中學數(shù)學教師必備的高等數(shù)學知識中學數(shù)學教師必備的高等數(shù)學知識空間的曲線和曲面0001

1、第七節(jié)曲面及其方程一、曲面方程的概念像在平面解析幾何中把平面曲線當作動點的軌跡一樣，在空間解析幾何中，任 何曲面都看作動點的幾何軌跡。這樣，在空間直角坐標系中，根據(jù)動點的運動規(guī)律 可建立起關(guān)于的方程1 o定義：如果曲面S與一個三元方程：| I存在關(guān)系（1）曲面上任何點的坐標都滿足方程，（2）凡是坐標滿足方程的點都在曲面上，那么方程-稱為曲面S的方程，曲面S稱為方程的圖 形。研究空間曲面時有兩方面的問題：（1）已知一曲面作為動點的幾何軌跡，建立曲面的方程，（2）已知方程- ：1研究它所表示的曲面的形狀。作為問題（1），我們建立球面方程和旋轉(zhuǎn)曲面的方程，作為問題（2）我們討論柱面。例1到定點的距離

2、等于定長的點的幾何軌跡是球面，定點是球心，定長是半徑。建 立球心在點V- - IJ-，半徑為乩的球面方程。解：設(shè)是球面上的任一點，貝y卜所以；.I 球心在原點，半徑為F：的球面方程為圖 9一25例2討論方程- 宀 表示怎樣的曲面？解通過配方，原方程可寫為 -叮一* 一 ：所以，此方程表示球心在點 V ，半徑為的球面。二、柱面先分析一個例子例3方程十 工表示怎樣的曲面？解 方程一 ?：在面上表示圓心在原點、半徑為匸的圓。圖 9-26在空間直角坐標系中，這方程不含 Z,即不論空間點 的豎坐標二怎樣，只要它的橫坐標 二和縱坐標能滿足這方程，那么這些點就在這曲面上。即凡是通過工:丁 面內(nèi)圓上一點川：，

3、且平行于匚軸的直線都在這曲面上，因此，這曲面可以看作是由 平行于二軸的直線I沿T面上的圓移動而形成的。這曲面叫圓柱面，工二面上的圓=疋叫做它的準線，平行于-軸的直線叫做它的母線。一般地，沿定曲線c并平行于定直線Z移動的動直線所形成的軌跡叫柱面, 定曲線c叫準線，動直線叫柱面的母線。不含廠的方程表示母線平行于二軸的圓柱面。類似地，方程表示母線平行于二軸的拋物柱面。方程， 表示母線平行于工軸的平面，+ - 1-=1& X表示母線平行于日軸的橢圓柱面，亦於表示母線平行于巳軸的雙曲柱面。09-27一般地，只含 刁、而缺孑的方程 1，在空間直角坐標系中表示母線平行于匚軸柱面，其準線是“面上的曲線c：。由類似的分析方法可知:母線平行于門軸的柱面方程為工忙母線平行于 芫軸的柱面方程為三、旋轉(zhuǎn)曲面一條平面曲線c,繞著同一平面內(nèi)的一條直線 L旋轉(zhuǎn)一周，這時由c所產(chǎn)生的 曲面稱為旋轉(zhuǎn)面，c稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，L為旋轉(zhuǎn)面的軸。YOZ平面內(nèi)曲線亠-，繞Z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程為：，繞Y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程為：-XOZ平面內(nèi)曲線繞Z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程為繞X軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程為XOY平面內(nèi)曲線 / - 1繞X軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面為-一 /_ ： _繞Y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面為j2T例4由拋物線繞Z軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面方程為_：（旋轉(zhuǎn)拋物面）。2 以乙+冬1例5由橢圓繞Z軸、Y