激光原理第二章答案解析

1、 第二章 開放式光腔與高斯光束1. 證明如圖2.1所示傍軸光線進(jìn)入平面介質(zhì)界面的光線變換矩陣為。證明：設(shè)入射光線坐標(biāo)參數(shù)為，出射光線坐標(biāo)參數(shù)為，根據(jù)幾何關(guān)系可知 傍軸光線則，寫成矩陣形式 得證2. 證明光線通過圖2.2所示厚度為d的平行平面介質(zhì)的光線變換矩陣為。證明：設(shè)入射光線坐標(biāo)參數(shù)為，出射光線坐標(biāo)參數(shù)為，入射光線首先經(jīng)界面1折射，然后在介質(zhì)2中自由傳播橫向距離d，最后經(jīng)界面2折射后出射。根據(jù)1題的結(jié)論和自由傳播的光線變換矩陣可得 化簡(jiǎn)后得證。3試?yán)猛稻仃囎C明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其中可以往返無限多次，而且兩次往返即自行閉合。證：設(shè)光線在球面鏡腔內(nèi)的往返情況如下圖所示：其往返矩

2、陣為：由于是共焦腔，則有將上式代入計(jì)算得往返矩陣可以看出，光線在腔內(nèi)往返兩次的變換矩陣為單位陣，所以光線兩次往返即自行閉合。于是光線在腔內(nèi)往返任意多次均不會(huì)溢出腔外，所以共焦腔為穩(wěn)定腔。4.試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡腔的穩(wěn)定性條件。解：共軸球面腔穩(wěn)定性條件其中對(duì)平凹共軸球面鏡腔有則，再根據(jù)穩(wěn)定性條件可得。對(duì)雙凹共軸球面腔有，則根據(jù)穩(wěn)定性條件 可得。對(duì)凹凸共軸球面鏡腔有，則根據(jù)穩(wěn)定性條件 可得。5. 激光器的諧振腔由一面曲率半徑為1m的凸面鏡和曲率半徑為2m的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長(zhǎng)0.5m，其折射率為1.52，求腔長(zhǎng)L在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。解：設(shè)兩腔鏡和的曲率半徑分別為和，工作物質(zhì)長(zhǎng)，折射率

3、當(dāng)腔內(nèi)放入工作物質(zhì)時(shí),穩(wěn)定性條件中的腔長(zhǎng)應(yīng)做等效,設(shè)工作物質(zhì)長(zhǎng)為,工作物質(zhì)左右兩邊剩余的腔長(zhǎng)分別為和，則。設(shè)此時(shí)的等效腔長(zhǎng)為，則光在腔先經(jīng)歷自由傳播橫向距離，然后在工作物質(zhì)左側(cè)面折射，接著在工作物質(zhì)中自由傳播橫向距離，再在工作物質(zhì)右側(cè)面折射，最后再自由傳播橫向距離，則所以等效腔長(zhǎng)等于 再利用穩(wěn)定性條件由(1)解出 則所以得到：6. 圖2.3所示三鏡環(huán)形腔，已知，試畫出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑R在什么范圍內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形腔為非共軸球面鏡腔。在這種情況下，對(duì)于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€，式(2.2.7)中的，對(duì)于在與此垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€，為光軸與球面鏡法線的夾

4、角。圖2.1解：穩(wěn)定條件 左邊有 所以有對(duì)子午線： 對(duì)弧矢線：對(duì)子午線和弧矢光線分別代入上述不等式得子午光線弧矢光線任意光線需同時(shí)滿足子午線與弧矢線的條件得7. 有一方形孔徑的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，方形孔邊長(zhǎng)，鏡的反射率為，其他的損耗以每程0.003估計(jì)。此激光器能否作單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來選擇模，小孔的邊長(zhǎng)應(yīng)為多大？試根據(jù)圖2.5.5作一個(gè)大略的估計(jì)。氦氖增益由公式估算（為放電管長(zhǎng)度，假設(shè)）解：模為第一高階橫模，并且假定和模的小信號(hào)增益系數(shù)相同，用表示。要實(shí)現(xiàn)單模運(yùn)轉(zhuǎn)，必須同時(shí)滿足下面兩個(gè)關(guān)系式根據(jù)已知條件求出腔的菲涅耳數(shù)由圖2.5.5可查得和模的單程衍射

5、損耗為氦氖增益由公式計(jì)算。代入已知條件有。將、和的值代入I、II式，兩式的左端均近似等于1.05，由此可見式II的條件不能滿足，因此該激光器不能作單模運(yùn)轉(zhuǎn)。為了獲得基模振蕩，在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來增加衍射損耗。若滿足II式的條件，則要求根據(jù)圖2.5.5可以查出對(duì)應(yīng)于的腔菲涅耳數(shù) 由菲涅耳數(shù)的定義可以算出相應(yīng)的小孔闌的邊長(zhǎng)同理利滿足I式的條件可得因此，只要選擇小孔闌的邊長(zhǎng)滿足即可實(shí)現(xiàn)模單模振蕩。8試求出方形鏡共焦腔面上模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎？解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的模的場(chǎng)分布可以寫成令，則I式可以寫成式中為厄米多項(xiàng)式，其值為由于厄米多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是場(chǎng)的節(jié)點(diǎn)位置

6、，于是令，得考慮到，于是可以得到鏡面上的節(jié)點(diǎn)位置所以，模在腔面上有三條節(jié)線，其x坐標(biāo)位置分別在0和處，節(jié)線之間位置是等間距分布的，其間距為；而沿y方向沒有節(jié)線分布。9. 求圓形鏡共焦腔和模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。解：在拉蓋爾高斯近似下，可以寫成如下的形式 對(duì)于，兩個(gè)三角函數(shù)因子可以任意選擇，但是當(dāng)m為零時(shí)，只能選余弦，否則無意義對(duì)于：并且，代入上式，得到，取余弦項(xiàng)，根據(jù)題中所要求的結(jié)果，我們?nèi)?，就能求出鏡面上節(jié)線的位置。即同理，對(duì)于， ，代入上式并使光波場(chǎng)為零，得到顯然，只要即滿足上式鏡面上節(jié)線圓的半徑分別為：10. 今有一球面腔，。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)；在圖上畫出等價(jià)

7、共焦腔的具體位置。解：該球面腔的g參數(shù)為由此，滿足諧振腔的穩(wěn)定性條件，因此，該腔為穩(wěn)定腔。由穩(wěn)定腔與共焦腔等價(jià)條件 和可得兩反射鏡距離等效共焦腔中心O點(diǎn)的距離和等價(jià)共焦腔的焦距分別為根據(jù)計(jì)算得到的數(shù)據(jù)，在下圖中畫出了等價(jià)共焦腔的具體位置。16某高斯光束腰斑大小為=1.14mm，。求與束腰相距30cm、10m、1000m遠(yuǎn)處的光斑半徑及波前曲率半徑R。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)根據(jù)z30cm10m1000m1.45mm2.97cm2.96m0.79m10.0m1000m求得：17若已知某高斯光束之=0.3mm，。求束腰處的參數(shù)值，與束腰相距30cm處的參數(shù)值，以及在與束腰相距無限遠(yuǎn)處的值。解：入

8、射高斯光束的共焦參數(shù)根據(jù)，可得束腰處的q參數(shù)為：與束腰相距30cm處的q參數(shù)為：與束腰相距無窮遠(yuǎn)處的q參數(shù)為：21某高斯光束=1.2mm，。今用F=2cm的鍺透鏡來聚焦，當(dāng)束腰與透鏡的距離為10m、1m、10cm、0時(shí)，求焦斑的大小和位置，并分析所得的結(jié)果。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)設(shè)入射高斯光束的參數(shù)為，像高斯光束的參數(shù)為，根據(jù)ABCD法則可知其中 ；。 利用以上關(guān)系可得10m1m10cm02.00cm2.08cm2.01cm2.00cm2.4022.555.356.2從上面的結(jié)果可以看出，由于f遠(yuǎn)大于F，所以此時(shí)透鏡一定具有一定的聚焦作用，并且不論入射光束的束腰在何處，出射光束的束腰都在透

9、鏡的焦平面上。22激光器輸出光，=3mm，用一F=2cm的凸透鏡距角，求欲得到及時(shí)透鏡應(yīng)放在什么位置。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)設(shè)入射高斯光束的參數(shù)為，像高斯光束的參數(shù)為，根據(jù)ABCD法則可知其中 ；。 利用以上關(guān)系可得時(shí)，即將透鏡放在距束腰1.39m處；時(shí)，即將透鏡放在距束腰23.87m處。23如圖2.6光學(xué)系統(tǒng)，如射光，求及。圖2.2解：先求經(jīng)過一個(gè)透鏡的作用之后的束腰半徑及位置由于，所以=2cm所以對(duì)第二個(gè)透鏡，有已知，根據(jù)其中 ；。得，24某高斯光束=1.2mm，。今用一望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直。主鏡用鍍金反射鏡R=1m，口徑為20cm；副鏡為一鍺透鏡，=2.5cm，口徑為1.5cm；高斯束腰與

10、透鏡相距=1m，如圖2.7所示。求該望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率。圖2.3解：入射高斯光束的共焦參數(shù)為由于遠(yuǎn)遠(yuǎn)的小于，所以高斯光束經(jīng)過鍺透鏡后將聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半徑為這樣可以得到在主鏡上面的光斑半徑為即光斑尺寸并沒有超過主鏡的尺寸，不需要考慮主鏡孔徑的衍射效應(yīng)。這個(gè)時(shí)候該望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率為25激光器的諧振腔有兩個(gè)相同的凹面鏡組成，它出射波長(zhǎng)為的基模高斯光束，今給定功率計(jì)，卷尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測(cè)量該高斯光束公焦參數(shù)f的實(shí)驗(yàn)原理及步驟。解：一、實(shí)驗(yàn)原理通過放在離光腰的距離為z的小孔(半徑為a)的基模光功率為(I)式中，為總的光功率，為通過小孔的光功率。記，則

11、有(II)注意到對(duì)基模高斯光束有在(II)式的兩端同時(shí)乘以，則有令(III)則解此關(guān)于f的二次方程，得因?yàn)?、都可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦參數(shù)f。二、實(shí)驗(yàn)步驟1如上圖所示，在高斯光束的軸線上某一點(diǎn)B處放入于光軸垂直的光闌(其孔半徑為a)，用卷尺測(cè)量出B到光腰O(此題中即為諧振腔的中心)的距離z；2用激光功率計(jì)測(cè)出通過小孔光闌的光功率；3移走光闌，量出高斯光束的總功率；4將所得到的數(shù)據(jù)代入(III)及(IV)式即可求出f(根據(jù)實(shí)際情況決定(IV)式根號(hào)前正負(fù)號(hào)的取舍)。28. 試用自變換公式的定義式（2.12.2），利用q參數(shù)來推導(dǎo)出自變換條件式證明

12、：設(shè)高斯光束腰斑的q參數(shù)為，腰斑到透鏡的距離為，透鏡前表面和后表面的q參數(shù)分別為、，經(jīng)過透鏡后的焦斑處q參數(shù)用表示，焦斑到透鏡的距離是=，透鏡的焦距為F。根據(jù)q參數(shù)變換，可以求出前表面、后表面、及焦斑處的q參數(shù)，分別是：透鏡前表面： 透鏡后表面：焦斑的位置：把經(jīng)過變換的代入到焦斑位置的q參數(shù)公式，并根據(jù)自再現(xiàn)的條件，得到：可得 31.試計(jì)算，的虛共焦腔的和.若想保持不變并從凹面鏡端單端輸出，應(yīng)如何選擇？反之，若想保持不變并從凸面鏡輸出，如何選擇？在這兩種單端輸出條件下，和各為多大？題中為鏡的橫截面半徑，為其曲率半徑。解：（1）鏡的單程放大率為鏡的單程放大率為所以 （2）要從鏡單端輸出，則要求鏡反射的光全部被鏡反射，由于鏡反射的光為平行光，所以要求（3）要從鏡單端輸出，則要求鏡反射的光全部被鏡反射，所以要求（4）和不變工程部維修工的崗位職責(zé)1、 嚴(yán)格遵守公司員工守則和各項(xiàng)規(guī)章制度，服從領(lǐng)班安排，除完成日常維修任務(wù)外，有計(jì)劃地承擔(dān)其它工作任務(wù); 2、 努力學(xué)習(xí)技術(shù)，熟練掌握現(xiàn)有