20112515直線(xiàn)一級(jí)倒立擺機(jī)理建模

1、上海電力學(xué)院課程設(shè)計(jì)報(bào)告課名：自動(dòng)控制原理應(yīng)用實(shí)踐題目院系：專(zhuān)業(yè)：班級(jí)：2011151班姓名：學(xué)號(hào)：20112515時(shí)間：2014年1月14日倒立擺系統(tǒng)按擺桿數(shù)量的不同，可分為一級(jí)，二級(jí)，三級(jí)倒立擺等， 多級(jí)擺的擺桿之間屬于自有連接（即無(wú)電動(dòng)機(jī)或其他驅(qū)動(dòng)設(shè)備） 。對(duì)倒立擺 系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問(wèn)題：如非線(xiàn)性問(wèn)題、魯棒性 問(wèn)題、鎮(zhèn)定問(wèn)題、隨動(dòng)問(wèn)題以及跟蹤問(wèn)題等。通過(guò)對(duì)倒立擺的控制，用來(lái) 檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線(xiàn)性和不穩(wěn)定性問(wèn)題的能力。倒立擺的控制問(wèn)題就是使擺桿盡快地達(dá)到一個(gè)平衡位置，并且使之沒(méi) 有大的振蕩和過(guò)大的角度和速度。當(dāng)擺桿到達(dá)期望的位置后，系統(tǒng)能克服 隨機(jī)擾

2、動(dòng)而保持穩(wěn)定的位置。1.1 倒立擺的控制方法 倒立擺系統(tǒng)的輸入來(lái)自傳感器的小車(chē)與擺桿的實(shí)際位置信號(hào)，與期望 值進(jìn)行比較后，通過(guò)控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換驅(qū)動(dòng)直流電機(jī)實(shí) 現(xiàn)倒立擺的實(shí)時(shí)控制。直流電機(jī)通過(guò)皮帶帶動(dòng)小車(chē)在固定的軌道上運(yùn)動(dòng)， 擺桿的一端安裝在小車(chē)上，能以此點(diǎn)為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由 地?cái)[動(dòng)。作用力 u 平行于鐵軌的方向作用于小車(chē)，使桿繞小車(chē)上的軸在豎 直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，小車(chē)沿著水平鐵軌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)沒(méi)有作用力時(shí)，擺桿處于垂直 的穩(wěn)定的平衡位置 （豎直向下） 。為了使桿子擺動(dòng)或者達(dá)到豎直向上的穩(wěn)定， 需要給小車(chē)一個(gè)控制力，使其在軌道上被往前或朝后拉動(dòng)。本次設(shè)計(jì)中我們采用其中的牛頓歐拉

3、方法建立直線(xiàn)型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的 數(shù)學(xué)模型， 然后通過(guò)開(kāi)環(huán)響應(yīng)分析對(duì)該模型進(jìn)行分析， 并利用學(xué)習(xí)的古典控制理 論和 Matlab /Simulink 仿真軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)， 主要采用根軌跡法， 頻域法以及PID （比例-積分-微分）控制器進(jìn)行模擬控制矯正。2 直線(xiàn)倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立直線(xiàn)一級(jí)倒立擺由直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)模塊和一級(jí)擺體組件組成， 是最常見(jiàn)的倒立擺之 一，直線(xiàn)倒立擺是在直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)模塊上裝有擺體組件， 直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)模塊有一個(gè)自由度， 小車(chē)可以沿導(dǎo)軌水平運(yùn)動(dòng)，在小車(chē)上裝載不同的擺體組件。系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N： 機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。 實(shí)驗(yàn)建模就是通過(guò)在研究對(duì) 象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信

4、號(hào)， 激勵(lì)研究對(duì)象并通過(guò)傳感器檢測(cè) 其可觀測(cè)的輸出， 應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。 這里面包括輸入 信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。鑒于小車(chē)倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)， 實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。因此，本文 通過(guò)機(jī)理建模方法建立小車(chē)倒立擺的實(shí)際數(shù)學(xué)模型，可根據(jù)微分方程求解傳遞函 數(shù)。2.1微分方程的推導(dǎo)（牛頓力學(xué)方法）微分方程的推導(dǎo)在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后， 可將直線(xiàn)一級(jí)倒立擺系 統(tǒng)抽象成小車(chē)和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。做以下假設(shè)：m、車(chē)質(zhì)量m罷桿質(zhì)量b小車(chē)摩擦系數(shù)I擺桿慣量F加在小車(chē)上的力x小車(chē)位置擺桿與垂直向上方向的夾角系統(tǒng)中小車(chē)和擺桿的受力分析圖

5、是圖2。其中，N和P為小車(chē)與擺桿相互作用 力的水平和垂直方向的分量。注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù) 方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖 2所示，圖示方向?yàn)槭噶空较颉?lxFfirtOI(2-1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式:m(x lsindt即:? ?m x ml cos? 2ml sin(2-3)把這個(gè)等式代入式（1）中,就得到小車(chē)運(yùn)動(dòng)方程（第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程）：(2-2)? ? ?（M m）x bx ml cos為了推出擺桿的運(yùn)動(dòng)方程? 2ml sin F(2-4)（第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程），對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析,可以得到下面方程:mgm(lcosdt(

6、2-5)圖2-2 小車(chē)及擺桿受力分析分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下方程:? ?mg?ml sin? 2ml cos(2-6)Mx F bx N力矩平衡方程如下:?Pl sin Nl cos I注意：方程中力矩的方向，由于coscos, sin(2-7)sin和（3）代入，約去P和N,得到擺桿運(yùn)動(dòng)方程（第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程）? ?2(I ml ) mgl sin ml x cos(2-8)設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè) 與1 （單位是弧度）cos1,sind 2,(dt)0用U來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，線(xiàn)性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下?(I ml2) mglml?x(M m)x bxml

7、u進(jìn)行拉氏變換，得：(I ml 2) (s)s2 (M m)X(s)s2mgl (s) mlX (s)s2 bX (s) s ml (s)s2 U (s)相比很小，即 i，則可以進(jìn)行線(xiàn)性化近似處理:由于輸出為角度，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到:(2-9)X(s)2(I ml)耳(s) C卩：上 ml sX (s)mls29(I ml )s mgl(2-10)（10）式稱(chēng)為擺桿角度與小車(chē)位移的傳遞函數(shù)?如令v x，則有：（2-11）由于伺服電機(jī)的速度控制易（s）ml2 2V （s）（I ml ）s mgl（11）式稱(chēng)為擺桿角度與小車(chē)加速度間的傳遞函數(shù), 于實(shí)現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)中常采用此式。把（10）式

8、代入（9）式的第二個(gè)方程中，得到:(Mm)(I ml2)ml(s)s2(I mlml(s)s ml (s)s2 U (s)mls(2-12)(s)qU(s) 3 b(I ml2) 2 (M m)mgl bmgl s s s qqq其中，q (M m)(l ml2) (ml)2(12) 式稱(chēng)為擺桿角度與外加作用力間的傳遞函數(shù)2.2實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)M小車(chē)質(zhì)量1.096kgm擺桿質(zhì)量0.109kgb：小車(chē)摩擦系數(shù)0.1N/secl :擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25mI :擺桿慣量20.0034kgm1(J *J - m) - Min T00gF $ 1 r+BT 尸-I+m)- Mm：+00附

9、+旳)fl(Xf + m J + 5/wrJ (1/ 十A/ nr l *J (XJ + 州；.VmQ0x_01 0_0_代入模型參數(shù)得*010o-才耳0000IX1a$0001$00029.403XX-1_iQ 0OiOy =00 10001 h03開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的時(shí)域分析3.1擺桿角度為輸出響應(yīng)的時(shí)域分析本系統(tǒng)采用以小車(chē)的加速度作為系統(tǒng)的輸入，擺桿角度為輸出響應(yīng)，此時(shí)的傳 遞函數(shù)為3辭二 29.4當(dāng)輸入為小車(chē)加速度時(shí)擺桿角度的單位階躍響應(yīng)在matlab中建立 m文件oloopl.m內(nèi)容如下：m=0.02725;n=0.0102125 0 -0.26705;t=0:0.1:20;step(m, n

10、,t)axis(0 4 0 100)100Step Resp onse9080706050403020100epm2.5Time (sec)圖3-1擺桿角度的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)圖當(dāng)輸入為小車(chē)加速度時(shí)擺桿角度的單位脈沖響應(yīng)在matlab中建立 m文件命名為oloop2.m內(nèi)容如下：m=0.02725;n=0.0102125 0 -0.26705;t=0:0.1:20;impulse(m, n,t)axis(0 4 0 100)Impulse Resp onse0.511.522.533.54Time (sec)9080o60o o5 4oo3 2o001圖3-2擺桿角度的單位脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)圖3.2小

11、車(chē)位置為輸出響應(yīng)的時(shí)域分析采用以小車(chē)的加速度作為系統(tǒng)的輸入，小車(chē)位置為響應(yīng)，貝吐匕時(shí)的傳遞函數(shù) 為X(s)(3-3)V(s)圖3-3小車(chē)位置的單位脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)圖圖3-4 小車(chē)位置的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)圖由于以上時(shí)域分析中所有的傳遞函數(shù)的響應(yīng)圖都是發(fā)散的，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要校正。四根軌跡設(shè)計(jì)4.1原系統(tǒng)的根軌跡分析本系統(tǒng)采用以小車(chē)的加速度作為系統(tǒng)的輸入，擺桿角度為輸出響應(yīng),2、在matlab中輸入以下程序求出傳函clcclearA=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B=0；1；0；3;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;Sys=ss(A,B,C,D);s

12、y=tf(Sys)結(jié)果為1#1:-3#2：sA2 - 8.882e-016 s - 29.4則可知G1 (s)=何2;取近似值 G2(s)=3/(sA2-29.4)3、繪制原根軌跡圖num=1; den=1 0 0; rlocus( nu m,de n)10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1CT-=-rrrGrTRoot Locus-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real Axis圖四：小車(chē)位移根軌跡圖num=3;den=1 0 -29.4; rlocus( nu m,de n)RrxA WFanuoayrLLrrRoot Locus-

13、2 0 2Real Axis4642 o2-圖五：擺桿角度的根軌跡圖4、繪制系統(tǒng)伯德圖：num=3; den=1 0 -29.4;ss=tf( num,de n);bode(ss)o o o o o okDdr oopnow M-181-179.5-180-180.5oBode Diagram180-7911010210Frequency (rad/sec)圖六：擺桿角度的bode圖num=1; den=1 0 0; ss=tf( nu m,de n);bode(ss)Bode Diagramo oo-230-10)DDQrun.kngaM-40 -179-179.5-180-180.5-18

14、10Frequency (rad/sec)10l9eacesanp110圖七：小車(chē)位移的bode圖可以看出，系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)，有兩個(gè)極點(diǎn)，并且有一個(gè)極點(diǎn)為正。畫(huà)出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡如圖，可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點(diǎn)，并沿著實(shí)軸向左跑到位于原點(diǎn)的零點(diǎn)處，這意味著無(wú)論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。4.2串聯(lián)超前校正裝置設(shè)計(jì)對(duì)此系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，使得校正后系統(tǒng)的要求如下：調(diào)整時(shí)間：ts=2s最大超調(diào)量：p=60%4.2.1確定閉環(huán)期望極點(diǎn)的位置sigma=0.6; zeta=(log(1/sigma)A2)/(pi)A2+(l

15、og(1/sigma)F2)A0.5結(jié)果為zeta =0.1605由于原系統(tǒng)存在兩個(gè)零點(diǎn)處極點(diǎn)，等幅振蕩，故取期望阻尼系數(shù)滿(mǎn)足zeta=0.6 ,另外，系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程時(shí)間與系統(tǒng)阻尼比和無(wú)阻尼自然頻率的關(guān)系，可選omiga=5。輸入：zeta=0.6;omiga=5;d=1 2*zeta*omiga omiga*omiga;roots(d)結(jié)果為ans =-3.0000 + 4.0000i-3.0000 - 4.0000i4.2.2超前校正傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)未校正系統(tǒng)的根軌跡在實(shí)軸和虛軸上， 不通過(guò)閉環(huán)期望極點(diǎn)，因此需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超前校正，設(shè)控制器為：K(s) 衛(wèi)-c(1)Ts 1 s pc4.2.3校

16、正參數(shù)計(jì)算輸入：n0=1;d0=1 0 0;s1=-3+4j;fai0=180-a ngle(polyval (n 0,s1)/polyval(d0,s1)*180/pi結(jié)果為:fai0 =73.7398將超前校正網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)配置在期望主導(dǎo)極點(diǎn)的正下方，取z=3。再考慮從超前校正裝置的極點(diǎn)位置， 由相角條件可知， 期望極點(diǎn)與校正裝置極點(diǎn)的相角應(yīng)滿(mǎn) 足： fai0+fai1=90 ，所以 fai1=16.2602 。過(guò)si,做角度為16.26度的直線(xiàn)，計(jì)算該直線(xiàn)的實(shí)軸的交點(diǎn)：s1=-3+4j;fai1=16.26;p=abs(real(s1)+(abs(imag(s1)/tan(fai1*pi/1

17、80) 結(jié)果為p =16.7145 則超前校正為Gc1(s)=K1(s+3)/(s+16.7145)校正后的系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K1(s+3)/(sA2*(s+16.7145)4.2.5 matlab 環(huán)境下串聯(lián)超前校正后的根軌跡圖num=1 3;den=1 16.7145 0 0; rlocus(num,den)Root LocusSystem: sysGain: 89.4Pole: -3.01 + 4iDamping: 0.602Overshoot (%): 9.36Frequency (rad/sec): 5-5-10-16-14-12-10 -8Real Axis-6-4-2

18、圖4-2串聯(lián)超前校正后系統(tǒng)的根軌跡圖由圖可知，系統(tǒng)的三條根軌跡都有位于左半平面的部分，選取適當(dāng)?shù)腒就可以穩(wěn)定系統(tǒng)。K仁 89.44.2.6系統(tǒng)校驗(yàn)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)nope n=89.4 268.2;dope n=1 16.7145 89.4 268.2;ss=tf( nope n, dope n);step(ss)1.4Step Response1.20.80.60.40.20.20.40.60.81.21.41.61.82Time (sec)System: ssPeak amplitude: 1.36 Overshoot (%): 35.7 At time (sec): 0.514e up m

19、ASystem: ssSettling Time (sec): 1.53串聯(lián)超前校正后系統(tǒng)的單位階越響應(yīng)由圖可知ts2s,sigma60%;滿(mǎn)足要求4.3、對(duì)于 G2(s)4.3.1確定期望主導(dǎo)極點(diǎn)sigma=0.6;zeta=(log(1/sigma)A2)/(pi)A2+(log(1/sigma)A2)A0.5結(jié)果為zeta =0.1605取期望阻尼系數(shù)滿(mǎn)足zeta=0.5，另外，系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程時(shí)間與系統(tǒng)阻尼比和無(wú)阻 尼自然頻率的關(guān)系，可選omiga=4。輸入：zeta=0.5;omiga=4;d=1 2*zeta*omiga omiga*omiga;roots(d)結(jié)果為ans =-2.0

20、000 + 3.4641i-2.0000 - 3.4641i4.3.2繪制原根軌跡圖num=3;den=1 0 -29.4;rlocus( nu m,de n)Root Locuscfxa vnLya p-2-6-6-20Real Axis擺桿角度原根軌跡原系統(tǒng)根軌跡位于S平面的實(shí)軸。不通過(guò)期望主導(dǎo)極點(diǎn)，選擇超前校正4.3.3計(jì)算超前校正產(chǎn)生的超前相角 輸入 : n0=3;d0=1 0 -29.4;s1= -2.0000 + 3.4641i;fai0=180-angle(polyval(n0,s1)/polyval(d0,s1)*180/pi 結(jié)果為：fai0 =20.3293將超前校正網(wǎng)絡(luò)的

21、零點(diǎn)配置在期望主導(dǎo)極點(diǎn)的正下方，取z=2。再考慮從超前校正裝置的極點(diǎn)位置， 由相角條件可知， 期望極點(diǎn)與校正裝置極點(diǎn)的相角應(yīng) 滿(mǎn)足： fai0+fai1=90 ，所以 fai1=69.6707 。過(guò)si,做角度為69.67度的直線(xiàn)，計(jì)算該直線(xiàn)的實(shí)軸的交點(diǎn)：輸入：s1=-2+3.4641j;fai1=69.67;p=abs(real(s1)+(abs(imag(s1)/tan(fai1*pi/180)結(jié)果為： p =3.2835則超前校正為 Gc2(s)=K2(s+2)/(s+3.2835)校正后的系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K2(s+2)/( (sA2 -29.4)*(s+3.2835)繪制

22、根軌跡圖nopen=1 2;dopen=conv(1 0 -29.4,1 3.2835);rlocus(nopen,dopen)25cfxa wanLya-25-6LLSystem: sysGain: 43.2Pole: -2 + 3.5Damping: 04 Overshoot (% Frequency (rn5i9):17.1 d/sec): 4.08 -IffrVrtRoot Locus-4-2 024205o5o-5o5 o1 2- -Real Axis擺趕角度原根軌跡圖由圖可知K2=43.24.3.5系統(tǒng)校驗(yàn)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)nopen=43.2 86.4;dope n=1 3.2835 13.8 -10.1349;ss=tf( nope n, dope n);step(ss)eg-1 mALLLISystem: ss/Peak amplitude: 1.5Overshoot