常微分方程期末試題答案

1、一、填空題(每空 2分，共16分)。 1、方程 巴 x2 y2滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 dx dY 2. 方程組 F (x,Y),x dx 空間中的一條積分曲線. xoy平面 R, Y Rn的任何一個(gè)解的圖象是n+1 3. fy (x, y)連續(xù)是保證方程 9丫 f (x, y)初值唯一的充分 條件. dx 4.方程組 dx dT dy d? 5方程y xy 6變量可分離方程 y 的奇點(diǎn)(0,0)的類型是 中心 (y )2的通解是y Cx丄C2 2 2 M x N y dx q y dy 0的積分因子是 N y P X 7.二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解 1(x),y 2(X)成為其基

2、本解組的充要條 件是線性無關(guān) y ca C2e 2x 因?yàn)閿?shù) i 1 i不是特征根，故原方程具有形如 yi x e Acosx Bsinx 的特解。 將上式代入原方程, 由于 y1 ex Acosx Bsin yie A B cosx B A sin x yi X e 2BC0SX 2Asin x 2y ex 2Bcosx 2Asin x B cosx B A sin X 或 3B 2ex Acosx Bsin x ex cosx 7sin x A cosx B 3A sin X cosx 7 sin x 1 比較上述等式兩端的 cosx,sinx的系數(shù)，可得A 3B 1 , 3A B 7 因

3、此，A 2 ,B 1.故 y1 ex 2cosx 1sin x 所求通解為y ex X 2cosx 1sin X C1e C2ex 19.求方程組dY dx Y的實(shí)基本解組 解：方程組的特征多項(xiàng)式為 屬于1的特征向量 屬于2的特征向量 則方程的基本解組為 其實(shí)基本解組為 其特征根是 1,2 3 5i，那么 3 5i x ie 3 5i x 3 5i x e .3 ie 5i 而11 0 因此所求實(shí)基本解組為 .-3 5i x 1 ie o3 5i x 2 e 5i x 3 e 3 5i x ie 四、應(yīng)用題(每小題 11分, 共11分)。 e3t cos5x e3t sin 5x 3t . I

4、- e sin 5x e3t cos5x 20. (1)求函數(shù) f(t) at e的拉普拉斯變換 x (2)求初值問題 3x 2x 2e3t 的解 x(0)0, x (0)0 歡迎下載11 (2)設(shè) x t X s , ,s a c s a o o,s a st at usat,1s a t e dt e dt e s a xt是已知初值問題的解。對已知方程兩端同時(shí)使用拉普 拉斯變換，可分別得到 x 3x 2x x s2 3s 2 X s s2 3s 2 2e3t 2e總 故有 X 使用部分分式法，可得 由（1）可知，et 2t e 2 s 2 1 r_2； 3t e 故所求的初值解為 x tet 2e2te3t。 五、證明題（每小題 10分，共10分）。 21 證明：對任意 xo及滿足條件0 yo 1的 y，方程 dy dx 竺壬的滿足 1 x y 條件 y(x0) yo 的解 y y(x)在( ）上存在。 證: 由于f (x, y) y(y 1) 1 x2 y2 fy (x, y) 3 X2 y2) y(y (1 x2 y2)2 1)2y 在全平面上連續(xù)，所以原方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理 條件. ),yo (0,1), 又顯然y 0, y 1是方程的兩個(gè)特解.現(xiàn)任取