變式研究出新意

1、 變式研究出新意 誓 -I 中小學(xué)數(shù)學(xué)坤學(xué)版 一 t4,ll 高考研究深高中 賞析 2011 年高考 ,E 京數(shù)學(xué)理科第 8 題北京宏志中學(xué) (100013)王芝平 2011 年高考北京卷理科第8 題 :設(shè) A(0,0), B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(tER). 記 N(t) 為平行 四邊形 ABCD 內(nèi)部 (不合邊界 )的整點(diǎn)的個(gè)數(shù) ,其中整點(diǎn)是指橫 ,縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn) ,則函數(shù) (t)的值域 為 (). (A)9,10,11(B)9,10,12 (C)9,11,12(D)10,11,12 一 ,試題解析變式研究出新意 解析 1:為理解題意 ,先畫 一 個(gè)圖 (如圖 1)

2、.C,D 是動(dòng)點(diǎn) , 它們?cè)谥本€ Y=4 上運(yùn)動(dòng) ,且 CD=4;又因?yàn)?A, 曰兩點(diǎn)都是 軸上的頂點(diǎn) ,且 AB=4,所以 四邊形 ABCD 是平行四邊形 (如圖 1).這樣問題就轉(zhuǎn)化為 :平行四邊形 ABCD 一邊 AB 固定 ,對(duì)邊 DC 在直線 Y:4 上運(yùn)動(dòng) ,求其內(nèi)部整點(diǎn)的個(gè)數(shù) . 顯然 ,所求的整點(diǎn)都在直線Y=k(:1,2,3) 落 在四邊形 ABCD 內(nèi)部的線段上 .因?yàn)檫@樣的線段長(zhǎng)度 總等于 4,所以每條線段上的整點(diǎn)有3 個(gè)或 4 個(gè) .所以 9 N()12. 當(dāng)然 ,考慮到這是一道選擇題 ,考試時(shí)結(jié)合選項(xiàng) , 只要構(gòu)造具體的四邊形ABCD, 得到 N(t) 的三個(gè)不同 的取

3、值就可獲得正確的選項(xiàng).實(shí)際上大多數(shù)考生也是 這樣做的 . 如圖 2,當(dāng) =0 時(shí),N( ):9;如圖 3,當(dāng) 0t 1 時(shí) ,v( )=12;如圖 4,當(dāng) f= ,即直線 AD 過點(diǎn) J (1,3)時(shí),N()=11.根據(jù)選擇項(xiàng) ,可知選 (c). 一 68 一 上述解法 ,是利用已知條 件得知 9 N(t) 12 后,再 根據(jù)選擇題 有且僅有一個(gè)選 擇項(xiàng)是正確的 的特點(diǎn)知 N(t) 有且僅有三個(gè)不同取 值 .讓 ,J 從(0,4)點(diǎn)開始在直線 Y=4 上向右運(yùn)動(dòng) ,即可 發(fā)現(xiàn) N(t) 的值域 .這是用構(gòu)造法解決存在性問題 . 如果這不是選擇題 ,而是一個(gè)填空題 ,那么就沒 有選擇項(xiàng)可作參考了

4、 ,當(dāng)?shù)玫?N(t)的三個(gè)不同取值 后 ,自然會(huì)繼續(xù)思考 :N(t)=10 是否能夠取到 ?如果能夠取到 ,何時(shí) N(f):107 解析 1 并沒有回答這個(gè)問題 .為此 ,我們繼續(xù)分析 . 解析 2:由解析 1 知,ABCD 是平行四邊形 ,且 AB = 4,其內(nèi)部的整點(diǎn)都在直線Y=(k=1,2,3.下同 ) 落在四邊形 ABCD 內(nèi)部的線段上 . 設(shè) Y:k 與 AD 邊的交點(diǎn)為 E,與 BC 邊的交點(diǎn)為 . 則四邊形 ABCD 內(nèi)部的整點(diǎn)都在線段上(不 含兩端點(diǎn) ). 因?yàn)?IEFI=1ABI=4, 所以線段上的整 點(diǎn)有 3或4個(gè). 顯然 ,線段 (后 =1,2,3)上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)與 是否是

5、整點(diǎn)有密切的聯(lián)系,特別地 ,線段 E 上有 3 個(gè)整點(diǎn)的充要條件是為整點(diǎn)(此時(shí)也為整點(diǎn) ). 下面的主攻方向自然就是討論是否是整點(diǎn)了, 為此先出點(diǎn) E(t,1),(寺,2),(孚 ,3).根據(jù) ,t,孚是否為整數(shù) ,進(jìn)行分類討論 . 當(dāng)隹 Z 且 f (k z)時(shí),E,E2,E3 都不 是整點(diǎn) (如圖 5),v(t)=12; 當(dāng)隹 z 且 t=七 (kz)時(shí) ,E.,E2,E3 中只 有是整點(diǎn) (如圖 6),N()=1; 單 高中高考研究 l 中小學(xué)教學(xué)坤學(xué)版 I_ 當(dāng) t=4k(k z)時(shí),E.,E2,E,均為整點(diǎn) (如 圖 7),|7,r():9; 當(dāng) t=一 4+2(kz)時(shí) ,中只有

6、E: 是整點(diǎn) (如圖 8),N(t)=11; 當(dāng) t=4k1(kZ)時(shí) ,都不是整 點(diǎn) (如圖 5), (t)=12. 孽 y 攀 上面 t 的所有取值構(gòu)成了實(shí)數(shù)集R,所以函數(shù) N()的值域?yàn)?9,11,12. 及時(shí)總結(jié)解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅之一. 回顧與反思上述思考過程,四邊形 ABCD 內(nèi)部整點(diǎn)個(gè) 數(shù)取決于邊 AD 上的整點(diǎn)個(gè)數(shù) .故應(yīng)集中精力討論直 線 Y=kx 所經(jīng)過的整點(diǎn)情況 .特別地 ,應(yīng)弄清楚有幾 個(gè)滿足 1 Y 3 的整點(diǎn) ?請(qǐng)有興趣的讀者繼續(xù)探究. 作為選擇題的壓軸題 ,本題較好地延續(xù)了近幾年 北京卷在保持總體穩(wěn)定的前提下 ,破定勢(shì) ,考真功 的命題理念 :返璞歸真 ,

7、支持課改 ;突破定勢(shì) ,考查真功 .彰顯了 規(guī)避特殊技巧 ,凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì) ,強(qiáng)調(diào)過程性評(píng)價(jià) ,引導(dǎo)研究性學(xué)習(xí) 等特色 . 整點(diǎn) (又稱 格點(diǎn) )問題題型多樣 ,形式活潑 ,能 有效考查同學(xué)們的自主探索能力,實(shí)踐操作能力 ,觀 察 ,歸納猜想的能力 ,獲取新知識(shí)的能力 ,既有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神 ,又能很好地甄別學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng) .由于本題操作性強(qiáng) ,趣味性濃 ,體現(xiàn)了 在玩中學(xué) ,在學(xué)中思 ,在思中得 的理念 ,因而 成為試卷中的一道靚麗的風(fēng)景 . 本題對(duì)我們的教學(xué)啟示是深遠(yuǎn)的:雖然與考前的 模擬試題相比 ,這是一道變化較大的創(chuàng)新型試題 ,但是萬變不離其宗 ,這個(gè) 宗 就是高中數(shù)

8、學(xué)核心知識(shí)以及由內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法 .教師必須在自己理解數(shù)學(xué) 的基礎(chǔ)上 ,努力幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本概念及其蘊(yùn)含的思想方法 ,引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成 回到概念去 思考和解決問題的習(xí)慣 ,那么學(xué)生就會(huì)與數(shù)學(xué)聲氣相通 ,有能力識(shí)破考題的 七十二般變化 的 真身 ,實(shí)現(xiàn)鳳凰涅架 ,浴火重生 . 二 ,背景賞析尋幽探微見深功 好的問題大都不是孤立的 ,而是存在于許多問題連結(jié)起來的網(wǎng)絡(luò)上 .本題就是這樣 ,它雖然簡(jiǎn)單得幾乎僅涉及小學(xué)數(shù)學(xué)非常少的知識(shí) ,但卻具有深刻的數(shù)學(xué)背景 :格點(diǎn)與面積 . 我們認(rèn)為 ,數(shù)學(xué)教師如果能有意識(shí)地拓展自己的 數(shù)學(xué)視野 ,那么就可以 大而化之 ,在教學(xué)的適當(dāng)時(shí) 機(jī)向?qū)W生滲透一點(diǎn)數(shù)學(xué)史

9、 ,用數(shù)學(xué)文化潤(rùn)澤課堂 .在豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)史知識(shí)的同時(shí) ,激發(fā)他們學(xué)習(xí)和探索數(shù)學(xué)的熱情 .為此 ,我們介紹 格點(diǎn)與面積 的幾個(gè)有趣的問題 ,供讀者參考 . 計(jì)算一般曲邊圖形的面積 ,往往是件既重要又十分困難的事 .直覺告訴我們 ,一個(gè)封閉圖形的面積與它所覆蓋的格點(diǎn)數(shù)應(yīng)該有密切的關(guān)系 ,即大體來說 , 面積越大 ,它所覆蓋的格點(diǎn)數(shù)就應(yīng)該越多 ,反之亦然 . 那么其中存在定量關(guān)系嗎 ? 早在 1899 年 ,維也納的皮克 (Pick,1859 1943) 就發(fā)現(xiàn)格點(diǎn)多邊形 (頂點(diǎn)都是整點(diǎn) )的面積與所覆蓋的格點(diǎn)數(shù)之間有一個(gè)實(shí)用而有趣聯(lián)系 ,即 皮克定理 :設(shè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部含有個(gè)格點(diǎn),邊 , 界上含

10、有個(gè)格點(diǎn) ,則這個(gè)多邊形的面積S=N+ 一 】 . 如圖 9,在這個(gè)格點(diǎn)多邊 形中 , :14,=10, + 一 1-l4+一 1=18,恰好 是該多邊形的面積為S.圖 9 千里之行 ,始于足下 .正如探尋其它數(shù)學(xué)公式 那樣 ,我們遵循由特殊到一般的思考方式,從一個(gè)恰 當(dāng)?shù)奶乩_始 ,逐步尋幽探微 ,證明這個(gè)定理 . 因?yàn)?面積 的學(xué)習(xí)是按 單位正方形的面積定 義為 1 個(gè)單位面積矩形面積三角形面積 多邊形面積 等順序進(jìn)行的 .所以先考慮 : 情形 1:兩邊平行于坐標(biāo)軸的格點(diǎn)四邊形ABCD. 設(shè) AB=m,CD: 如圖 10,顯然 N=(in 一 1)(n 一 1),L=2(m+1)+2(17

11、, 一 1)=2(m+n),所以 ,+ . 69. II 中小學(xué)數(shù)予坤學(xué)版高考研究皂一 1=(m1)(n 一 1)+(,n+n)一 1=,nn=.s 情形 2:考慮兩直角邊分 別平行于坐標(biāo)軸的格點(diǎn)直角 _二角形 ABC. 將其補(bǔ)成格點(diǎn)矩 形 ABCD, 即化歸為情形 1,如圖 10.由于矩形是中心對(duì)稱圖形 ,所以 AABC 與 ACDA 的面積 ,內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)和邊界上的格點(diǎn)數(shù)分別相等 . 圖 l0 設(shè) Ac 內(nèi)部 (不包含兩端點(diǎn) )有個(gè)格點(diǎn) ,則去掉這 L1 個(gè)格點(diǎn)后 ,矩形內(nèi)部的格點(diǎn)被平分到兩個(gè)三角形中,即 AABC 點(diǎn)數(shù)為 =. 又這兩個(gè)三角形邊界上的格點(diǎn)數(shù)都等于L=m+ l+,|,. 所以

12、 +告一 1:+ m+1+L1,nn 22 所以 AABC 的面積 5=+一 l 情形 3:AABC 的邊都不 平行于坐標(biāo)軸 ,但通過五個(gè)頂 點(diǎn)的卣線圍成一個(gè)情形1 中的 矩形 EFCD,如圖 11.將矩形分 割成原 :角形和至多 3 個(gè)情形 2 的角角形 ,利用情形 1 l C - /7 / / ,/ rJi/ 圖 11 與情彤 2 的結(jié)論 ,證明該情形也符合皮克定理 (略).當(dāng)然 ,格點(diǎn)三角形在平面直角坐標(biāo)系 E 的位置還有其它較為復(fù)雜的情形 ,對(duì)應(yīng)的割補(bǔ)轉(zhuǎn)化方式也就復(fù)雜起來了 ,但證明的基本思想方法同前面幾種情形完成相同 .限于篇幅 ,不再一一驗(yàn)證 .請(qǐng)有興趣的讀者自行完成 . 綜 h,

13、平面上任意格點(diǎn)三角形的面積都符合皮克定 . 情形 4:任意格點(diǎn)多邊形 ,將其分割成若干格點(diǎn)三 角形的和 ,可以驗(yàn)證任意格點(diǎn)多邊形也符合皮克定 理 .(具體證明留給對(duì)此有興趣的讀者) 對(duì)一個(gè)復(fù)雜問題 ,從其最特殊的情形出發(fā) ,一 步一個(gè)腳印 ,逐步推進(jìn) ,這似乎并不是什么了不起的 , 其實(shí)卻是一種最基本 ,最有效的策略 .所謂 大匠不 ,似拙實(shí)巧 ,就是指這種樸實(shí)無華的通性通法. 一 70, 高中 天下大事 ,必作于細(xì) .天下難事 ,必作于易 .皮 克定理的證明就是從簡(jiǎn)單情況入手,在分類上漸次深 入 ,呈現(xiàn)出如下條理清晰 ,邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系 :(實(shí)線 :問 題發(fā)展方向 ;虛線 :問題解決轉(zhuǎn)化方向

14、) 情形 1:兩邊平行于坐標(biāo)軸的格點(diǎn)四邊形一 I? 情形 2:有兩邊分別平行于坐標(biāo)軸的格點(diǎn)三角形 J? 情形 3:邊都不平行于坐標(biāo)軸的三角形 I7 .臃玨 ;t喜古 ,t+t 在實(shí)際應(yīng)用中 ,我們需要計(jì)算的圖形 ,往往并非 格點(diǎn)多邊形 .在精度要求不十分高的情況下,可利剛 割補(bǔ) 的方法 ,將原多邊形化為面積相近的格點(diǎn)多 邊形 ,然后再用皮克定理近似計(jì)算. 對(duì)于一般的曲邊形而言 ,顯然 ,圓是最為特殊的 圖形 .那么 ,格點(diǎn)與圓之間有何關(guān)系呢? 關(guān)于圓內(nèi)的格點(diǎn)問題有許多有趣的性質(zhì) ,人仃 J 感興趣的是 ,對(duì)于任意給定的正整數(shù) n,是否總存在這樣的圓 ,其內(nèi)部恰含有 n 個(gè)格點(diǎn) ?出入意料的是

15、,這個(gè)答案足肯定的 ! 實(shí)際上 ,只要以點(diǎn) ( 2,3)(這樣的點(diǎn)并不唯一 ) 為圓心 ,就可以做到這一點(diǎn) .為此 ,先證明一個(gè)引理 : 以點(diǎn) (,)為圓心 ,以任意正數(shù) r 為半徑的圓劇卜 , 最多有一個(gè)格點(diǎn) . 假設(shè) (a,b),(c,d)是此圓上的兩個(gè)格點(diǎn) ,則 (a 一 42)+(b 一)=r.,(c 一)+(d 一 43)=r:, 兩式相減 ,得 a+b 一 c 一 d 一 2(a c)一 2(bd)=0. 令 ,W 分別表示整數(shù) 2(a c),2(bd),a+ b 一 c 一 d,則有 +,=, 兩邊平方 ,得 2uv=一 2u 一 3v. 由整數(shù)性質(zhì) ,得 2uv:一 2u 一

16、3v=0. 所以 u=0,即 a=c,b=d, 于是 (a,b)與 (C,d)重合 . 該引理表明 ,平面上的格點(diǎn)到點(diǎn)A( 2,3)的距 離互不相等 ,由此可以將平面上的所有格點(diǎn)按它到點(diǎn) A(, 3)的距離由小到大進(jìn)行排序. 下面在此引理的基礎(chǔ)上來構(gòu)造恰好包含n 個(gè)格點(diǎn) 的圓 . 高中 距圓心 (2,3)最近的 格點(diǎn)是 B(1,2),取 r.=AB, 則以 A( 2,3)為圓心 ,以 r. 為半徑的圓 (記作圓 (A,) 內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)是 0.在圓 (,r.) 外距 A 最近的格點(diǎn)是 (2,2),令 高考研究 /2=AB:, 則圓 (A,r:) 內(nèi)的格點(diǎn)只能在圓 (A,r) 的圓 周上 ,而由引理

17、可知 ,圓 (A,) 的圓周上有且僅有一 個(gè)格點(diǎn)曰 ,故圓 (A,F2) 內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)是 1.在圓 (A,12) 外距 A 最近的格點(diǎn)是 (1,1),令 r=AB, 同理可證 圓 (A,r3) 內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)是 2(如圖 l2). 如此繼續(xù)下去 ,由于這樣每做一次只能增加一個(gè) 格點(diǎn) ,故圓 (A,r+.) 內(nèi)恰好包含 n 個(gè)格點(diǎn) . 與圓內(nèi)格點(diǎn)有關(guān)的另一個(gè)基本問題是,以原點(diǎn) O 為圓心 ,以 r 為半徑的圓內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)n(r)與其面積 丌 r2 有何關(guān)系 ?這是一個(gè)自然而有趣的問題. 公元 1800 年 ,年僅 23 歲的數(shù)學(xué)王子 ,德國數(shù)學(xué)家 高斯 (Gauss,17771855)發(fā)現(xiàn)了如下高斯定理

18、 :圓 (0,r):.+Y=r(r) 內(nèi)的格點(diǎn)數(shù) n(r)與半徑 平方 (r)的比值 ,當(dāng) r 無限增大時(shí)趨向于叮r,即 lim: 竹 . 令人驚奇的是 ,上述結(jié)論的證明卻非常的簡(jiǎn)單, 既不需要什么專門的數(shù)學(xué)知識(shí),也沒有什么特別的技 巧 . 證明 :若某一格點(diǎn)在圓 (0,r)內(nèi),則將以該點(diǎn)為 左下頂點(diǎn)的單位正方形涂上陰影 .顯然圓 (0,r)內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)與陰影正方形一一對(duì)應(yīng) ,并且這些正方形一定在圓 (0,r+ 2)內(nèi)(如圖 13),圓(0,r 一 2)必完全在這些陰影正方形內(nèi) (如圖 14). 圖13圖14 因?yàn)閳A (0,r)內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)為 n(r),所以這些陰影 中小學(xué)數(shù)學(xué)沖學(xué)版ll 曩 故竹 (r 一,/Y) n(r)叮 r(r+)2, 所以盯 1 一等) 1+孚). 即 lim:. 卜 + r 一 高斯定理表明 ,半徑較大的圓