隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法（經(jīng)典實(shí)用）

1、隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 Oct.21 Mon. Review v導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算 ).0)( )( )()()()( )( )( )3( );()()()( )()()2( );()( )()()1( 2 xv xv xvxuxvxu xv xu xvxuxvxuxvxu xvxuxvxu 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). . v反函數(shù)求導(dǎo)反函數(shù)求導(dǎo) 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 v復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) xux uff ).()()( )()(),( xufxy dx du du dy dx dy xfyxuufy 或或?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為 的的則復(fù)合函數(shù)則

2、復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè) 或或 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 v高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) )()()( )()1( nnn vuvu )()( )()2( nn CuCu )()( 0 )()()( )2()1()()( ! )1()1( ! 2 )1( )()3( kkn n k k n nkkn nnnn vuC uvvu k knnn vu nn vnuvuvu 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 nn xnx )1()1()()4( )( n nn x n x )!1( )1()(ln)5( 1)( ) 2 sin()(sin)2( )( nkxkkx nn ) 2 cos()(cos)3( )( nkxkkx nn

3、)0(ln)()1( )( aaaa nxnxxnx ee )( )( 1 )( ! )1() 1 ( n nn x n x 常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 3 3 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 v隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo) v參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo) v導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 一一. . 隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo) 定義定義: : . )(0),( 為為隱隱函函數(shù)數(shù) 稱稱所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)由由方方程程xyyyxF .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化 問(wèn)題問(wèn)題: :隱函

4、數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? ? 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo). . 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 .)0(sin)(sin. 3 ),( )0(. 2 0sin:. 1 cos 000 222 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 的的切切線線方方程程；導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，并并求求它它在在 所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求 ； xxy yxM RRyx yxyequationKepler x 例例 注意：注意： 。求導(dǎo)式充分簡(jiǎn)化表達(dá)式求導(dǎo)式充分簡(jiǎn)化表達(dá)式 兩端求導(dǎo)時(shí)，始終兩端求導(dǎo)時(shí)，始終 . 2 );(. 1xyy

5、 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 1) 對(duì)冪指函數(shù)對(duì)冪指函數(shù) v uy 可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) : uvylnln y y 1 uv ln u v u )ln( u vu uvuy v vuuy v lnuuv v 1 說(shuō)明說(shuō)明: : 按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式 注意注意: 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 2) 有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 . 例如例如,),(100 b a ba a x x b b a y bax 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù) yln 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) y y b a ln x a x b bax

6、 a x x b b a y b a ln x a x b b a xln lnlnxbalnlnaxb 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 又如又如, )( )( 43 21 xx xx y u u u ) ln( 2 1 yln 對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) 2 1 y y )( )( 43 21 2 1 xx xx y 4 1 3 1 2 1 1 1 xxxx 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù) 21 xxlnln 43 xxlnln 1 1 x2 1 x3 1 x 4 1 x 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好 求，可以化為隱函數(shù)求導(dǎo)，常用的方法是

7、兩邊取對(duì)求，可以化為隱函數(shù)求導(dǎo)，常用的方法是兩邊取對(duì) 數(shù)，再求導(dǎo)。數(shù)，再求導(dǎo)。 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo). . 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 例例4.4. 解解: 1 4 2 )1(3 1 1 1 )4( 1)1( 2 3 xxxex xx y x 等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得 xxxxy )4ln(2)1ln( 3 1 )1ln(ln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x 1 4 2 )1(3 1 1 1 xxxy y ., )4( 1)1( 2 3 y ex xx y x 求求設(shè)設(shè) 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 的

8、導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)；求由方程確定的隱函數(shù)求由方程確定的隱函數(shù)例例yyx xy ,5. 解解: :兩邊取對(duì)數(shù)，兩邊取對(duì)數(shù)，yxxylnln 再求導(dǎo)再求導(dǎo)y y x y x y xy lnln . )ln( )ln( xxyx yyxy y 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 的二階導(dǎo)數(shù)。的二階導(dǎo)數(shù)。 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程例例 )( . 6 arctan xyy yx e x y 1 22 解解: :將方程化為：將方程化為：x y eyx arctan 22 22 2 22 yx yyx 2 2 1 1 x yyx x y e x y )( arctan 22 yx yyx x兩兩端端對(duì)對(duì)求

9、求導(dǎo)導(dǎo) 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 1.1. 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) )()()( )()1( nnn vuvu )()( )()2( nn CuCu )()( 0 )()()( )2()1()()( ! )1()1( ! 2 )1( )()3( kkn n k k n nkkn nnnn vuC uvvu k knnn vu nn vnuvuvu Nove. 6 Fri. Nove. 6 Fri. ReviewReview 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好從顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或不好 求，可以化為隱函數(shù)求導(dǎo)，常用的方法是兩邊取對(duì)求，可以化為隱函數(shù)求導(dǎo)，常

10、用的方法是兩邊取對(duì) 數(shù)，再求導(dǎo)。數(shù)，再求導(dǎo)。 2.2.隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo). . 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 二二. 參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則 . , )( )( 定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確 間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xy ty tx 由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得。由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得。 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 ；，求，求例例 dx dy ty tx )ln( arcsin . 2 1 1 解：解： dx dy )( )( tx t

11、y 2 2 1 1 1 2 t t t 2 2 1 12 t tt 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 2 2 2 2.(01) sin1 ( ); xtt tyy dy yy x dx 例例設(shè)設(shè)由由方方程程確確定定 函函數(shù)數(shù)，求求 解解: 方程組兩邊對(duì)方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo) , 得得 故故 x y d d )cos)(yt t 11 t y d d t x d d t 2y t t y cosd d 1 2 22 t ycos t y d d 0 )( d d 12 t t x t y d d t x d d 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 ；求求，可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且，其中，其中例例 0 3 0)0( )1(

12、 )( . 3 t t dx dy ff efy tfx dx dy )( )( tf eef tt 31 33 0 t dx dy )( )( 0 03 f f 解：解： 3 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 ;, )( )( 4. 2 2 dx yd ty tx 求求例例 dx dy )( )( t t 2 2 dx yd dx dy dx d 解：解： )( )( t t dx d dx dt t t dt d )( )( )( )()()()( )(t tttt t 2 1 )( )()()()( t tttt 3 )( )( d d t t x y 2 2 , )( )( t t x y d

13、d 已知已知注意注意 : 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 例例5 5 解解: .)2( ;)1( , 2 1 sin ,cos , , 0 0 2 0 0 0 的速度大小的速度大小炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻 的運(yùn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)方向炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻求求 其運(yùn)動(dòng)方程為其運(yùn)動(dòng)方程為發(fā)射炮彈發(fā)射炮彈 發(fā)射角發(fā)射角以初速度以初速度不計(jì)空氣的阻力不計(jì)空氣的阻力 t t gttvy tvx v x y o v x v y v 0 v . , )1( 0 0 可由切線的斜率來(lái)反映可由切線的斜率來(lái)反映 時(shí)刻的切線方向時(shí)刻的切線方向軌跡在軌跡在 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即在在 t t 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 三三. .

14、 由極坐標(biāo)確定的函數(shù)求導(dǎo)由極坐標(biāo)確定的函數(shù)求導(dǎo) .),( dx dy 求求曲線方程為曲線方程為 .sin)( ,cos)( y x ：關(guān)關(guān)系系給給出出曲曲線線參參數(shù)數(shù)方方程程利利用用直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)與與極極坐坐標(biāo)標(biāo) 然后利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則。然后利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則。 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 例例. . 求螺線求螺線 r 在對(duì)應(yīng)于在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程的點(diǎn)處的切線方程. 解解: 化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 sin cos ry rx cos sin x y d d d dy d dx cossin sincos 當(dāng)當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn) 斜率斜率 x y k d d 2 2 2 , ),( 2 0

15、 M 切線方程為切線方程為 2 2 xy 2 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 四四. . 導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 1. 1. 切線與法線問(wèn)題切線與法線問(wèn)題 1.sin2 4 a 例例求求曲曲線線在在處處的的切切線線方方成成 與與法法線線方方程程； 極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程 參數(shù)方程參數(shù)方程 解解: :極坐標(biāo)化為參數(shù)方程：極坐標(biāo)化為參數(shù)方程： sinsinsin)( cossincos)( 2 2 ay ax 為參數(shù)，切線斜率為為參數(shù)，切線斜率為 4 222 222 cossincoscos cossinsincos aa aa dx dy 1 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 法線斜率為法線斜率為1 1，ay

16、ax 2 2 42 2 4 )(,)( 切切點(diǎn)點(diǎn)為為 法線方程為法線方程為: :axay 2 2 2 2 . 0 yx即即 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 2.1xy 例例證證明明：雙雙曲曲線線上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線與與兩兩坐坐 標(biāo)標(biāo)軸軸圍圍成成的的三三角角形形的的面面積積等等于于常常數(shù)數(shù)； 證明證明: : . , 出出面面積積 軸軸上上的的截截距距，即即可可求求求求出出切切線線方方程程及及它它在在yx ),( 11 1yxxy上上一一點(diǎn)點(diǎn)任任取取 )( 12 1 1 1 xx x yy 切切線線方方程程為為： 2 1 1 0 x y xx 過(guò)該點(diǎn)的切線斜率為過(guò)該點(diǎn)的切線斜率為 )( 1 1

17、2 1 1 x y x x y 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 恒為常數(shù)；恒為常數(shù)；切線長(zhǎng)切線長(zhǎng)交點(diǎn)至切點(diǎn)的距離交點(diǎn)至切點(diǎn)的距離 軸的軸的上任一點(diǎn)處的切線與上任一點(diǎn)處的切線與 證明曲線證明曲線 )( )0 , 0( sin )cos 2 tan(ln . 3 xta tay t t ax 證明證明: :，過(guò)過(guò)該該點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)),( 11 yx )( )( )( )(txx tx ty tyy 1 1 1 1 :,軸軸交交點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為得得到到切切線線與與令令xy0 )()()()(txxtytyytx 1111 )( )()()()( ty tytxt

18、ytx x 0 )()( 11 ty dy dx tx 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 )(, )(tyytxx 為兩可導(dǎo)函數(shù)為兩可導(dǎo)函數(shù) yx ,之間有聯(lián)系之間有聯(lián)系 t y t x d d , d d 之間也有聯(lián)系之間也有聯(lián)系 相關(guān)變化率問(wèn)題相關(guān)變化率問(wèn)題解法解法: 找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式 對(duì)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo) 得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式 求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率 2. 2. 相對(duì)變化率問(wèn)題相對(duì)變化率問(wèn)題 . 兩兩個(gè)個(gè)相相互互依依賴賴的的變變化化 率率稱稱為為相相關(guān)關(guān)變變化化率率 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法 12cm 18cm h r H 10cm 例例. . 有裝滿水的正圓錐形漏斗，頂部直徑為有裝滿水的正圓錐形漏斗，頂部直徑為12cm12cm， 深深18cm18cm，下接直徑為，下接直徑為10cm10cm的圓柱形水桶，當(dāng)漏的圓柱形水桶，當(dāng)漏 斗水深為斗水深為12cm12cm時(shí)，水平面下降的速率為時(shí)，水平面下降的速率為1cm/s1cm/s， 試求此時(shí)水桶的水平面上升的速率。試求此時(shí)水桶的水平面上升的速率。 解：解：.,的函數(shù)的函數(shù)均為時(shí)間均為時(shí)間如圖所示，如圖所示，tHhr 18 6 h r .hr 3 1 即即 水桶的水全部由漏斗注入水桶的水全部由漏斗注入, ,