二次根式教材培訓(xùn)第二十一章“二次根式”簡介

1、第二十一章“二次根式”簡介本章內(nèi)容“二次根式”是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。從數(shù) 學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)看，關(guān)于數(shù)的內(nèi)容，第三學(xué)段主要學(xué)習(xí)有理數(shù)和實(shí)數(shù)。對(duì)于有理數(shù)和實(shí)數(shù)，本 套教課書主要分三章編寫，分別是 7 年級(jí)上冊(cè)第 1 章“有理數(shù)”， 7 年級(jí)下冊(cè)第 10 章“實(shí) 數(shù)”和本章“二次根式”。本章是在第 10 章的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究有關(guān)實(shí)數(shù)的內(nèi)容。在第 10 章“實(shí)數(shù)”中，學(xué)生學(xué)習(xí)了一些有關(guān)實(shí)數(shù)的概念和運(yùn)算，所學(xué)概念主要有平方 根、算術(shù)平方根、立方根以及無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念；關(guān)于運(yùn)算，主要是利用平方運(yùn)算和立方 運(yùn)算求某些數(shù)的平方根和立方根， 并對(duì)有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中仍然成 立

2、這一點(diǎn)有所體驗(yàn)。本章是在第 10 章的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究二次根式的概念和運(yùn)算。在本章中，學(xué)生將學(xué)習(xí)二 次根式的概念、 性質(zhì)、運(yùn)算法則和化簡的方法，通過對(duì)二次根式的概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)， 學(xué)生 將對(duì)實(shí)數(shù)的概念有更深刻的認(rèn)識(shí)，通過對(duì)二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生將對(duì) 實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算有進(jìn)一步的了解。 學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵是理解二次根式的概念和性質(zhì)， 它們 是學(xué)習(xí)二次根式的化簡與運(yùn)算的依據(jù)，重點(diǎn)是二次根式的化簡和運(yùn)算，難點(diǎn)是正確理 二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則的合理性。本章內(nèi)容與已學(xué)“實(shí)數(shù)”“整式”“勾股定理”等內(nèi)容聯(lián)系緊密，同時(shí)也是以后將 要學(xué)習(xí)的“解直角三角形” “一元二次方程”和“二次函數(shù)”等內(nèi)

3、容的重要基礎(chǔ)， 并為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識(shí)作好準(zhǔn)備。本章教學(xué)時(shí)間約需 9 課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）21 .1二次根式約2課時(shí)21 .2二次根式的乘除約2課時(shí)21 .3二次根式的加減約3課時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)約2課時(shí)、教科書內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖（二）教科書內(nèi)容本章內(nèi)容分為三節(jié)，第一節(jié)主要學(xué)習(xí)二次根式的概念和性質(zhì)，本節(jié)既是第10章相關(guān)內(nèi)容的發(fā)展，同時(shí)又是后面兩節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此本節(jié)起承上啟下的作用；第二節(jié)是二次根式的乘除運(yùn)算，主要研究二次根式的乘除運(yùn)算法則和二次根式的化簡；第三節(jié)是二次根式的加減， 主要研究二次根式的加減運(yùn)算法則和進(jìn)一步完善二次根式

4、的化簡。在第21.1節(jié)“二次根式”中，教科書首先給出四個(gè)實(shí)際問題，這些實(shí)際問題的背景是學(xué)生比較熟悉的，其中包含的數(shù)學(xué)關(guān)系也是比較簡單的， 前三個(gè)是幾何問題， 分別是已知直 角三角形的兩條直角邊求斜邊的長、 已知正方形的面積求邊長和已知圓的面積求半徑，最后一個(gè)實(shí)際問題是物理方面的，涉及到的數(shù)學(xué)關(guān)系是 廠 二”，要求用h表示t。解決這四個(gè) 問題需要利用已學(xué)的平方根和算術(shù)平方根的知識(shí)，這四個(gè)問題的答案，在結(jié)果的表達(dá)式上有共同的特點(diǎn)，即都是用算術(shù)平方根的形式表示出來的，這樣教科書就從實(shí)際問題出發(fā)，通過分析所得答案的表達(dá)式的共同特點(diǎn)引出二次根式的概念。在二次根式的概念中， 重要的一點(diǎn)是理解被開方數(shù)是非負(fù)

5、數(shù)的要求，教科書結(jié)合例題對(duì)此進(jìn)行了較詳細(xì)的分析。接下去，教科書依次探討了關(guān)于二次根式的結(jié)論：宀-廠二是一個(gè)非負(fù)數(shù)、L：:，教科書是利用算術(shù)平方根的概念得到的;教科書則采用由特殊到一般的方法歸納得出的。在研究這個(gè)結(jié)論時(shí)，教科書首先設(shè)置“探究”欄目，要求學(xué)生利用算術(shù)平方根的概念進(jìn)行幾個(gè)具體的計(jì)算,并對(duì)運(yùn)算過程和運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的分析，最后歸納給出這條結(jié)論；對(duì)于結(jié)論L,-，教科書同樣采用了讓學(xué)生通過具體計(jì)算，分析運(yùn)算過程和運(yùn)算結(jié)果，最后歸納得出一般結(jié)論的方法進(jìn)行研究。第一節(jié)的內(nèi)容是學(xué)習(xí)后兩節(jié)內(nèi)容的直接基礎(chǔ)。對(duì)于二次根式的運(yùn)算，教科書首先研究了乘除運(yùn)算，這是21.2節(jié)“二次根式的乘除”的內(nèi)容。本節(jié)中

6、，除了學(xué)習(xí)二次根式的乘除運(yùn)算法則外，還研究了二次根式的化簡。對(duì)于二次根式的乘除運(yùn)算，教科書首先研究了二次根式的乘法運(yùn)算，二次根式的乘法法則是利用由特殊到一般的方法歸納給出的。教科書先設(shè)置一個(gè)“探究”欄目，在“探究”欄目中包含兩 個(gè)不同層次的探究問題。 第一步是讓學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第二步是讓學(xué)生對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，因此第一步中的被開方數(shù)都是完全平方數(shù)，這樣有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律， 第二步中的被開方數(shù)不是完全平方數(shù)，要求用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)算，以確認(rèn)規(guī)律是否正確。這樣，學(xué)生通 過“探究”欄目的活動(dòng)，就可以發(fā)現(xiàn)與當(dāng)一之間的關(guān)系，從而得到二次根式乘法的運(yùn)算法則，運(yùn)用運(yùn)算法則就可以進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算。如

7、果將二次根式的乘法法則反過來看，就可以得到積的算術(shù)平方根的性質(zhì)u丄，利用這條性質(zhì)可以化簡二次根式，這樣教科書就給出了一種化簡二次根式的方法。對(duì)于二次根式的除法運(yùn)算， 類似于乘法運(yùn)算，教科書也采用了由特殊到一般的方法，通過歸納得出二次根式除法的運(yùn)算法則，繼而得到商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，利用這條性質(zhì)也可以化簡二次根式，這樣教科書又給出一種給出了最簡二次根式的概念，明確化簡二次根式的方法。本節(jié)最后，教科書結(jié)合本章例題,了化簡二次根式的方向，這為下一節(jié)學(xué)習(xí)二次根式的加減運(yùn)算作好鋪墊。第21.3節(jié)是“二次根式的加減”，本小節(jié)的主要內(nèi)容是二次根式的加減運(yùn)算和二次根 式的加、減、乘、除混合運(yùn)算，本小節(jié)的基礎(chǔ)是

8、學(xué)生已經(jīng)掌握了把一個(gè)二次根式化簡成最簡 二次根式的方法。學(xué)習(xí)二次根式的運(yùn)算是研究數(shù)學(xué)的需要，也是實(shí)際的需要。本節(jié)開始，教 科書結(jié)合一個(gè)實(shí)際問題引出二次根式的加法運(yùn)算，使學(xué)生感到研究二次根式的加減運(yùn)算是實(shí)際的需要。這個(gè)實(shí)際問題是要在一塊長方形木板上截出兩塊面積不同的正方形木板，當(dāng)然解決這個(gè)實(shí)際問題的方法可能不同，教科書采用的是先求出兩個(gè)正方形的邊長的和，再將這個(gè)和與長方形的長進(jìn)行比較的方法，利用這種方法會(huì)遇到求二次根式的和的問題，這樣教科書就從實(shí)際問題出發(fā)引出了二次根式的加法運(yùn)算的問題。之后，教科書結(jié)合這個(gè)例子， 研究了二次根式加減運(yùn)算的法則， 明確了二次根式的加減首先是化簡，在化簡之后就是類似

9、于整式的加減運(yùn)算了。整式加減無非是去括號(hào)與合并同類項(xiàng)，二次根式在化簡之后也是如此，合并被開方數(shù)相同的二次根式 （合并同類二次根式） 實(shí)際上相當(dāng)于合并同類項(xiàng)， 合并的依據(jù)是分 配律，關(guān)于這一點(diǎn)，在第 10章“實(shí)數(shù)”中已經(jīng)有所涉及，教科書也在邊空給出說明。在分 別學(xué)習(xí)了二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算的基礎(chǔ)上，就可以研究它們的混合運(yùn)算了。教科書 以例題的方式介紹了二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算的例子，突出了二次根式與整式之間的關(guān)系，體現(xiàn)了整式的運(yùn)算性質(zhì)、公式和法則與二次根式相關(guān)內(nèi)容的一致性。（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)對(duì)于本章內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)達(dá)到以下幾方面要求：1. 理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)

10、的理由；2. 了解最簡二次根式的概念；3. 理解并掌握下列結(jié)論：（1廠“是非負(fù)數(shù)；（2）7 一 ；（ 3）廠宀；4. 掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算；5. 了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用。二、本章編寫特點(diǎn)（一）注意加強(qiáng)知識(shí)間的縱向聯(lián)系本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”這個(gè)領(lǐng)域，對(duì)于實(shí)數(shù)的內(nèi)容，本套教科書主要分為兩章學(xué) 習(xí)，分別是七年級(jí)下冊(cè)的第 10 章“實(shí)數(shù)”和本章“二次根式”。 在“實(shí)數(shù)”一章中，主要 研究了平方根、 立方根的概念和求法， 實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算， 學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)由有理 數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍， 并對(duì)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

11、和運(yùn)算法則有了初步的感受， 這些就為本章 的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。因此，本章編寫時(shí)充分注意與已有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，在“實(shí)數(shù)”一章的基礎(chǔ)上 進(jìn)行編寫。 例如，對(duì)于二次根式的加減運(yùn)算，在“實(shí)數(shù)”一章中，學(xué)生在體驗(yàn)“有理數(shù)的運(yùn) 算律和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)仍然成立” 的過程中有所接觸， 本章就在此基礎(chǔ)上利用分配 律給出了加減法的運(yùn)算法則，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)算律在數(shù)的擴(kuò)充過程中的一致性。本章內(nèi)容與第 15 章“整式”有著密切的聯(lián)系。由于數(shù)式通性，當(dāng)將二次根式中的實(shí)數(shù) 看成字母時(shí)， 二次根式的運(yùn)算實(shí)際上就是整式的運(yùn)算， 因此整式的運(yùn)算法則和公式在二次根 式的運(yùn)算中繼續(xù)使用，因此本章編寫時(shí)， 強(qiáng)調(diào)了與整式相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系

12、。例如，教科書在介 紹二次根式的混合運(yùn)算時(shí)， 強(qiáng)調(diào)了利用多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式進(jìn)行運(yùn)算， 突出了二次 根式運(yùn)算的本質(zhì)， 這樣的編寫方式加強(qiáng)了知識(shí)之間的相互聯(lián)系， 有助于使學(xué)生的學(xué)習(xí)形成正 遷移。（二）加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系 研究二次根式的概念和運(yùn)算既是數(shù)學(xué)內(nèi)在的需要， 也是實(shí)際的需要， 因此本章編寫時(shí)， 注意 加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系。 例如， 二次根式概念的引入是結(jié)合四個(gè)實(shí)際問題展開的， 二次根式加法 運(yùn)算是結(jié)合實(shí)際中裁截板材引出的， 另外本章也有較多的應(yīng)用本章內(nèi)容解決實(shí)際問題的例題 和習(xí)題，如計(jì)算鋼材問題、確定紙張規(guī)格問題、電視塔的傳播半徑問題等。 加強(qiáng)二次根式與使學(xué)生在解決實(shí)際問題的過實(shí)際的聯(lián)系，

13、 將一些重要的概念和運(yùn)算緊密結(jié)合實(shí)際生活展開， 程中認(rèn)識(shí)二次根式的有關(guān)概念和運(yùn)算，這樣的一種編寫方式有助于學(xué)生理解二次根式的本 質(zhì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性（三）加大學(xué)生探索空間，體現(xiàn)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程由于本章內(nèi)容與以前所學(xué)的實(shí)數(shù)內(nèi)容有較多聯(lián)系， 在思考問題的方法上與整式的內(nèi)容又有很 多相通之處，因此對(duì)于一些重要結(jié)論，編寫時(shí)注意了讓學(xué)生通過觀察、 思考、討論等探究活 動(dòng)歸納得出結(jié)論的過程。 例如， 對(duì)于二次根式的乘法法則， 教科書首先讓學(xué)生利用二次根式 的概念和性質(zhì)進(jìn)行幾個(gè)具體的計(jì)算， 其中有兩個(gè)二次根式相乘的問題， 也有積的算術(shù)平方根 的問題， 學(xué)生通過具體計(jì)算， 并觀察所得結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次

14、根式相乘與積的算術(shù)平方根之間的關(guān) 系，并利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算， 然后利用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)證， 最后歸納得出二次根式的乘法 運(yùn)算法則，這個(gè)過程實(shí)際上讓學(xué)生通過探究活動(dòng)經(jīng)歷了一個(gè)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程；同樣，二次根式的除法運(yùn)算法則也是采用通過學(xué)生的探索活動(dòng)， 由特殊到一般地歸納得出結(jié)論的方 法。這樣， 根據(jù)本章內(nèi)容的特點(diǎn)，本章編寫時(shí)盡可能多地給學(xué)生留出探索交流的空間，通過這樣的探究活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的思維能力， 有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式， 掌握認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律三、幾個(gè)值得關(guān)注的問題（一）適當(dāng)加強(qiáng)練習(xí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中較基礎(chǔ)的內(nèi)容，尤其是二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算是 后續(xù)學(xué)

15、習(xí)解直角三角形、 一元二次方程和二次函數(shù)的重要基礎(chǔ)，例如在 “銳角三角函數(shù)”一 章中， 會(huì)遇到很多實(shí)際問題， 在解決實(shí)際問題的過程中， 要遇到將二次根式化成最簡二次根 式以及二次根式的加減運(yùn)算，在“一元二次方程”中，利用公式法解方程時(shí)，會(huì)用到二次根 式的性質(zhì)，在“二次函數(shù)”一章中，判斷二次函數(shù)的圖象與 x 軸是否有交點(diǎn)時(shí)，會(huì)遇到根的 判別式中被開方數(shù)小于 0 的情形，這里需要深刻理解二次根式的意義。因此二次根式的有 關(guān)概念和運(yùn)算是學(xué)好這些后續(xù)內(nèi)容的重要基礎(chǔ)， 而熟練掌握二次根式的概念和運(yùn)算需要一定 的訓(xùn)練。這樣，教學(xué)中可以適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生較好地理解二次根式的意義，較好地掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，也為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識(shí)作好準(zhǔn)備。另外，本章內(nèi)容與“整式”“勾股定理”等聯(lián)系緊密，在加強(qiáng)練習(xí)的過程中，要注意強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，進(jìn)一步加深對(duì)整式和勾股定理等內(nèi)容的理解，使學(xué)生養(yǎng)成以聯(lián)系和發(fā)展的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣.（二）引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)本章的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解二次根式的概念，并會(huì)熟練運(yùn)用法則進(jìn)行運(yùn)算。本章編寫時(shí)，注重說明性質(zhì)和法則成立的合理性，突出了它們的數(shù)學(xué)本質(zhì)。 例如，教科書在介紹二次根式的性質(zhì) 時(shí)，首先讓學(xué)生通過探究活動(dòng)，對(duì)這條性質(zhì)有所感受，然后再從算術(shù)平方根的意義出發(fā)， 結(jié)合具體例子對(duì)這條性質(zhì)進(jìn)行分析，最