不定積分求解方法及技巧小匯總0001

1、 砂傷8 不定積分求解方法及技巧小匯總 摘要：總結不定積分基本定義，性質和公式，求不定積分的幾種基本方法和技巧，列舉個 別典型例子，運用技巧解題。 一.不定積分的概念與性質 定義1如果F(X是區(qū)間I上的可導函數(shù)，并且對任意的xel,有r(x)=f(x)dx則稱F (X)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)。 定理1 (原函數(shù)存在定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么f(x)在區(qū)間I上一定有 原函數(shù)，即存在可導函數(shù)F(X),使得F(X)=f(x) (XGI) 簡單的說就是，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù) 定理2設F(X)是f(x)在區(qū)間I匕的一個原函數(shù)，則 (1) F(X)+C也是f(x)在區(qū)間1上的原函

2、數(shù)，其中C是任意函數(shù)； (2) f(x)在I上的任意兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)。 定義2設F(X)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，那么f(x)的全體原函數(shù)F(X)+C稱為 f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為J f(x)d(xb即J f(x)d(x)=F(x)+C 其中記號J稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(xM(X)稱為被積表達式，X稱為枳分變 量，C稱為積分常數(shù)。 設函數(shù) f(x)和 gM存在原函數(shù)，則 J f(x)g(x)dx=J f(x)dx J g(x)dx. 性質1 性質2 設函數(shù)f(x)存在原函數(shù)，k為非零常數(shù),則J kf(x)dx=kj f(x)dx. 換元積分法的定理

3、如果不定積分J g(x)dx不容易直接求出，但被積函數(shù)可分解為g(x)=f(x) 0). 做變量代換片0(x),并注意到0，(x)cJx=d0(x),則可將變量X的積分轉化成變量U的積分, 于是有 J g(x)dx=J f0(x) 0(x)dx=J f(u)du. 如果J f(u)du町以枳出，則不定積分J g(x)dx的計算問題就解決了，這就是第一類換 元法。第一類換元法就是將fi合函數(shù)的微分法反過來用來求不定積分。 定理1設F(u)是f(u)的一個原函數(shù)，u=0(x)可導，則有換元公式 J f0(x) 0(x)dx二J f(u)du=F(u)+C=F)6Zr=J f(axb)daxb) (

4、a 工 0) 2 J /(艾嚴)文嚴】心=2 ”(*)(*)(“工0) 3 J f (五)十 dx = 2 j /(VxZa/x 4些一”(M 5j /)v仏二J f3)d0 6 J y*(lnx)= J /(InAXZln x 7j/(存).仏=打(嚴加 &J /(sin x)*cosxtc = J /(sinx)rfsiii x J/*(cosx)*sln xdr=J/(cosx)/cosx H = ax+b H二對 I4 = yx =i u=a H =nx =少 u =sinx = cosx J /(tan xsexxdx = J /(tan x)rf tan x J f (cotxXe

5、-xz/x = - J /(cotxcotx 9.Jsin mxcosnx改 fsinz/tvsin/rxdv U = tan X tf =cotx 利用積化和差 公式進行變換 員加掙8 cos MX cos 磁仮 （加為奇數(shù)） Jco屮pZr (加為偶數(shù)) 12.J/(arctanx) dx = J/(arctanx)(/(arctanA) j f (aresinX)-=i=d!r 二 J/(aicsinx)r/(aicsinx) 用公式，f lsin-x = eoyrx 1 cx-x = sin-A 進行變換 化為倍角的三角函 數(shù)降幕后再積分 tf = arctanx u =arcsinx

6、 四.解不定積分的基本方法 四.求不定積分的方法及技巧小匯總 1. 利用基本公式。（這就不多說了） 2. 第一類換元法。（湊微分） 設f(U)具有原函數(shù)F( H )o則 x)dx = J fp(x)y/ j* 2x +1. 11 x(X- +1)- 心(X- +1)- J %*(X- +1)- J (丄 - 7= j- -丄+ C = + C J /(“ + 1)“ + 1 “x-x +1) 故不定積分求得。 (2)三角函數(shù)有理式的積分 萬能公式： 2tan 2 sin X = 1 + tau 2 1 一 tan- 2 cosx= 1+ tail- 2 P(sinx,cosA；)dx可用變換丄化為有理函數(shù)的積分，但由于計算較煩，應 g(siiix,cosx)2 盡量避免。 對于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成竺或竺竺。再用待定系數(shù) sinx COSX A(acosx+bsin.x)+Sacosx + bsin!x)來做 acosx+bsinx (3)簡單無理函數(shù)的積分 一般用第二類換元法中的那些變換形式。 像一些簡單的，應靈活運用。如：同時出現(xiàn)石和71石時，可令x=tair/；同 時出現(xiàn)77和Jl-x時,可令x = siii-Z ；同時出現(xiàn)J1-亍和arcsuLV時,可令x=sint； 同時出現(xiàn)Jl-x和arccoar時