窗函數法設計FIR數字低通濾波器課程設計

1、數字信號處理課程設計報告 題 目 窗函數法設計fir數字低通濾波器學 院 信息工程學院 專 業(yè) 通信工程 班 級 1102 姓名學號 朱 孟（2011013916) 姓名學號 王恒山（2011013896) 指導教師 賈朝川 二 0一三年十二月引言數字化是控制系統(tǒng)的重要發(fā)展方向，而數字信號處理已在通信、語音、圖像、自動控制、雷達、軍事、航空航天等領域廣泛應用。數字信號處理方法通常涉及變換、濾波、頻譜分析、編碼解碼等處理。數字濾波是重要環(huán)節(jié)，它能滿足濾波器對幅度和相位特性的嚴格要求，克服模擬濾波器所無法解決的電壓和溫度漂移以及噪聲等問題。而有限沖激響應fir濾波器在設計任意幅頻特性的同時能夠保證

2、嚴格的線性相位特性。利用fpga可以重復配置高精度的fir濾波器，使用vhdl硬件描述語言改變?yōu)V波器的系數和階數，并能實現大量的卷積運算算法。結合matlab工具軟件的輔助設計，使得fir濾波器具有快速、靈活、適用性強，硬件資源耗費少等特點。fir濾波器是最常用的組件之一，它完成信號預調、頻帶選擇和濾波等功能。fir濾波器在截止頻率的邊沿陡峭性能雖然不及iir濾波器，但是，考慮到fir濾波器嚴格的線性相位特性和不像iir濾波器存在穩(wěn)定性的問題，fir濾波器能夠在數字信號處理領域得到廣泛的應用。fir是有限沖激響應（finite impulse response）的簡稱。由線性系統(tǒng)理論可知，在某

3、種適度條件下，輸入到線性系統(tǒng)的一個沖擊完全可以表征系統(tǒng)。當我們處理有限的離散數據時，線形系統(tǒng)的響應（包括對沖擊的響應）也是有限的。若線性系統(tǒng)僅是一個空間濾波器，則通過簡單地觀察它對沖擊的響應，我們就可以完全確定該濾波器。通過這種方式確定的濾波器稱為有限沖擊響應（fir）濾波器。fir濾波器是在數字信號處理（dsp）中經常使用的兩種基本的濾波器之一。 fir 濾波器具有嚴格的相位特性，對于信號處理和數據傳輸是很重要的。目前 fir濾波器的設計方法主要有三種：窗函數法、頻率取樣法和切比雪夫等波紋逼近的最優(yōu)化設計方法。常用的是窗函數法和切比雪夫等波紋逼近的最優(yōu)化設計方法。用窗函數設fir 濾波器的基

4、本思路：從時域出發(fā)設計 h(n)逼近理想 hd(n)。設理想濾波器的單位響應在時域表達為hd(n),則hd(n) 一般是無限長的，且是非因果的，不能直接作為fir 濾波器的單位脈沖響應。要想得到一個因果的有限長的濾波器單位抽樣響應 h(n)最直接的方法是先將hd(n)往右平移，再進行截斷，即截取為有限長因果序列：h(n)=hd(n)w(n)，并用合適的窗函數進行加權作為 fir 濾波器的單位脈沖響應。按照線性相位濾波器的要求，線性相位fir數字低通濾波器的單位抽樣響應h(n)必須是偶對稱的。對稱中心必須等于濾波器的延時常數，即用矩形窗設計的fir 低通濾波器，所設計濾波器的幅度函數在通帶和阻帶

5、都呈現出振蕩現象，且最大波紋大約為幅度的9%，這個現象稱為吉布斯（gibbs）效應。為了消除吉布斯效應，一般采用其他類型的窗函數。matlab 設計 fir 濾波器有多種方法和對應的函數。窗函數設計法不僅在數字濾波器的設計中占有重要的地位，同時可以用于功率譜的估計，從根本上講，使用窗函數的目的就是消除由無限序列的截短而引起的gibbs現象所 帶來的影響。目 錄一、課程設計的目的和意義5二、課程設計題目描述和要求5三、設計原理51.基本原理52.典型的窗函數6四、fir 濾波器的窗函數設計基本方法91. fir濾波器簡介92函數設計法103.幾種數字濾波器的窗函數設計103.1數字低通濾波器的窗

6、函數設計103.2 利用海明窗設計型數字低通濾波器13五、設計步驟14六、心得體會17七、參考文獻18一、課程設計的目的和意義 1、通過課程設計把自己在大學中所學的知識應用到實踐當中。 2、深入了解利用matlab設計fir數字濾波器的基本方法。3、在課程設計的過程中掌握程序編譯及軟件設計的基本方法。4、提高自己對于新知識的學習能力及進行實際操作的能力。5、鍛煉自己通過網絡及各種資料解決實際問題的能力。二、課程設計題目描述和要求關于窗函數法設計fir數字低通濾波器題目:對模擬信號進行低通濾波處理，要求通帶0f2khz內衰減小于1db，阻帶3khzf上衰減大于30db。希望對模擬信號采樣后用線性

7、相位fir數字濾波器實現上述濾波，采樣頻率fs=10khz。要求: 用窗函數法設計滿足要求的fir數字低通濾波器，為了降低運算量，濾波器階數盡量低。三、設計原理1.基本原理設計低通fir數字濾波器，尋求一系統(tǒng)函數，使其頻率響應逼近濾波器要求的理想頻率響應，其對應的單位脈沖響應 （1）其中 如果所希望的濾波器的理想的頻率響應函數為，則其對應的單位脈沖響應為 （2）窗函數設計法的基本原理是用有限長單位脈沖響應序列逼近。由于往往是無限長序列，而且是非因果的，所以用窗函數將截斷，并進行加權處理，得到： （3）就作為實際設計的fir數字濾波器的單位脈沖響應序列，其頻率響應函數為 （4）式中，n為所選窗函

8、數的長度。2.典型的窗函數（1）矩形窗(rectangle window) （5） 其頻率響應和幅度響應分別為：， （6）（2）三角形窗(bartlett window) （7）其頻率響應為： （3）漢寧(hanning)窗，又稱升余弦窗 （8）其頻率響應和幅度響應分別為：（4）漢明(hamming)窗，又稱改進的升余弦窗 （9）其幅度響應為： （5）布萊克曼(blankman)窗，又稱二階升余弦窗 （10）其幅度響應 ： （6）凱塞(kaiser)窗 （11） 其中：是一個可選參數，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關系，一般說來，越大，過渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。i0()是第一類修正

9、零階貝塞爾函數。 若阻帶最小衰減表示為，的確定可采用下述經驗公式： 若濾波器通帶和阻帶波紋相等即p=s時，濾波器節(jié)數可通過下式確定： 式中：我們知道，用窗函數法設計的濾波器性能取決于窗函數的類型及窗口長度n的取值。設計過程中，要根據對阻帶最小衰減和過渡帶寬度的要求選擇合適的窗函數類型和窗口長度n 。各種類型的窗函數可達到的阻帶最小衰減和過渡帶寬度見下表1表1 各種窗函數的基本參數窗函數旁瓣峰值幅度/db過渡帶寬阻帶最小衰減/db矩形窗-134/n-12三角形窗-258/n-25漢寧窗-318/n-44哈明窗-418/n-53布萊克曼窗-5712/n-74凱塞窗(=7.865)-5710/n-8

10、0這樣選定窗函數類型和長度n之后，求出單位脈沖響應，并按照式（4）求出。是否滿足要求，要進行演算。一般在尾部加零使長度滿足2的整數次冪，以便用fft計算。如果要觀察細節(jié)，補零點數增多即可。如果不滿足要求，則要重新選擇窗函數類型和長度n ，再次驗算，直至滿足要求。如果要求線性相位特性，則還必須滿足 (12)根據上式中的正、負號和長度n的奇偶性又將線性相位fir濾波器分成四類。要根據所設計的濾波特性正確選擇其中一類，例如，要設計線性相位低通特性，可以選擇這一類，而不能選擇這一類。我們在設計濾波器時，希望窗譜主瓣盡可能窄，以獲得較陡的過渡帶，同時盡可能減小最大旁瓣的相對幅度，我們發(fā)現這是不可能的，因

11、為這本身就是一個矛盾體，所以在設計濾波器時只是根據實際情況來選擇合適的窗函數主程序框圖如圖下圖所示。其中幅度特性要求用db表示。開始讀入窗口長度n計算hd(n)調用窗函數子程序求w(n)調用子程序（函數）計算h(k)=dfth(n)調用繪圖子程序（函數）繪制h(k)幅度相位曲線結束主程序框圖計算h(n)= hd(n) w(n)四、fir 濾波器的窗函數設計基本方法1. fir濾波器簡介 fir數字濾波器設計最簡單的方法是窗函數法，通常也稱為傅立葉級數法。它是在時域進行的，因而必須由理想濾波器的頻率響應推導出其單位沖激響應，在設計一個fir數字濾波器的單位沖激響應去逼近。根據沖激響應的時域特性，

12、數字濾波器可分為無限長沖激響應（iir）和有限長沖激響應濾波器（fir），fir的突出優(yōu)點是：系統(tǒng)總是穩(wěn)定的、易于實現線性相位、允許設計多通帶（或多阻帶）濾波器，但與iir相比，在滿足同樣阻帶衰減的情況下需要的階數較高，濾波器的階數越高，占用的運算時間越多，因此在滿足指標要求的情況下應盡量減少濾波器的階數。2函數設計法窗函數設計法是一種通過截短和計權的方法使無限長非因果序列成為有限長脈沖應響應序列的設計方法，通常在設計濾波器之前，應該先根據具體的工程應用確定濾波器的技術指標，在大多數實際應用中，數字濾波器常常被用來實現選頻操作，所以指標的形式一般為在頻域中以分貝值給出的相對幅度響應和相位響應。

13、 用窗函數法設計fir濾波器的步驟如下： （1）根據過渡帶寬及阻帶衰減要求，選擇窗函數的類型并估計窗口長度n（或階數m=n-1），窗函數類型可根據最小阻帶衰減as獨立選擇，因為窗口長度n對最小阻帶衰減as沒有影響，在確定窗函數類型以后，可根據過渡帶寬小于給定指標確定所擬用的窗函數的窗口長度n，設待求濾波器的過渡帶寬為，它與窗口長度n近似成反比，窗函數類型確定后，其計算公式也確定了，不過這些公式是近似的，得出的窗口長度還要在計算中逐步修正，原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇較小的n，在n和窗函數類型確定后，即可調用matlab中的窗函數求出窗函數w（n）。 （2）根據待求濾波器的理想

14、頻率響應求出理想單位脈沖響應hd（n），如果給出待求濾波器頻率應為hd（ejw），則理想的單位脈沖響應可以用下面的傅里葉反變換式求出： （13）在一般情況下，hd（n）是不能用封閉公式表示的，需要采用數值方法表示；從w=0到w=2采樣n點，采用離散傅里葉反變換（idft）即可求出。 （3）計算濾波器的單位脈沖響應h（n），它是理想單位脈沖響應和窗函數的乘積。 (4)算技術指標是否滿足要求，為了計算數字濾波器在頻域中的特性，可調用freqz子程序，如果不滿足要求，可根據具體情況，調整窗函數類型或長度，直到滿足要求為止。使用窗函數法設計時要滿足以下兩個條件：窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶；

15、盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度，也就是使能量盡量集中于主瓣，減小峰肩和紋波，進行增加阻帶的衰減。3、幾種數字濾波器的窗函數設計 3.1數字低通濾波器的窗函數設計假設理想低通數字濾波器的頻率響應，其幅頻特性為。那么該濾波器的： 式中表示截止頻率（rad），表示采樣延遲。由此可得理想數字低通濾波器的單位沖激響應為： （14）根據式（1），可知是一個以 為中心的偶對稱的無限長非因果序列，如果截取一段n=0n-1的hd(n)作為h(n)，則為要保證所得到是線性相位fir濾波器，延時應為h(n)長度n的一半,=(n-1)/2 （15）其中wr(n)=rn(n)（為了表示一致） 設w(ej)為該窗口函數

16、的頻譜:用幅度函數和相函數來表示，則有 。其線性相位部分e-j則是表示延時一半長度=(n-1)/2，對頻響起作用的是它的幅度函數圖1 矩形窗函數及其幅度函數 理想頻響也可以寫成幅度函數和相位函數的表示形式hd(ej)=hd()e-j 其中幅度函數為 二個信號時域乘積對應于頻域卷積，所以有 如果也以幅度函數h()和相位函數來表示h（ej）, h（ej）= h() e-jw 則實際fir濾波器的幅度函數h（）為 正好是理想濾波器幅度函數與窗函數幅度函數的卷積。為了滿足工程上的需要，可以通過改變窗函數的形狀來改善濾波器的幅度頻率特性，而窗函數的選擇原則是：1) 具有較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣的幅

17、度；2) 旁瓣的幅度下降的速率要快，以利于增加阻帶的衰減；3) 主瓣的寬度要窄，這樣可以得到比較窄的過渡帶。通常上述的幾點難以同時滿足。實際中設計fir數字濾波器往往要求是線性相位的，因此要求滿足線性相位的條件，即要求w(n)滿足： 所以，窗函數不僅有截短的作用，而且能夠起到平滑的作用，在很多領域得到了應用。 3.2 利用海明窗設計型數字低通濾波器 技術指標 圖2 型數字低通濾波器沖激響應與幅度響應五、設計步驟（1） 根據對阻帶衰減及過渡帶的指標要求， 選擇窗函數的類型， 并估計窗口長度n。 本題要求設計的firdf指標： 通帶截止頻率： 阻帶截止頻率:阻帶最小衰減： (2) 用窗函數法設計f

18、ir數字低通濾波器，為了降低運算量，希望濾波器的階數盡量低，故應選擇凱塞窗。根據教材中公式（7.2.16）計算凱塞窗的控制參數為 指標要求過渡帶寬度。 ,根據教材中公式（7.2.17）計算濾波器階數為 取滿足要求的最小整數m=16。所以h(n)長度為n=m+1=17。程序設計：fp=2000;fs=3000;fs=10000;rs=30;n=128;n=0:n-1;wp=2*pi*fp/fs;ws=2*pi*fs/fs;bt=ws-wp;alph=0.5482*(rs-21)0.4+0.07886*(rs-21);m=ceil(rs-8)/2.285/bt);wc=(wp+ws)/2/pi;h

19、n=fir1(m,wc,kaiser(m+1,alph);subplot(2,2,1);stem(hn,filled);xlabel(n);ylabel(hn);title(hn波形);hw=fft(hn,n);f=n*fs/n;w=0:0.01:pi;h=freqz(hn,1,w);subplot(2,2,2);plot(w/2/pi,abs(h);grid on;xlabel(頻率/hz);ylabel(hg(w)/db);title(幅頻響應函數曲線);subplot(2,2,3);plot(f/10000,angle(hw);xlabel(頻率/hz);ylabel(相位/rad);title(相位響應函數曲線);subplot(2,2,4);plot(w,20*log10(h);xlabel(w/);axis(0 4 -60 0)ylabel(20lg|h|);title(損耗函數曲線);六、心得體會通過本次課程設計，我鞏固了課堂中學習的理論知識，并能夠用所學習的理論知識正確分析數字信號處理的基本問題，和解釋數字信號處理的基本現象，掌握了用窗函數法設計fir數字低通濾波器的正確方法和步驟，以及用matlab軟件編寫程序實現該濾波器的仿真，還學