為 2 ，故選 A。5. 已知正方體外接球的體積是323那么正方體的棱長等于MeiWei_81 重點借鑒文檔】MeiWei 81 重點借鑒文檔】23B.36. 正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積

10、之比為A. 1 3B. 137. 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面9的體積為 9 ，底面周長為 3，則這個球的體積為83 8.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為 積為 答案 149.(一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為柱的表面積為cm2.答案 2 4 210.如圖， 半徑為 2 的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐 P ABCDEF ，則此正六棱錐 的側(cè)面積是 _ 答案 6 7A.2 211. 棱長為 2 的正四面體的四個頂點都在同一個D. 433答案 D42 C.3)C. 1 3 3已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱D. 19 答案C答案1，2，3，則此球的表面1 cm ，那么該棱球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形 ( 正四面體的截面 )的面積是 . 答案 2 12.一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為A316B 2C3D以上都不對13.設(shè)正方體的棱長為2 3 3，則它的外接球的表面積為(38A31 已知三棱錐 S ABC 的所有頂點都在球 且 SC 2; 則此棱錐的體積為