任意角的三角函數(shù)

1、初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的 x r x y r x x 1 r y x .口. 冋 數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義 年級: 授課類型 任意角的三角函數(shù) 教學(xué)內(nèi)容 角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對三角函數(shù)重新定義。 知識講解 sin cos tan cot sec 終邊上任意一點P （除了原點）的坐標(biāo)為（x, y），它與原點的距離為 在Rt ABC中，設(shè)A對邊為a , B對邊為b , C對邊為c ,銳角A的正弦、余弦、正切依次為 .n a A b a si nAcosA -,ta nA . ccb A 同步導(dǎo)入 在直角坐標(biāo)系中，設(shè) 曰 是 -個任意角， r(r |x |2 |y|2 JX2

2、2 y 0), 那么 (1) 比值 y叫做 r 的正弦， 記作 sin ，即 (2) 比值 x叫做 r 的余弦， 記作 cos ，即 (3) 比值 y叫做 x 的正切， 記作 tan ，即 (4) 比值 x 叫做 y 的余切, 記作 cot ，即 (5) 比值 叫做 的正割， 記作 sec ，即 1 三角函數(shù)定義 rr (6)比值叫做的余割，記作CSC ，即CSC. yy 說明：的始邊與x軸的非負半軸重合，的終邊沒有表明一定是正角或負角，以及的大小，只表明與的 終邊相同的角所在的位置； 根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角，六個比值不以點 P(x, y)在 的終邊上的位置的改變而改變大??； yr

3、 當(dāng)k (k Z)時， 的終邊在y軸上，終邊上任意一點的橫坐標(biāo) x都等于0,所以tan 與sec 2xx xr 無意義；同理，當(dāng)k (k Z)時，coy 一與csc無意義； yy 除以上兩種情況外，對于確定的值，比值y、X、y、x、r、r分別是一個確定的實數(shù)，所以正弦、余弦、 r r x y x y 正切、余切、正割、余割是以角為自變量，一比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。 2三角函數(shù)的定義域、值域 函數(shù) 定 義 域 值域 y sin R 1,1 y cos R 1,1 y tan 12 k，k Z R cos 、 tan 例1:已知角的終邊經(jīng)過點P(2, 3)，求sin 3 例

4、2:求下列各角的三個三角函數(shù)值：（1） 0 ; （2） ; （3）. 2 3三角函數(shù)的符號 由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號，我們可以得知： 正弦值y對于第一、二象限為正（y0,r0），對于第三、四象限為負（y 0,r0）； r 余弦值X對于第一、四象限為正（x0,r0），對于第二、三象限為負（x 0,r0）； r 正切值y對于第一、三象限為正（x, y同號），對于第二、四象限為負（ x, y異號）. sin a, COS a, tan a在各個象限的符號如下: x 4同角三角函數(shù)基本關(guān)系式: 2 2 (1)平方關(guān)系：sin cos 1 (2)商數(shù)關(guān)系：tan sin cos k

5、,k Z 2 例3:確定下列三角函數(shù)值的符號: (1)cos250o ；( 2)sin( )； 4 (3) tan( 672) ；(4)tan11 3 1.已知角的終邊上一點P（慮m），且sin 攀，求cos ,sin的值。 2.已知 sin0且 tan 0, （1）求角的集合；（2）求角一終邊所在的象限；（3）試判斷 帥_ sin _ cos_的符號。 2 2 2 2 3化簡1域10 CO?0 sin 101 si n210 正切值的幾何表示一一三角函數(shù)線。 當(dāng)角的終邊上一點 P(x, y)的坐標(biāo)滿足 X2 y2 1時，有三角函數(shù)正弦、余弦、 1 單位圓：圓心在圓點 0，半徑等于單位長的圓叫

6、做單位圓。 2 有向線段：坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。 規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時為正，與坐標(biāo)方向相反時為負。 3 三角函數(shù)線的定義： P(x, y)，過P作X軸的垂線，垂足為 設(shè)任意角的頂點在原點 0，始邊與X軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點 M ；過點A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點T . y A M o (W) （川） 由四個圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段OM x,MP y，于是有 sin y r 1 y MP， cos x x x OM , r 1 y MP AT ta n AT . x OM OA 我們就分別稱有

7、向線段 MP,OM , AT為正弦線、余弦線、正切線。 說明： 三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到 x軸的垂直線段；余弦線在 x軸上；正切線在過單位 圓與x軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。 三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向 與的終邊的交點。 三條有向線段的正負：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與 x軸或y軸反向的為負值。 三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。 例1利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍。 1 1 1口 1 (1) si nx (2

8、) cosx (3) 0 x ,sin x且 cosx 2 2 2 2 (4) | cos x | 1 (5) sin x 1口丄 一且 tanx 1 . 2 2 jj 蓉強化練習(xí) n 象限. 1.若一2 Vav 0，則點 Q(cos a, sin a )位于第 1 73 2.已知角a的終邊過點P , ，則sin a cos a = 2 2 3.若角a的終邊過點 P(2sin 30, 2cos 30 )，則a 4若 ABC中，cos A- cos B cos 3 B.若a、3是第二象限角，則 tan tan 3 C若a、3是第三象限角，則 cos cos 3 D.若a、3是第四象限角，貝U tan tan 3 13.已知角 的終邊經(jīng)過點（2, 3），求 的正弦、余弦、正切值 求y的值. 變式1：已知角的終邊經(jīng)過點（3, y