2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換 3.1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系課件 北師大版必修4

1、第三章 三角恒等變形 1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 歸納總結(jié)1.兩個公式體現(xiàn)的是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,其中平 方關(guān)系體現(xiàn)的是同一個角的正弦與余弦之間的關(guān)系;商數(shù)關(guān)系體現(xiàn) 的是同一個角的正弦、余弦和正切三者之間的關(guān)系. 2.對“任意”一個角(在使得函數(shù)有意義的前提下),同角三角函數(shù) 的基本關(guān)系式都成立,與角的表示形式無關(guān),如sin22+cos22=1, =tan 4等. 3.sin2與sin 2之間的區(qū)別:前者是的正弦的平方,讀作“sin 的平 方”;后者是的平方的正弦,兩者是截然不同的. 4.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形有以下幾種: (1)sin2=1-cos2;(2)c

2、os2=1-sin2; (5)(sin cos )2=12sin cos 等. 答案:D 【做一做2】 若tan =3,則sin cos =. 思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“”,錯誤的畫 “”. (3)在ABC中,若sin A+cos A= ,則ABC為鈍角三角形. () (4)在ABC中,若sin A+cos A=1,則ABC為直角三角形. () 答案:(1)(2)(3)(4) 探究一探究二探究三探究四 簡單的三角函數(shù)求值簡單的三角函數(shù)求值問題問題 (2)首先利用cos 0,且cos 1,得出是第一或第四象限角,然后 根據(jù)所在的象限分別求出sin 的值,最后求出ta

3、n 的值. (3)由tan = =2和sin2+cos2=1聯(lián)立解方程組,即可求得sin ,cos 的值. 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 反思感悟通過本題的解答可得出如下規(guī)律: 4.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值時,要注意角所在象限的判斷,必 要時進(jìn)行討論. 探究一探究二探究三探究四 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1(1)若是第四象限角,且cos = ,則sin =() 答案:(1)B(2)C 探究一探究二探究三探究四 關(guān)于關(guān)于sin 和和cos 的齊次式的求值的齊次式的求值 【例2】 已知tan =3,求下列各式的值: 思路分析:將待求式(或已知式)中的弦化切,

4、充分利用 =tan 的代換.也可以聯(lián)立方程組求解. 解法一已知tan =3,利用同角三角函數(shù)關(guān)系, 再代入所求關(guān)系式求值. 探究一探究二探究三探究四 解法二(1)把分子、分母同時除以cos , 探究一探究二探究三探究四 反思感悟1.若待求分式的分子、分母都是含有sin ,cos 的齊次 式,則可采用分子、分母同時除以cos 的若干次方,將其轉(zhuǎn)化為關(guān) 于tan 的表達(dá)式,比如: 2.若一個式子是關(guān)于sin2與cos2的二次齊次式,則可逆用平方關(guān) 系sin2+cos2=1將其轉(zhuǎn)化為1中的問題再求解. 比如:asin2+bsin cos +ccos2 探究一探究二探究三探究四 (2)sin2+sin

5、 cos +2. 探究一探究二探究三探究四 利用利用sin cos 與與sin cos 間的關(guān)系求值間的關(guān)系求值 【例3】 已知sin +cos = ,(0,),求:(1)tan ;(2)sin -cos . 思路分析:一種思路是由已知條件和平方關(guān)系聯(lián)立,解方程組求 得sin 與cos 的值,再求兩個式子的值;另一種思路是利用sin +cos ,sin -cos ,sin cos 三者之間的關(guān)系整體求解. 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 反思感悟1.由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,可得(sin cos )2=12sin cos ,因此,sin +cos

6、 ,sin -cos ,sin cos 三式之間有 密切的關(guān)系,知一式的值可求另兩式的值. 2.在求解sin cos 的值時往往需要用到開方,此時需要先判斷 sin cos 的正負(fù),判定的方法有:(1)根據(jù)sin cos 的正負(fù)進(jìn)行判 斷;(2)可根據(jù)角的范圍進(jìn)行判斷. 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 答案:(1)B(2)B 探究一探究二探究三探究四 三角函數(shù)的化簡與三角函數(shù)的化簡與證明證明 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 反思感悟 三角函數(shù)化簡與證明的方法 1.三角函數(shù)式的化簡就是表達(dá)式的恒等變形,其一般要求如下: (1)盡量使函數(shù)種類最少,項數(shù)最少,次數(shù)最低; (2)盡量使分母不含三角函數(shù)式; (3)根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來; (4)能求得數(shù)值的應(yīng)計算出來. 注意在三角函數(shù)式變形時,常將式子中的“1”作巧妙的變形. 探究一探究二探究三探究四 2.證明三角恒等式,實際上就是將左右兩端表面看似存在較大差 異的式子,通過巧妙變形后消除差異,使其左右兩端相等.為了達(dá)到 這個目的,我們經(jīng)常采用以下的策略和方法: (1)從一邊開始,證明它等于另一邊; (2)證明左右兩邊都等于同一個式子; (3)變更論證,采用左右相減、化除為乘等方法,轉(zhuǎn)化成與原結(jié)論 等價的命題形式. 探究一探究二探究三探究四 12345