拉格朗日插值法理論及誤差分析

1、淺析拉格朗日插值法目錄：一、引言二、插值及多項(xiàng)式插值的介紹三、拉格朗日插值的理論及實(shí)驗(yàn)四、拉格朗日插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差及實(shí)用估計(jì)式五、參考文獻(xiàn)一、引言插值在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是個(gè)古老問題。插值是和拉格朗日（Lagrange）、牛頓 （Newton）、高斯（GausS等著名數(shù)學(xué)家的名字連在一起的。在科學(xué)研究和日 常生活中，常常會(huì)遇到計(jì)算函數(shù)值等一類問題。插值法有很豐富的歷史淵源，它 最初來源人們對(duì)天體研究一一有若干觀測(cè)點(diǎn)（我們稱為節(jié)點(diǎn)）計(jì)算任意時(shí)刻星球 的位置（插值點(diǎn)和插值）。現(xiàn)在，人們?cè)谥T如機(jī)械加工等工程技術(shù)和數(shù)據(jù)處理等 科研都有很好的應(yīng)用，最常見的應(yīng)用就是氣象預(yù)報(bào)。插值理論和方法能解決在實(shí) 際中當(dāng)

2、許多函數(shù)表達(dá)式未知或形式復(fù)雜，如何去構(gòu)造近似表達(dá)式及求得在其他節(jié) 點(diǎn)處的值的問題。二、插值及多項(xiàng)式插值1、插值問題的描述設(shè)已知某函數(shù)關(guān)系y f （x）在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值：XX）X1LLXn 1X nyy。y1LLy n 1yn插值問題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù) y f （x）的一種簡(jiǎn)單的近似表達(dá)式, 以便于計(jì)算點(diǎn)X Xi，i 0,1,L ,n的函數(shù)值f （X），或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù) 值。2、插值的幾何意義插值的幾何意義如圖1所示:3、多項(xiàng)式插值3.1基本概念假設(shè)y f(x)是定義在區(qū)間a,b上的未知或復(fù)雜函數(shù)，但一直該函數(shù)在點(diǎn)a xo Xi LXn b處的函數(shù)值y,yi丄y“。找一

3、個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，例如函數(shù)P(x)，使之滿足條件P(x) yi,i 0,1,2,L , n,(3.1)通常把上述XoX1 LXn稱為插值節(jié)點(diǎn)，把P(x)稱為f (x)的插值多項(xiàng)式，條件(3.1 )稱為插值條件，并把求P(X)的過程稱為插值法3.2插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性如果插值函數(shù)是如下m次的多項(xiàng)式:Pm(x)mm 1aoxa1xL am 1Xam那么插值函數(shù)的構(gòu)造就是要確定Pm(x)表達(dá)式中的m+1個(gè)系數(shù)ao,a1,L am1,am。由于插值條件包含n+1獨(dú)立式，只要m=n就可證明插值函數(shù)多 項(xiàng)式是唯一存在。實(shí)際上，由n+1個(gè)插值條件可得naoXon 1axLan1X0anyonaxn 1La

4、n必any1Mnn 1LaXnaxan1Xnanyn這是一個(gè)關(guān)于ao,ai,L an的n+1階線性方程組，且其系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行列式是 線性代數(shù)中著名的范德蒙（Van demo nd行列式。該行列式得值為n iVn（Xo,Xi 丄 Xn）（為 Xj）i 1 j 0因?yàn)閕 j時(shí)，Xi Xj，所以Vn（X0,Xi,L Xn） 0。從而證明了上述線性方程組的階是唯一存在的。既滿足插值條件的多項(xiàng)式唯一存在。三、拉格朗日插值的理論及實(shí)驗(yàn)1、拉格朗日插值的理論拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是把 Pn（x）的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為n+1個(gè)插值基函數(shù)h（x）（i0,1,L , n）。首先我們利用節(jié)點(diǎn)直接

5、構(gòu)造如下多項(xiàng)式:其中n 1（X）（XXo)(X Xi)L (X Xn)，n 1（X）(XiXo)L (Xi X1)( XiXi1)L (Xi Xn)容易驗(yàn)證該多項(xiàng)式具有性質(zhì)li0,1,因此，n次多項(xiàng)式nln(X)ynlk(x)ykk 0定具有性質(zhì)nLn(xJlk(x)yk h(Xj)yi,i 0,1, L , n,k 0既滿足插值條件。我們稱Ln(X)為拉格朗日插值多項(xiàng)式，li(X)稱為拉格朗日插值及函數(shù)。一次拉格朗日插值多項(xiàng)式又叫做線性插值多項(xiàng)式。二次拉格朗日插值多項(xiàng)式又叫做拋物線插值多項(xiàng)式。2、拉格朗日插值實(shí)驗(yàn)經(jīng)過學(xué)習(xí)掌握拉格朗日插值的理論，學(xué)以致用，使學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中，并運(yùn)用計(jì)

6、算機(jī)來解決我們?cè)趯W(xué)習(xí)中遇到的一些問題。以下為運(yùn)用MATLAB軟件平臺(tái)上計(jì)行拉格朗日插值問題：x02468101214161820 2224 262830y0.00 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3 .724.17 5.12 5.45 5.67 6.74 7.31 7.85 8 .45 8.97例：已知在0,30內(nèi)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)x以及函數(shù)值y如表所示，利用拉格朗日插值多項(xiàng)式求在區(qū)間x=2.035,x=9.771,x=17.815,x=26.907所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。在已知數(shù)表函數(shù)的條件下，拉格朗日插值多項(xiàng)式可用來計(jì)算復(fù)雜函數(shù)或未知函數(shù)的函數(shù)值，為此我們首先編寫如下利用拉格朗日插值多項(xiàng)

7、式方法計(jì)算函數(shù) 值的程序：fun cti ony=lagra nge(x0,y0,x)n=le ngth(x0);m=le ngth(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1: np=1.0;for j=1: nif j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end上述三重循環(huán)給出了拉格朗日插值計(jì)算多項(xiàng)式計(jì)算任何點(diǎn)x處的函數(shù)值的過程, 我們把它標(biāo)記為lagrange.m文件，接下來我們?cè)贛ATLA平臺(tái)上進(jìn)行上述例子中 的數(shù)值試驗(yàn)。在Comma nd Win do中輸入的命令及結(jié)果如下所示： x=0:

8、2:30; y=0.0 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3.72 4.17 5.12 5.45 5.67 6.74 7.31 7.858.45 8.97; lagra nge(x,y,2.035)ans =0.3290 lagra nge(x,y,9.771)ans =3.2975 lagra nge(x,y,17.815)ans =5.4483 lagra nge(x,y,26.907)ans =8.6519最后，我們根據(jù)拉格朗日插值結(jié)果，利用plot命令畫出未知函數(shù)的圖像，命令程序如下： x0=0:2:30; y0=lagra nge(x,y,x0); plot(x0,y

9、0)得到的未知函數(shù)圖像為：四、拉格朗日插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差及實(shí)用估計(jì)式1、截?cái)嗾`差在a,b區(qū)間上用Ln(x)近似未知或復(fù)雜函數(shù)f(x)，其截?cái)嗾`差是指Rn x f x Ln x( 4.1)通常稱Rn x為拉格朗日插值余額。注意到利用公式(4.1)估計(jì)截?cái)嗾`差實(shí)際上非常困難。一是因?yàn)樗?jì)算函數(shù)f (x)的高階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)f(x)很復(fù)雜時(shí)，計(jì)算量很大，而當(dāng)f(x)沒有可用來計(jì)算的表達(dá)式時(shí)，導(dǎo)數(shù)無法準(zhǔn)確計(jì)算；二是因?yàn)榧词鼓艿玫礁唠A導(dǎo)數(shù)的解析式，但由于 的具體位置不知道，所以要估計(jì)高階導(dǎo)數(shù)在插值區(qū)間上的界一般是非常困難的事情。因此，公式(4.1)并不實(shí)用。2、截?cái)嗾`差的實(shí)用估計(jì)式既然公式(4.1)估計(jì)誤

10、差時(shí)不實(shí)用，那么實(shí)際中如何估計(jì)截?cái)嗾`差呢？假設(shè)插值條件中包含n+2組數(shù)據(jù)f (xj yi, i 0,1,L , n, n 1,那么利用n+1組數(shù)據(jù)我們可以構(gòu)造一個(gè)n次拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x)，利用后n+1組數(shù)據(jù)我們可以構(gòu)造另一個(gè)n次拉格朗日插值多項(xiàng)式L；(x)。利用公式(4.1)知，他們各自的插值余項(xiàng)為f(x) Ln(x)1(n 1)!(n 1( )(xxo)(x XjL (x Xn),f(x) L*n(x)1(n 1)!(n 1( *)(xXj(X X2)L (x Xn 1),兩式相減得Ln(x) Ln(x)1(n 1)!1()(xXjL (X Xn)(Xn 1Xo),并可寫成1(n 1

11、)!(n 1( )(X M)L (X Xn)L；(x)Ln(x)Xn 1 Xo(4.2)注意到上式中利用fn1( ) fn1( *).該條件在很多情況下是成立的利用式（4.2）可得R(x) f(x) Ln(x)R*(x)f(x) L*n(x)Ln(X)L；(x)Xo Xn 13Ln(X)Xn 1 X。(4.2 )式（4.3）給出了用Ln（x）或L*n（X ）作近似計(jì)算時(shí)的實(shí)用誤差估計(jì)式，它不需要計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)，也不用估計(jì)插值區(qū)間上高階導(dǎo)數(shù)的界?？傊窭嗜詹逯捣ǖ墓浇Y(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計(jì) 算中，但插值點(diǎn)增加或減少時(shí)，所對(duì)應(yīng)的基本多項(xiàng)式就得重新計(jì)算而且圖像發(fā)生 很大變化。像逐次線性插值法、牛頓插值法等都是在拉格朗日插值多項(xiàng)式的基礎(chǔ) 上