大學(xué)物理學(xué)：5習(xí)題課_質(zhì)點(diǎn)

1、質(zhì)質(zhì) 點(diǎn)點(diǎn) 力力 學(xué)學(xué) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) 1 .掌握位矢、位移、速度、加速度等物理量掌握位矢、位移、速度、加速度等物理量. 能借助于直角坐標(biāo)系熟練計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的平面能借助于直角坐標(biāo)系熟練計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的平面 運(yùn)動(dòng)問(wèn)題運(yùn)動(dòng)問(wèn)題. 能利用自然坐標(biāo)熟練地計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的切向和能利用自然坐標(biāo)熟練地計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的切向和 法向加速度法向加速度; 能利用角量熟練地計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題能利用角量熟練地計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題. 2 .理解相對(duì)運(yùn)動(dòng)的概念理解相對(duì)運(yùn)動(dòng)的概念. 能分析和計(jì)算與能分析和計(jì)算與平動(dòng)平動(dòng) 有關(guān)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題有關(guān)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題. 教學(xué)要求教學(xué)要求 Rrr uvv 0 aaa 絕對(duì)速度絕對(duì)速度=相對(duì)速度相對(duì)

2、速度+牽連速度牽連速度 絕對(duì)位移絕對(duì)位移=相對(duì)位移相對(duì)位移+牽連位移牽連位移 絕對(duì)加速度絕對(duì)加速度=相對(duì)加速度相對(duì)加速度+牽連加速度牽連加速度 教學(xué)要求教學(xué)要求 1.1.掌握牛頓定律及其適用條件掌握牛頓定律及其適用條件, ,能熟練地進(jìn)行受力分能熟練地進(jìn)行受力分 析并按步驟解算相關(guān)問(wèn)題析并按步驟解算相關(guān)問(wèn)題. . 2.2.掌握功的概念，會(huì)計(jì)算掌握功的概念，會(huì)計(jì)算變力變力的功。掌握保守力作的功。掌握保守力作 功的特點(diǎn)和勢(shì)能的概念，會(huì)計(jì)算三種勢(shì)能。功的特點(diǎn)和勢(shì)能的概念，會(huì)計(jì)算三種勢(shì)能。 3.3.掌握質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理、功能原理、動(dòng)量定理及角掌握質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理、功能原理、動(dòng)量定理及角 動(dòng)量定理，并能熟練運(yùn)

3、用。動(dòng)量定理，并能熟練運(yùn)用。 4.4.掌握動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒及角動(dòng)量守恒的適用掌握動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒及角動(dòng)量守恒的適用 條件，掌握運(yùn)用守恒定律解決問(wèn)題的思路和方法，條件，掌握運(yùn)用守恒定律解決問(wèn)題的思路和方法， 并能聯(lián)合應(yīng)用三個(gè)守恒定律解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題并能聯(lián)合應(yīng)用三個(gè)守恒定律解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題 。 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) 四大定理、三大守恒四大定理、三大守恒 四大定理四大定理 1. .動(dòng)能定理動(dòng)能定理 2. .功能原理功能原理 3. .動(dòng)量定理動(dòng)量定理 4. .角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 三大守恒三大守恒 1. .機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 2. .動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒 3. .角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 解決力

4、學(xué)問(wèn)題的方法解決力學(xué)問(wèn)題的方法 1.確定研究對(duì)象確定研究對(duì)象（如果是系統(tǒng)要分別進(jìn)行研究）。（如果是系統(tǒng)要分別進(jìn)行研究）。 2.受力分析受力分析， 牛頓定律牛頓定律 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 考慮所有的力考慮所有的力 動(dòng)能定理動(dòng)能定理考慮作功的力考慮作功的力 功能原理功能原理除保守力和不作功的力以除保守力和不作功的力以 外其它所有的力外其它所有的力 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理考慮產(chǎn)生力矩的力考慮產(chǎn)生力矩的力 3.建立坐標(biāo)系或規(guī)定正向，或選擇建立坐標(biāo)系或規(guī)定正向，或選擇零零勢(shì)點(diǎn)。勢(shì)點(diǎn)。 重力重力零零勢(shì)點(diǎn)一般選最低位置，彈性勢(shì)點(diǎn)一般選最低位置，彈性零零勢(shì)點(diǎn)一般勢(shì)點(diǎn)一般 選彈簧平衡位置處選彈簧平衡位置處。 4.確定

5、始末兩態(tài)的狀態(tài)量。確定始末兩態(tài)的狀態(tài)量。 .動(dòng)能定理動(dòng)能定理-確定確定Ek0，Ek .功能原理功能原理-確定確定E0，E .動(dòng)量定理動(dòng)量定理-確定確定P P0，P P .角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理-確定確定L L0，L L 5.應(yīng)用定理、定律列方程求解。應(yīng)用定理、定律列方程求解。 6.有必要時(shí)進(jìn)行討論。有必要時(shí)進(jìn)行討論。 顯然，顯然，r r越大越大v v越大。越大。 3、提示、提示: 終極速度為勻速運(yùn)動(dòng)，故有終極速度為勻速運(yùn)動(dòng)，故有 c rg rc gr cS mg v cSvmgfmg 3 4 3 4 0 2 3 2 阻 0 F fmgFfv 最后 阻阻 圖圖1 大球與地面大球與地面 碰撞后碰撞后

6、(以地面為以地面為 參考系）參考系） 5. 圖圖2 以大球?yàn)閰⒖枷狄源笄驗(yàn)閰⒖枷?，小，?球與大球相撞反彈，由于球與大球相撞反彈，由于 大球質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于小球，大球質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于小球， 故近似為完全彈性碰撞，故近似為完全彈性碰撞， 故小球會(huì)以相對(duì)于大球的故小球會(huì)以相對(duì)于大球的 原速率向上返回原速率向上返回 圖圖3 再再以地面以地面 為參考系為參考系，可，可 以得到小球的以得到小球的 速度速度 v v v2v2v3 碰前碰前碰后碰后 6、(3)對(duì)輪船進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定對(duì)輪船進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定 律律 數(shù)學(xué)變換數(shù)學(xué)變換 k m v x kdxmdv kdxmdvk dx dv m kv

7、dt dx dx dv m kv dt dv mmaf x v 0 0 0 0 0 四四(二二)填空題填空題 6、提示：質(zhì)心系下，提示：質(zhì)心系下，系統(tǒng)質(zhì)心受力情況系統(tǒng)質(zhì)心受力情況分分 析有助于解決質(zhì)心運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。析有助于解決質(zhì)心運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。 系統(tǒng)質(zhì)心只受到向下的重力和向上的支系統(tǒng)質(zhì)心只受到向下的重力和向上的支 持力，持力，水平方向沒(méi)有作用力，由牛頓第水平方向沒(méi)有作用力，由牛頓第 一運(yùn)動(dòng)定理得，水平方向質(zhì)心沒(méi)有位移，一運(yùn)動(dòng)定理得，水平方向質(zhì)心沒(méi)有位移， 則求出質(zhì)心的初始位置即為大球的最終則求出質(zhì)心的初始位置即為大球的最終 位置位置，如右圖所示。如果考慮其它方法，如右圖所示。如果考慮其它方法， 如動(dòng)量

8、守恒，機(jī)械能守恒等，由于兩球如動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒等，由于兩球 間存在摩擦力，問(wèn)題解決將變復(fù)雜。以間存在摩擦力，問(wèn)題解決將變復(fù)雜。以 系統(tǒng)質(zhì)心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，有系統(tǒng)質(zhì)心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，有 y x o1 o1o2o x y o2 o1 o 0 -R/2 02 21 21 12 21 xx xx Rxx mmxmx 即即 圖1 圖2 圖圖1 圖圖2 顯然顯然 即大球向左移動(dòng)了即大球向左移動(dòng)了R/2 四四( (三三) ) 2 2解：解：解法一：解法一：由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解，以地面為參考系，由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解，以地面為參考系， 子彈子彈A的位矢：的位矢： j ji ir r 11A yx B的位矢：的位

9、矢： j ji ir r 22B yx 2 01 01 2 1 sin cos gttvy tvx 2 2 2 2 1 gtHy Sx 擊中相遇是指在某一時(shí)刻擊中相遇是指在某一時(shí)刻t有有 B r rr r A 則由上述式得則由上述式得 22 0 0 2 1 2 1 sin cos gtHgttv Stv 解得解得 S H tg y x 0 B H S v0 A y x 0 B H S v0 A 若擊中目標(biāo)若擊中目標(biāo) Stvx cos 0 g H t 2 則對(duì)則對(duì) 0 v 要求要求 )( 2 22 0 SH H g v 解法二：解法二：用相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解用相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解 00BA v vv vv vv

10、 vv v tt AB g gg g 地地 即即A對(duì)對(duì)B作勻速直線運(yùn)動(dòng)，為擊中作勻速直線運(yùn)動(dòng)，為擊中B，必須使槍口瞄準(zhǔn)靶，必須使槍口瞄準(zhǔn)靶， 即即 指向指向B， 必須滿足：必須滿足： 0 v v S H tg y x 0 B H S v0 A y x 0 B H S v0 A 3. 解解: 應(yīng)用自然坐標(biāo)應(yīng)用自然坐標(biāo) 根據(jù)牛頓第二定律列方程如下：根據(jù)牛頓第二定律列方程如下： (1).法向方向分量法向方向分量 R v mN 2 而而 N maf 則則 R v mmaf 2 R v a 2 則則 (2) 由由 R v t v a 2 d d 則則 t v v t Rv v 0 3 2 d d 得得

11、v R t 2 N v t F R O mM v 地m v 地M v 0sin( MMmM 地地） Mv vvm 0 Mm 地地 vMvm 5.5.解解:設(shè)所求設(shè)所求B相對(duì)于相對(duì)于A的速度為的速度為B、A相對(duì)地面的速度分別為相對(duì)地面的速度分別為 取水平向右為正方向。取水平向右為正方向。 , (1) 小物體小物體B下滑過(guò)程中，以下滑過(guò)程中，以A、B為系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒：為系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒： 即即Oa c A b B Oa c A b B 解得解得 2 M sin)( sin2)(sin mmM gRmM mM m v 地 2 mM sin)( sin2)( mmM gRmM v 2 M

12、 2 mM 2 MmM 2 M 2 m 2 1 )cos( 2 1 sin( 2 1 2 1 2 1 sin 地地 地地 ）Mvvmvvm MvmvmgR 以以A、 B、地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒：、地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒： Oa c A b B Oa c A b B 地地Mm Mvmv tvMtvm tt dd M 0 m 0 地地 tvS t d M 0 地 tvs t d m 0 地 R mM m S M地 (2)(2) 由于水平方向：由于水平方向： 就整個(gè)下滑的時(shí)間就整個(gè)下滑的時(shí)間t t對(duì)上式積分，有對(duì)上式積分，有 解得解得 而而 S+s=R， Oa c A b B Oa c A b B

13、設(shè)設(shè)B從從a點(diǎn)滑到點(diǎn)滑到b點(diǎn)，點(diǎn)，A，B各移動(dòng)了各移動(dòng)了S、s距離距離(相對(duì)于地面相對(duì)于地面) 為什么S+s=R Rdtv dtvvdtv vvvvvv mM mM mMmM )( Mm MmMm 地地 地地地地 即 以以A為瞬態(tài)參考系為瞬態(tài)參考系(非慣性系非慣性系)，有，有 R sS dtvdtv dtvv Mm Mm )( )-( )( 地地 地地 右邊 在在a b過(guò)程中過(guò)程中 取向右為正取向右為正 R 2 mM mv mgN M gRmM v 2)( mM mg M mM N 23 在在b點(diǎn)；點(diǎn)； 則則 Oa c A b B Oa c A b B (3) 當(dāng)物體滑到槽的最低點(diǎn)當(dāng)物體滑到槽

14、的最低點(diǎn)b 時(shí)，因?yàn)闊o(wú)水平方向外力，時(shí)，因?yàn)闊o(wú)水平方向外力， 槽的加速度為零，此時(shí)，可視槽槽的加速度為零，此時(shí)，可視槽A為為瞬時(shí)瞬時(shí)慣性慣性參考系參考系，以，以 A為參考系為參考系 (目的目的:變換到常用的靜止慣性參考系中求解變換到常用的靜止慣性參考系中求解) 22 0 2 1 2 1 mv d Mm Gmv R Mm GR mvdDmv 0 2 0 22 2 v Gd dD M 6 6解：解：粒子A和粒子B組成的系統(tǒng)，只有有心力作用，系統(tǒng) 機(jī)械能守恒，對(duì)萬(wàn)有引力，取無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)， ， 且 A D v0 v d B A D v0 v d B 解得 r Mm Grde r Mm G e r

15、Mm GF r r r 2 2 且對(duì)B點(diǎn)角動(dòng)量守恒 則r處的勢(shì)能 機(jī)械能守恒，有 8、在光滑的水平桌面上、在光滑的水平桌面上A點(diǎn)處放有質(zhì)量為點(diǎn)處放有質(zhì)量為 m0的木塊，木塊與的木塊，木塊與 彈簧相連，彈簧的另一端固定在彈簧相連，彈簧的另一端固定在O 點(diǎn)。其勁度系數(shù)為點(diǎn)。其勁度系數(shù)為k，開(kāi)始，開(kāi)始 時(shí)彈簧處于自由長(zhǎng)度時(shí)彈簧處于自由長(zhǎng)度 l0，如圖所示。設(shè)有一質(zhì)量為，如圖所示。設(shè)有一質(zhì)量為 m的子彈以的子彈以 速度速度 v0沿垂直于沿垂直于OA方向射入木塊，并嵌在其中。當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng)方向射入木塊，并嵌在其中。當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng) 到到B點(diǎn)時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為點(diǎn)時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為 l（OBOA），試求木塊在），試求木塊在B

16、點(diǎn)時(shí)的速點(diǎn)時(shí)的速 度度 v 的大小和方向。的大小和方向。 m 0 v 0 m O l 0 l A B v 解：解：本題可分為兩個(gè)過(guò)本題可分為兩個(gè)過(guò) 程：子彈射入木塊、子程：子彈射入木塊、子 彈和木塊一起從彈和木塊一起從A點(diǎn)運(yùn)點(diǎn)運(yùn) 動(dòng)到動(dòng)到B點(diǎn)。點(diǎn)。 第一過(guò)程中第一過(guò)程中，子彈和木塊的總動(dòng)量守恒子彈和木塊的總動(dòng)量守恒 )1()( 100 vmmmv 第二過(guò)程中，機(jī)械能和角動(dòng)量守恒第二過(guò)程中，機(jī)械能和角動(dòng)量守恒 )3(sin)()( )2()( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 0010 2 0 2 0 2 10 vlmmlvmm llkvmmvmm m 0 v 0 m O l 0 l A B

17、v )()( sin )( )( 0 2 0 2 0 2 00 1 0 2 0 2 0 2 0 2 mmllkvml mvl mm llk mm vm v m 0 v 0 m O l 0 l A B v O A C B M m m 圖 1-19 T mg mg O A C B M m m 圖 1-19 T mg mg 0cos2MgNT R mv mgN 2 cos 2 2 1 )cos1 (mvmgR m M 2 3 1 3 1 3 1 cos Mm 2 3 10. 10. 解：解：大環(huán)與小環(huán)的受力分析如圖所示：大環(huán)與小環(huán)的受力分析如圖所示： 小環(huán)下滑過(guò)程中機(jī)械能守恒：小環(huán)下滑過(guò)程中機(jī)械能守

18、恒： 設(shè)下滑到設(shè)下滑到角時(shí)大環(huán)升起，角時(shí)大環(huán)升起，T=0, , 聯(lián)立求得：聯(lián)立求得： 即即 質(zhì)量為質(zhì)量為m m的小球用輕繩的小球用輕繩ABAB、BCBC連接。連接。 試求剪斷繩子試求剪斷繩子ABAB前后的瞬間，繩前后的瞬間，繩BCBC 中張力之比。中張力之比。 1111 C C A AB B m m 解：解：剪斷前是靜力學(xué)問(wèn)題剪斷前是靜力學(xué)問(wèn)題 小球受的合力為零小球受的合力為零 剪斷后是動(dòng)力學(xué)問(wèn)題剪斷后是動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 繩子剪斷瞬間小球繩子剪斷瞬間小球v=v=0 0，a an n=0=0，故該，故該 方向合力為方向合力為0 0 mgT cos 1 2 cosTmg 2 21 cos:1: TT T

19、 T1 1 mgmg F F T T2 2 mgmg C C A AB B m m 解：解：1）分析題意，選取對(duì)象）分析題意，選取對(duì)象 2）分析受力）分析受力 3）建立坐標(biāo)系）建立坐標(biāo)系 0 y yvvmp 1 dt dp 外外 F yggmF 1外外 dy dy dy yvd v )( dt yvd yg )( 12、柔軟鏈條自桌上小孔自由下落。、柔軟鏈條自桌上小孔自由下落。 求下落速度與落下距離之間關(guān)系。求下落速度與落下距離之間關(guān)系。 N gm 2 gm 1 )( 2 yvyvddygy 兩端同乘以兩端同乘以 y ： yvy yvyvddyyg 00 2 )( 兩端積分：兩端積分： 2/1

20、 23 3 2 2 1 3 1 ）（ ）（得得： gyv yvgy )( yvvdygdy 解：解：t 時(shí)刻，鏈條一端坐標(biāo)時(shí)刻，鏈條一端坐標(biāo) 為為 y，其速率為，其速率為 v ，系統(tǒng)，系統(tǒng) 總動(dòng)量為：總動(dòng)量為： jyvtp )( 13、一長(zhǎng)度為一長(zhǎng)度為l 密度均勻的柔軟的鏈條，其密度均勻的柔軟的鏈條，其 單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 ，將其卷成一堆放在，將其卷成一堆放在 地面上，若手握其一端，以勻速度地面上，若手握其一端，以勻速度 v 將其將其 上提，當(dāng)鏈條端點(diǎn)提離地面的高度為上提，當(dāng)鏈條端點(diǎn)提離地面的高度為 y 時(shí)時(shí) ，求手的提力。，求手的提力。 o y F jvj dt dy v dt

21、 pd jygF 2 )( ygvF 2 根據(jù)動(dòng)量定理有：根據(jù)動(dòng)量定理有： 系統(tǒng)所受的合外力為：系統(tǒng)所受的合外力為： jygFgyFF )( 外外 o y F 14. 14. A A 球的質(zhì)量為球的質(zhì)量為 m m, ,以速度以速度 u u 飛行飛行, ,與一靜與一靜 止的小球止的小球 B B 碰撞后碰撞后, , A A 球的速度變?yōu)榍虻乃俣茸優(yōu)?v v1 1, ,其方其方 向與向與u u 方向成方向成 9090, ,B B 球的質(zhì)量為球的質(zhì)量為 5 5m m, , 它被撞它被撞 后以速度后以速度 v v2 2飛行飛行, , v v2 2 的方向與的方向與 u u 成成 arcsin3/5 arcsin3/5 角。角。 （1 1）求兩小球相撞后）求兩小球相撞后 v v1 1、v v2 2 的大小。 的