倒易點(diǎn)陣習(xí)題集

1、 例題 2. 1體心立方和面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣證明體心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣 是面心立方點(diǎn)陣.反之，面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是體心立方點(diǎn)陣. 證明 選體心立方點(diǎn)陣的初基矢量如圖1. 8所示， a| ? ?-? a| -? ? ? 比=| ?-? z 其中a是立方晶胞邊長，?, ?壬是平行于立方體邊的正交的單位矢量。 1 初基晶胞體積Vc =a- a2 a3a3 根據(jù)式(I. 1)計(jì)算倒易點(diǎn)陣矢量 ai a3,b 2 二 2 a1a2 Vc =aia3 2 二 y?z ai 22 aa 22 ? y? VC b2 -13 5 - 2兀 a a 2 2 a a 2 2 ? a 2 a 2 Vc 2 二

2、 d =ai a2 y? ? 2 I a 七(？+ 2 2 2 a a 2 2 X 1 2 a 2 于是有: h? y? 4? ?,b3=2 ? ? aaa 顯然b1, b,b3正是面心立方點(diǎn)陣的初基矢量，故體心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是面 心立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長是4二；a. 同理，對面心立方點(diǎn)陣寫出初基矢量 a = 2 ? ? a| * ? a| ? ? 如圖1.10所示。 1 o 初基晶胞體積Vc二印 a2 a3a3。 4 根據(jù)式(2. 1)計(jì)算倒易點(diǎn)陣矢量 5?-? ? 故面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣為 b5? -？ b ? * ? 4 二2- aaa 顯然，b1,b2, b3正是體心立方點(diǎn)陣的初

3、基矢量， 體心立方點(diǎn)陣，其立方晶胞邊長是4;；a . 2. 2 (a)證明倒易點(diǎn)陣初基晶胞的體積是 3 (2兀)/Vc，這里Vc是晶體點(diǎn)陣 初基晶胞的體積；(b)證明倒易點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是晶體點(diǎn)陣自身. 證明 (a) 倒易點(diǎn)陣初基晶胞體積為bi b2 b3，現(xiàn)計(jì)算b? bs 由式(2. 1) 2 知, Da2 a3,b2a3 ai,b3a2 Vc 2Vc 3 2 Vc 1 2 此處 乂二印 a? as 3 (a a 21a (a a .aja2 這里引用了公式： AB CD 二 AB DC-0AB CD。 6疋匕3 = 由于a3a1O|=0，故有 f f 2n-| b xb3 = |_(a3ai

4、 )02 lai 而 VC = a?冃 a2 故有 ai bib2b3 二 2 (“) 3 (勿) Vc V2aia2a3二 Vc Vc 或?qū)懗?bi66 二 ai 2 漢 a3 ) Q 倒易點(diǎn)陣初基晶胞體積為晶體點(diǎn)陣初基晶胞體積倒數(shù)的2二倍。 ai =2二b2 b3 bib2b3 (b) 現(xiàn)要證明晶體點(diǎn)陣初基矢量ai，a2, a3滿足關(guān)系 =2,a3=2 二 b! b2 b3bi b2 b3 有前面知: 2 (2兀) b3ai 3Vci 令Ci =2二4 b! b2 b3 2 2 二 Vcdb2 b3 13 又知bi b2 b3 2 i，代入上式得: Vc c) Ci 二 - (2jt j

5、j Vc 3 Vc b| b2 C3 = 2a3 b (bb3 ) 可見，倒易點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣正是晶體點(diǎn)陣自身. 2. 3面間距考慮晶體中一組互相平行的點(diǎn)陣平面(hkl), (a)證明倒易 點(diǎn)陣矢量G hkl二hb kb2 lb3垂直于這組平面(hkl) ； (b)證明兩個(gè)相鄰的點(diǎn)陣 平面間的距離d(hkl)為: 2兀 d(hkl = 丿 |G(hkl) (c) 證明對初基矢量a,a2,a3互相正交的晶體點(diǎn)陣，有 (d)證明對簡單立方點(diǎn)陣有 d hkl 二 a .h2 k2 l2 證明 (a) 參看圖2. 3,在平面族(hkl)中，距原點(diǎn)最近的點(diǎn)陣平面 ABC在三個(gè)晶 軸上的截距分別是av h,

6、a k,al . 現(xiàn)要證明 G(hkl)垂直于 ABC,只需證明 G(hkl)垂直于平面ABC上的兩個(gè)矢量CA和CB即可. a3 圖2 + 3 Ghkl)垂吃于字面?zhèn)乳T a2 a3 CA十亍，CBU l 用倒易點(diǎn)陣基矢與晶體點(diǎn)陣基矢間的正交關(guān)系式 (2. 2),立即可得 G hkl CA phd kb2 lb3 ： i 半-早 同理，G hkl CB=O 故G(hkl)垂直于點(diǎn)陣平面(hkl). d心OA計(jì)黑= G hkl (b) 點(diǎn)陣平面(hkl)的面間距d(hkl)為 (c) 如果晶體點(diǎn)陣的初基矢量ai,a2,a3彼此正交，則倒易點(diǎn)陣的初基矢量也 必然彼此正交. 設(shè) Q 二bi?,b 2二

7、 b ?b b ? 3 由倒易點(diǎn)陣基矢的定義 b= a2a3, b2 a2 ,b3 = 2 ； a3 G hkl = , hl 也 $ g = a2丿 a3丿 于是面間距為 1 (d) 對立方晶系中的簡單立方點(diǎn)陣，ai =a2 =a3 =a，用(c)的結(jié)果可得 d hkl 二 a h2k2 l2 2. 4 二維倒易點(diǎn)陣 一個(gè)二維晶體點(diǎn)陣由邊長 AB= 4, AC=3，夾角BAC =/3的平行四邊形ABCD重復(fù)而成，試求倒易點(diǎn)陣的初基矢量. 解解法之一 參看圖2. 4,晶體點(diǎn)陣初基矢量為 印=4X a? 爐3 2 2 用正交關(guān)系式(2. 2)求出倒易點(diǎn)陣初基矢量bi,b2。設(shè) D嘰燈匕“曲認(rèn)？

8、b2y? 由 d 印=2 二，d a2 = 0,b2 ai =0,b2 a2 二 2_ 得到下面四個(gè)方程式 4貳 bix：? bly? =2 二(1) (33-J3、 2玄十-?(bix：? + biy?) = 0 4Xb2x)? b2y? =0 4兀 22 巧恥=373? jiit b1? 解法之 選取a3為?方向的單位矢量，即令 a3 二？ 于是初基晶胞體積乂為 Vc=a1a2a3=亠3? = 6.3 2 2 倒易點(diǎn)陣基矢為 2 二 3 _ 3乜？ b=V：a2 a3 =6.3 聘 P ?=2_3? b=V：as ai ； (33J3 x+ ? gx+bzy? )=2兀 (2 2 丿 由式

9、得： H 4bl x = 2兀九= 2 由式得: 33晶 2-+0， 卄3兀33 即三一+汝0 2 2 2 y 解得： 九一2.3 由式得:4b2x =0,b2x =0 代入式得： 334 亍2廠2也百3 于是得出倒易點(diǎn)陣基矢 Vc a-ia2=2二？ 對二維點(diǎn)陣，僅取X,?兩個(gè)方向，于是得 bi 2. 5簡單六角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣簡單六角點(diǎn)陣的初基矢量可以取為 a- a )?+丨 2丿12丿 a)?+i- ?, a3 = cZ (a) 證明簡單六角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為簡單六角點(diǎn)陣，其點(diǎn)陣常數(shù)為 和4; ；3a，并且相對于正點(diǎn)陣轉(zhuǎn)動(dòng)了 30角; (b) 當(dāng)比率c/a取什么值時(shí)，正點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣的這個(gè)

10、比率有相同數(shù)值 正點(diǎn)陣的c/a比率取理想值，倒易點(diǎn)陣的這個(gè)比率又是多少？ (c) 繪出簡單六角點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)，并計(jì)算其體積. 解 (a) 選取簡單六角點(diǎn)陣的初基矢量如圖 2. 5所示. 2n/ c ?如果 a-i3 af a ?, a23 a? a y, a3 = c? 2 2 2 2 初基晶胞體積為 x 國2*5簡單陣的一齟初基光址 一3a?有a2c ? 3a 2 0 倒易點(diǎn)陣初基矢量為 2 二2 ： a?: VcVc da3 a1 - VcVc ,3a d =2 a1 a2 Vc 12 2 : 3a 2 3a 2 或?qū)憺?b府？b 4 兀 鬲云?丿b2= = 同正點(diǎn)陣初基矢量 比較看出

11、，d,b2,b3所確定的點(diǎn)陣仍是簡單六角點(diǎn)陣, 點(diǎn)陣常數(shù)為 2二；c 和 3 代匚石的對 I22丿 1 2 2丿 ai = a ,ac2? 4；5a，并相對于正點(diǎn)陣?yán)@c轉(zhuǎn)動(dòng)了 30 角（見圖2. 6）。 駕2,簡業(yè)六角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為簡單卞角點(diǎn)陣，并相対于正 點(diǎn)陣?yán)@t轉(zhuǎn)動(dòng)了 3曠角其中的曠為倒崩點(diǎn)陣的點(diǎn)陣劃敵 (b) 設(shè)倒易點(diǎn)陣的點(diǎn)陣常數(shù)比為ca”，出(a)可知 c 2 a 3 若 c a 二 c a，則有 c ： a - 3, c a 二 = 0.931 故當(dāng)正點(diǎn)陣的c a值為 時(shí)，倒易點(diǎn)陣的cla”和正點(diǎn)陣的c a有相同值。 若正點(diǎn)陣c/a= 8，則倒易點(diǎn)陣的.a為 c . a 二3 a

12、 c 二 0.53 故當(dāng)正點(diǎn)陣的c/a為理想值時(shí)，倒易點(diǎn)陣的這個(gè)比值為0.53. (c) 簡單六角點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)即倒易簡單六角點(diǎn)陣的W S晶胞顯然 為一六角正棱柱(如圖2. 7),其體積為 33 2 二 16 Vc3a2c 即倒易簡單六角點(diǎn)陣初基晶胞的體積為 16 二3 bl 2 6= 82。 2. 6底心正交點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣證明底心正交點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為底心 正交點(diǎn)陣. 證明 底心正交點(diǎn)陣的慣用晶胞如圖2. 8所示.選取初基矢量為 1 1 ai 二 a?a? b? a3 二 c? 2 2 初基晶胞體積為 abc Vc盲 倒易點(diǎn)陣基矢為 2兀112兀4兀2兀2兀 b|a2 a3 = 2 X

13、? , b2a3 印 ? b3 a1 a2? VcabVcbVcc 由圖2. 9可以看出，這組基矢所確定的仍是一底心正交點(diǎn)陣，點(diǎn)陣常數(shù)為 2,8底心正交點(diǎn)陣的一爼初壘矢議 圖2.9底心正交慮陣旳腳易點(diǎn)陣基矢 2. 7三角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣 三角點(diǎn)陣初基矢量具有相等長度 a，彼此夾角 為B,試證明三角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為三角點(diǎn)陣， 且倒易點(diǎn)陣初基矢量的長度為 2応4 -42 a 1 2cocos- a 其中X是倒易點(diǎn)陣初基矢量間的夾角，二“滿足 k -cos 0 = cos 0/ (1+cos 0 證明 三角點(diǎn)陣三個(gè)初基矢量的大小相等，且彼此夾角亦相等現(xiàn)令初基矢量為 ai =aX a2=a cost?

14、 asin 訶 比=a cos ： J? a cos !： ? a cos Z 參見圖2.10, cos,coscos 是a3在x、y、z三個(gè)方向的方向余弦。 a a =COSd cos： = cos a3 a? =COS COS T 1 -cos V 于是有 cos 二1 2 2 COS - -COS 2 2 cos V 1COS J sin2 二 圖二角點(diǎn)陣初基矢蚩的選耽 由倒易點(diǎn)陣基矢的定義可知 九b2,b3分別垂直于正點(diǎn)陣初基晶胞的 a2 -3, a3 -1, ai -2平面，且有相同長度， 0 =b2=b3=b=a a)= 3 a san cos (6) a = 1 2cos = c

15、os：(9) 代入上式得 2 *2兀a sin日 a 1 a3 sin cos a cos bi,b2,b3彼此間應(yīng)有相間夾角設(shè) bi,b2間的夾角為才, 利用公式 A B C = B C A =C A B A BC=CAB-ABC 上式化為 2 a * cos 二 a2a3a33 a?a33 ea? 3 ascos a4 s i a 4 s i in (8) 同理可以證明bi,b2,b3任意二矢量間的夾角均為此值。 為了計(jì)算a ,利用式（4）得到 cos# = 1 cos2日- 2 cos2 - 1 -cos- sin2 日 1 =1 2cos 二 cos- 代入式(7)得 2.8點(diǎn)陣平面上

16、的陣點(diǎn)密度 (a) 證明點(diǎn)陣平面上的陣點(diǎn)密度(單位面積上的陣點(diǎn)數(shù))；二dVc，這里V是 初基晶胞的體積，d是該點(diǎn)陣平面所屬的平面族中相鄰兩點(diǎn)陣平面之間的距離； (b) 證明面心立方點(diǎn)陣陣點(diǎn)密度最大的平面是 111面,體心立方點(diǎn)陣陣點(diǎn)密 度最大的平面是110面. 證明 (a) 考慮晶體點(diǎn)陣中相鄰二平行點(diǎn)陣平面所構(gòu)成的平行六面體，如圖2. 11 所示設(shè)該平行六面體中包含 n個(gè)陣點(diǎn)，它的體積為 V 二 nV。 或?qū)憺?V 二 Ad 其中A是所考慮的平行六面體底面的面積，d是它的高由以上二式得 Ad = nV。 于是點(diǎn)陣平面上的密度為 n d CT = A Vc (b) 由(a)可知，面間距d較大的點(diǎn)

17、陣平面也有較大的陣點(diǎn)密度.由倒易點(diǎn)陣 矢量與面間距d的關(guān)系 I2兀 G(hkl = d(hkl ) 可知，倒易點(diǎn)陣矢量G(hkl)越短，與之垂直的點(diǎn)陣平面(hkl)兩點(diǎn)密度也就越 大. 面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是體心立方點(diǎn)陣，其初基矢量 2 二 bi? 0-？ a 2兀 鳥？ ？ ？ a 2兀小小 d 二一 ?-? ? a 都是最短的倒易點(diǎn)陣矢量，b二a二鳥，并都在立方晶胞的111方向，故111 平面有最大的陣點(diǎn)密度. 體心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是面心立方點(diǎn)陣，其初基矢量 $ 2 ? y? a b29 Z a b3 =?- X Z 110方向，故110平面 也都是最短的倒易點(diǎn)陣矢量，并都沿立方晶胞的

18、v 是體心立方點(diǎn)陣陣點(diǎn)密度最大的平面. 2.9單斜點(diǎn)陣的面間距已知平面族(hkl)的面間距與倒易點(diǎn)陣矢量 G(hkl) 間的關(guān)系為 2兀 d(hkl 戶r |G(hklj 其中G hkl =hb1 kb2 lb3，試證明單斜點(diǎn)陣的面間距d(hkl)由下式?jīng)Q定 d2 (hkl ) sin2 P 用2 11h2 2 -3 2hl cos : -1-3 2 丿-2 其中-1, -2,-3是單斜點(diǎn)陣慣用晶胞的三個(gè)邊長，：為-1,-3間的夾角，匸=90 (參 看圖2.12) 證明： 單斜點(diǎn)陣慣用晶腦的幾何特征是 ：=90 ,亠 90 ,印=a2 = -3 初基晶胞的體積為 Vc = a? i a3 ai

19、 =aja2a3Sin 卜 (hkl)平面族的面間距為 2 d (hkl )=: |G則J 要計(jì)算d(hkl)，除了計(jì)算各倒易點(diǎn)陣基矢的長度外，還要求出它們之間的標(biāo) 量積，由倒易點(diǎn)陣基矢的定義 2 二 a?a3 2 二 a3ai_ 2 Vc a? 2 二 G是把晶胞中的原子選作基元，該基元的幾 何結(jié)構(gòu)因子 剛2 J5當(dāng)也* = G時(shí)，從務(wù)個(gè)陣點(diǎn)|誡井牛贏胞）系藥散射腔是相 也干涉的，聰在一帯晶腑 X碁元）對醴射疲掘幅的 G =為 fi G exp -iG Ti i 其中fi G二ni r eJGrd3r是第i個(gè)原子的形狀因子。試問散射波極大值的強(qiáng)度 Ig是多少？ 解 把晶體分成N個(gè)晶胞，當(dāng)衍射

20、條件滿足時(shí)，從各個(gè)晶胞而來的散射波振幅正 比于 匕 二 e血 rn r dr = je r 二 二 ni r -1 一仃 dr l i 令 r 二 rI -ri,d3r 二 d 3r i r I Ti3 -.iG l.iG r . IG r3 Ugeni r d r e e i e mrdr l,iIi 由于G I =2二n（n為整數(shù)），eGI、N，于是 I uG = N eJGri fi G i 它表明當(dāng)衍射條件丄k二G滿足時(shí)，來自各個(gè)晶胞的散射波是相長干涉的式中 fi （G ）=njr ）d3r 是基元中第i個(gè)原子的形狀因子，代表原于中各部分電子密度的散射波相互干涉 的結(jié)果對散射波總振幅的

21、貢獻(xiàn)于是我們得到 Ug = N g 其中 八 efi G i 是基元的幾何結(jié)構(gòu)因子，代表基元中各個(gè)原子的散射波互相干涉的結(jié)果對總振幅 的貢獻(xiàn). 散射波的強(qiáng)度Ig H uG| = npg，正比于基元的幾何結(jié)構(gòu)因子的平方. 2. 15體心立方結(jié)構(gòu)和面心立方結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子有時(shí)為了方便，我們把 立方晶體慣用晶胞中的原子選作基元，把體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)用簡單立方 點(diǎn)陣來描寫，求相應(yīng)的基元的幾何結(jié)構(gòu)因子.說明考慮到消光規(guī)律后，這種處 理方法得到的X-射線反射譜與直接把體心立方、面心立方考慮為布喇菲點(diǎn)陣所 得到的結(jié)果是完全一樣的. 解 (a)體心立方結(jié)構(gòu) 我們知道體心立方結(jié)構(gòu)可以直接用體心立方布喇菲點(diǎn)陣處

22、理，其倒易點(diǎn)陣是 面心立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長是4;a。相應(yīng)于這個(gè)面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣矢 量G所給出的波矢改變=G，都有勞厄衍射峰出現(xiàn).但是，為了方便，我們 常把體心立方結(jié)構(gòu)考慮為一個(gè)帶有兩點(diǎn)基元的簡單立方點(diǎn)陣，基元中兩點(diǎn)的坐標(biāo) 為* =o,2 =2 x y Z .從這個(gè)觀點(diǎn)來看，例易點(diǎn)陣仍然是簡單立方點(diǎn)陣，立 方晶胞邊長為2；a。根據(jù)衍射條件，當(dāng)厶k等于這個(gè)簡單立方倒易點(diǎn)陣的 G時(shí), 都可能有勞厄衍射的峰值.但是，既把體心立方結(jié)構(gòu)考慮為帶有基元的簡單立方 點(diǎn)陣，就必須相應(yīng)地處理基元的幾何結(jié)構(gòu)因子，計(jì)入結(jié)構(gòu)因子對散射波振幅的影 響. 由式(2. 11)知道，基元的幾何結(jié)構(gòu)因子為 g 八 exp

23、 -iG ri(1) i 其中ri是基元中第j個(gè)原子的坐標(biāo) r =xa +ya2+za3,(0Mx,yz C冋旦忌是簡單立方點(diǎn)陣的初基矢量 6 = aX, a2 = a? a3 = a? G是簡單立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣矢量 2兀 G 二一 / 丄？ I3? a 將r和G的表達(dá)式代入式 中得到 g 八 fiexp|i2二牡 y2 科（2） i- 體心立方結(jié)構(gòu)作為簡單立方點(diǎn)陣處理時(shí)，基元包含兩個(gè)全同的原子.它們的位置 是 A = 0,即 x1 = y| = z( = 0 a r2? y Z，即x2 = y2 = z2 二 12 而原子的形狀因子 將以上關(guān)系式代入式（2）小，就得到體心立方結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子

24、 G = f ：1 exp| -i l112 l i 一y 2，h 11為偶數(shù) 0,1 為 奇數(shù) 在簡單立方倒易點(diǎn)陣中，去掉那些I l3 =奇數(shù)的點(diǎn) （在這些點(diǎn)，由于從基元 中各個(gè)原子來的散射波相互抵消的結(jié)果， 使散射波的總振幅為零，于是相應(yīng)的反 射消失），剩下的正好是一個(gè)面心立方點(diǎn)陣，其立方晶胞邊長為4二汩，如圖2. 16 所示當(dāng)波矢改變厶k等于這個(gè)面心立方倒易點(diǎn)陣的 G時(shí)，才有實(shí)際上的勞厄衍 射的出現(xiàn). 由以上的分析看出，體心立方結(jié)構(gòu)可以直接用體心立方布喇菲點(diǎn)陣處理，也 可以作為帶有基元的簡單立方點(diǎn)陣處理，所得的 X-射線反射譜是完全相同的. （b）面心立方結(jié)構(gòu) 面心立方結(jié)構(gòu)可以直接用面心

25、立方布喇菲點(diǎn)陣處理，倒易點(diǎn)陣為體心立方點(diǎn) 陣，立方晶胞邊長為4;；a.與其倒易點(diǎn)陣矢量G相應(yīng)的波矢改變“k都有衍射峰 出現(xiàn)但是，為了方便，我們有時(shí)把面心立方結(jié)構(gòu)用簡單立方點(diǎn)陣處理，相應(yīng)的 基元包含四個(gè)點(diǎn)： *=。,2=（+?）3=a（?+?）, q=號(hào)（？+?）.這樣處理后, 相應(yīng)的倒易點(diǎn)陣是簡單立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長為2：a ffl氛的祀簡皚立方惆晶點(diǎn)陣中一警牡 拮構(gòu)國子為菲的點(diǎn)Oh利帀的曲 朮軒是一牛血心立方點(diǎn)癢，其立方晶胞 邊七為4 ff/a 圖S,17從尚單立方倒品點(diǎn)斡中去掙錯(cuò) 鞫因子苛琴前點(diǎn)fO 珮不的成()正婷 星一牛休心立方點(diǎn)陣，荻宜方晶肖的迫 從治占ff/fl 需要注意的是，必

26、須同時(shí)計(jì)入基元的結(jié)構(gòu)對散射波振幅的影響。計(jì)算得到面心立 方結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子為 g 二 f j exp -i二 J I3exp-i二 h I3expi二 h 丄- 4, l! ,2 全為奇數(shù), f漢T4 , I ,2全為偶數(shù), 0, h2部分為奇數(shù)部分為偶數(shù) 當(dāng)指數(shù)h,% 部分為奇數(shù)或部分為偶數(shù)時(shí)，結(jié)構(gòu)因子為零，相應(yīng)的反射消失. 在簡單立方倒易點(diǎn)陣中去掉結(jié)構(gòu)因于為零的點(diǎn)， 剩下的正好是一個(gè)體心立方 點(diǎn)陣，其立方晶胞邊長為4a，如圖2. 17所示這和把面心立方結(jié)構(gòu)直接用 面心立方布喇菲點(diǎn)陣處理所得的結(jié)果是完全一樣的. 2. 16金剛石結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子金剛石結(jié)構(gòu)的慣用晶胞是立方體，其個(gè)包 含8個(gè)相同的原

27、子把立方慣用晶胞中的8個(gè)原子取作基元，金剛石結(jié)構(gòu)可以 作為帶有基元的簡單立方點(diǎn)陣處理，試計(jì)算基元的幾何結(jié)構(gòu)因子，并證明金剛 石結(jié)構(gòu)所允許的反射是所有指數(shù)Ii,l2,l3均為奇數(shù)，或均為偶數(shù)且Ii,l2,l3=4n，這 里n是整數(shù). 解 金剛石結(jié)構(gòu)的布喇菲點(diǎn)陣是面心立方，基元包含兩個(gè)原于，位于 a * =0,2 =4 ? y z .若把金剛石結(jié)構(gòu)的立方慣用晶胞中的 8個(gè)原子選作基元， 相應(yīng)地，金剛石結(jié)構(gòu)可用帶基元的簡單立方點(diǎn)陣來描寫這 8個(gè)原于的坐標(biāo)是： 1 11 11 11 1 11 333313 1 3再、 (000)、(0 )、(0)、( 0)、()、()、()、()。把這 8 2 222

28、2244444444444 4 個(gè)原子的坐標(biāo)代入結(jié)構(gòu)因子的表達(dá)式 珂丿213)=遲知*) i 利用fi. f，計(jì)算得金剛石結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子為 :l1l2l3二f 1飛川3y 尹心 申(1肯1 432 )*3 申(31卡I卄片 誇冒1啪相$ I 23 經(jīng)整理后得 = s1s2 毋(吐13嚴(yán)f匕+“嚴(yán)斤戒七區(qū)期計(jì)帀譏駅七15) 其中s n+e?嚴(yán)七y正是在面心立方陣點(diǎn)上所放置的基元(000) (-)的結(jié)構(gòu) I4 4 4 因子。S2則正是面心立方點(diǎn)陣慣用晶胞中4個(gè)原子的幾何結(jié)構(gòu)因子(原子形狀因 子f為S!所代替)。由上結(jié)果可見，由于放置在面心立方點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上的不再是 形狀因子為f的同種原子，而是一個(gè)結(jié)

29、構(gòu)因子為S的基元，用這個(gè)基元的結(jié)構(gòu)因 子3代替原子的形狀因子f就得到金剛石結(jié)構(gòu)立方慣用晶胞 8個(gè)原子的結(jié)構(gòu)因 子。 現(xiàn)將以上結(jié)果討論如下： 當(dāng)I1.I2.I3全為偶數(shù)，且h J I3 =4n ( n為整數(shù))，q =2f,S2 =4，故 TS =8f。 當(dāng) I1.I2.I3 全為偶數(shù)，且 I1 I2 l4n 2 (n 為整數(shù))，s -0,s -4，故 g =0。 當(dāng) I1.I2. I3 全為奇數(shù)，且 s - f 1 - i ，s - 4，故I1I2I3 4 f 1 - i 當(dāng)Ii,l23部分為偶數(shù)，部分為奇數(shù)時(shí)，勺二。，故：T1M3 =0。 所以，金剛石結(jié)構(gòu)允許的反射是所有指數(shù)Ii,l2,l3均

30、為偶數(shù)且Il I2 l4 n , 或者ll,l2,l3全為奇數(shù)可以看到，由于金剛石結(jié)構(gòu)放置在 fCC點(diǎn)陣陣點(diǎn)上的不再 是同種原于，而是一個(gè)由兩個(gè)原子組成的基元，此基元中兩個(gè)原子的散射波相互 干涉的結(jié)果使f CC點(diǎn)陣所允許的反射又有一部分消失. 2. 17氯化鈉結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子 NaCI是立方晶體，把NaCI結(jié)構(gòu)立方慣用 晶胞中的原子選為基元，NaCI結(jié)構(gòu)也可以用sc點(diǎn)陣處理.試計(jì)算基元的結(jié)構(gòu)因 子g . 解 NaCI結(jié)構(gòu)的布喇菲點(diǎn)陣是fcc，基元包含一個(gè)C1 ， 位于(000)，一個(gè)Na+， 1 1 1 位于()。把這樣一個(gè)基元放置在fcc點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上，就得到NaCI結(jié)構(gòu)這 222 個(gè)由兩個(gè)離子

31、組成的基元的幾何結(jié)構(gòu)因子是 卜山旳= jn r dr = n 4ji R3 3 即等于原子中電子的數(shù)目 習(xí)題 2.1一個(gè)具有晶體點(diǎn)陣周期性的函數(shù) n x二n x a，可以用倒易點(diǎn)陣矢量 2 二 G P展為博里葉級(jí)數(shù) a i2:;Px/ ：* n x 二nPe p 其中是點(diǎn)陣周期，P是整數(shù)。 證明傅立葉系數(shù)nP是 1丿jpx/a n p = - * dxn(x e (b)證明在三維情況下，n r =7 nGeiG的逆傅立葉變換給出 G 1 nG = V dvn (r je Vc Vc 這里Vc是初基晶胞的體積。 2. 2試寫出14種布喇菲點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣，指出其中哪些點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣不再同于正 點(diǎn)陣

32、的點(diǎn)陣類型. 2. 3 (a)試證明簡單四角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為簡單四角點(diǎn)陣；試證明體心四角點(diǎn)陣 的例易點(diǎn)陣仍為體心四角點(diǎn)陣. 反之，面心正交點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣 2. 4證明體心正交點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是面心正交點(diǎn)陣. 是體心正交點(diǎn)陣. 2. 5 一個(gè)二維晶體點(diǎn)陣的初基矢量長度為ai=1.25?, a2=2.5 ?，夾角 =120 ，求 倒易點(diǎn)陣基矢和倒易點(diǎn)陣類型. 2. 6對點(diǎn)陣常數(shù)為a的二維六角點(diǎn)陣， (a) 寫出正點(diǎn)陣的初基矢量； (b) 計(jì)算倒易點(diǎn)陣的初基矢量； (c) 畫出第一、二、三布里淵區(qū)； (d) 計(jì)算第一布里淵區(qū)的體積. 2. 7倒易點(diǎn)陣矢量的一般形式可以寫為 2 Gli a2 a3J

33、a3 印 打印 a? Vc - 式中a1,a2,a3是晶體點(diǎn)陣初基矢量，vc是初基晶胞體積.對于fcc點(diǎn)陣取慣用晶胞的三個(gè)棱 為笛卡爾坐標(biāo)抽，求倒易點(diǎn)陣矢量G的一般表達(dá)式. 對下面給出的Ii,l23值，計(jì)算倒易點(diǎn)眸矢量 G的長度. h43 100 1一10 110 217 2. 8 (a)試問fcc結(jié)構(gòu)原于密度最大的平面是什么指數(shù) ？銅具有fcc結(jié)構(gòu)，試問該平面的 原子密度是多少？(b)bcc結(jié)構(gòu)原子密度最大的平面是什么指數(shù)Fe具有bcc結(jié)構(gòu)，試問該 平面的原子密度是多少 ？ 2. 9證明簡單六角點(diǎn)淬(hkl)平面的面間距是 14 h2 k2 hk l2 =T 2 2 2 d hkl 3 ac

34、 2. 10證明簡單四角點(diǎn)陣(hkl)平面的面間距是 1= h2 k2 上 d2 hkl a2c2 2. 11在X-射線輻射中所觀察到的最短波長是x= 1. 23?，試問轟擊靶的電子的動(dòng)能 應(yīng)當(dāng)是多少eV? 2. 12 試計(jì)算當(dāng)一個(gè)電子的動(dòng)能為lOkeV時(shí)相應(yīng)的波長是多少？(b)寫出300 K的熱 1 中子相應(yīng)的波長是多少(中子動(dòng)能kBT )?(c)當(dāng)所加電壓為30 kV時(shí)，X-射線白色輻射的 2 最小波長應(yīng)是多少？所可能發(fā)射出的X-射線的最短波長是多少 ？ 2. 13 一束150 eV的電于射到鎳的粉末樣品上，試求出發(fā)生反射的兩個(gè)最小的布喇格 角是多少？已知鎳為fee結(jié)構(gòu)，立方晶胞邊長3.

35、25?. 2. 14 立方晶體單胞的邊長a = 2. 62?, 已知X-射線波長 匸1.54 ?，試求相當(dāng)于 下列平面反射的布喇格角. (100), (110), (111), (200), (210)和(211) 2. 15 一個(gè)銅靶發(fā)出的 X-射線的波長 X= 1.54 ?, (a) 已知鋁具有fee結(jié)構(gòu)，從鋁的(111)面反射的布喇格角為19. 2 ，試計(jì)算鋁(111)晶面 族的面間距和鋁的點(diǎn)陣常數(shù)； (b) 巳知鋁的原子量是27 . 0，鋁的密度是2. 7X l03kg?m-3，試計(jì)算阿伏加德羅常數(shù)N0 . 2. 16 CuCI為閃鋅礦結(jié)構(gòu)，其密度匸=4.135 103kg m-3，從

36、(111)面來的反射相應(yīng) 的布喇格角是6. 5 ，試求入射X-射線波長。 2. 17如果晶體受熱膨脹，體膨脹系數(shù)為，試證明溫度每升高一度時(shí)X-射線的反射 束將轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度 tan 3 其中二是體積未膨脹時(shí)的不喇格角。 2. 18用銅的Ka1輻射(=1 . 5405?)對鋁樣品作X-射線背反射實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng) 鋁樣品的溫度升高100C時(shí)，(422)環(huán)的布喇格角改變了 0. 3 .試計(jì)算鋁的平均熱膨脹系 數(shù).已知鋁的點(diǎn)陣常數(shù)為 4. 041?. 2. 19從銅的粉末樣品得到的某 X-射線反射的布喇格角在溫度為20C時(shí)是47. 75 在1000 C時(shí)是46. 60 ，試計(jì)算銅的線膨脹系數(shù). 2.

37、20以波長為 入的X-射線沿簡單立方晶胞的Z方向入射，求證當(dāng) 乙 2I* 丨2k2 22，C0S 222 a k2 I22 k2 I2 時(shí)，衍射光線在y-z平面內(nèi).其中-2為衍射光線和z軸之間的夾角，a為晶胞邊長. 2. 21用連續(xù)X-射線沿簡單立方晶體的100方向入射，用反射球法作出波長范圍在 棗-a 3到棗-2a的衍射點(diǎn). 2. 22平面X-射線投射到一個(gè)三維簡單正交晶格上，晶格的三個(gè)主軸方向的周期分別 為a、b、c,當(dāng)入射X-射線與100方向一致時(shí)，試確定在哪些方向上出現(xiàn)衍射極大？對什么 樣的波長方可觀測到衍射極大？ 2. 23對bcc、fcc和金剛石結(jié)構(gòu)，試分別指出下列反射中哪些反射將

38、消失. (100)、(110)、(111)、(200)、(210)和(211). 2 2 2 2 2. 24證明立方晶系的粉末衍射實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的衍射線相應(yīng)的G -11 - 12 13的值如 下： Sc： l, 2, 3, 4, 5, 6, fcc: 3, 4, 8, 11, 12, bcc： 2, 4, 6, 8, 10, 12, 金剛石：3, 8 , 11, 16 , 2. 25 (a)閃鋅礦具有fcc點(diǎn)陣，基元包括一個(gè) Zn離子，一個(gè)S離子.把立方慣用晶 胞選為基元，閃鋅礦結(jié)構(gòu)也可以用 sc點(diǎn)陣處理，試求此基元的結(jié)構(gòu)因子；(b)GaSb具有閃鋅 礦結(jié)構(gòu)。設(shè)原子形狀因子fsb =2fGa，試問

39、立方晶胞的結(jié)構(gòu)因于是多少？ 2. 26 (a)CsCl為立方結(jié)構(gòu)，其中一種類型的離子位于立方晶胞角隅上，另一種離子位 于晶胞中心，試計(jì)算立方晶胞的結(jié)構(gòu)因子；(b)設(shè) 匕=3怙，試求;：100是多少?(c)試說明為 什么CsCI結(jié)構(gòu)的消光規(guī)律與 bcc結(jié)構(gòu)不同. a a a 2.27氧化亞銅具有立方結(jié)構(gòu)，氧原子位于立方晶胞中心000和晶胞角隅二 2 2 2 處，銅原子則排列在包圍中心氧原子的四面體中，即位于-a , a-, -a -a和 444444444 a a a 處(見圖2. 31).將立方晶胞中的原了選作基元，試計(jì)算兒何結(jié)均因子，并指出： 4 4 4 當(dāng)指數(shù)h,l2,l3均為奇數(shù)時(shí)，反射

40、僅決定于鋼： (b) 當(dāng)指數(shù)h,l2,l3中的兩個(gè)為偶數(shù)，一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，反射決定于氧; (c) 當(dāng)h,l2,l3中的兩個(gè)為偶數(shù)，一個(gè)為奇數(shù)時(shí)，反射消失： (d) 當(dāng)h,l2, l3均為偶數(shù)時(shí)，反射由銅和氧共同決定. 2. 28對最近鄰距離為a的二維的蜂巢形網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，試計(jì)算基元的結(jié)構(gòu)因子. 2. 29考慮一個(gè)假想的具有 sc布喇菲點(diǎn)陣的晶體，基元由三個(gè)原子ABC組成，這三 11 111 個(gè)原子的坐標(biāo)依次是：000，0，它們的形狀因子分別為fA, fB, fC，試求基元 2 2 2 2 2 的幾何結(jié)構(gòu)因子：g .如果所測量出的衍射極大值對應(yīng)于13為偶數(shù)，試求衍射線的強(qiáng)度. 圖2山1 CwO的立方用

41、磊胞 O我示氧疇于尸色喪承甜原子 a 2. 30 考慮一個(gè)雙原子鍵 ABAB . AB , AB鍵的長度是一，A、B原子的形狀因子 2 分別是fA、fB，入射X-射線束垂直于原子鍵. (a) 證明相長干涉的條件是 n，二acos，此處是衍射束和原子鍵之間的夾角； (b) 試求基元A B的幾何結(jié)構(gòu)因子，并證明，對于n為奇數(shù)，衍射束的強(qiáng)度正比于 2 2 fA - fB，對于n為偶數(shù)，衍射束的強(qiáng)度正比于fA + fB ； (C)如果f = fb，其結(jié)果如何? 2. 31 面心立方銅的單胞尺寸為0. 36nm,試計(jì)算能從密堆積面產(chǎn)生X-射線衍射的最 長波長是多少？如果X-射線的波長為0. 5nm,試問

42、從什么平面可以發(fā)生衍射？ 2. 32 二維正方點(diǎn)陣中的 6個(gè)A原于的位置如下圖所示，單胞邊長為0. 3nm.當(dāng)X- 射線的波長為0. 2nm時(shí)，試計(jì)算X-射線在水平平面內(nèi)散射的布喇格角.如果將6個(gè)原子 中每個(gè)原子對衍射束的貢獻(xiàn)加起來，試比較最低的兩個(gè)衍射級(jí)的強(qiáng)度比總多少？ A A A AAA 2. 33在上題的圖中，若在 A原子間的空隙處填入 6個(gè)B原子(見下圖)，A-A間仍為 0. 3nm,再將12個(gè)原子對衍射束的貢獻(xiàn)直接累加，對上題的兩個(gè)角度比較衍射束強(qiáng)度的大 小. (a)如果B原于和A原子的散射能力相同; (b)如果B原于的散射能力是 A原子的一半. A A A B B B A A A

43、B B B 2. 34 己知一簡單立萬晶體的原子間最近鄰距離是 0. 35nm，畫出與立方晶胞表面平 行的倒易點(diǎn)陣截面圖如果該晶體被波長為0. 25nm的X-射線照射，在圖中指出可能的入 射束和衍射束方向，并問不同類型的反射的總數(shù)目是多少？ 2. 35 體心立方結(jié)構(gòu)鐵的單胞尺寸為 0. 29nm,從(110)平面觀察到兩級(jí)中子衍射，試 計(jì)算所要求的中子的最小能量是多少？如果中子遵守麥克斯韋分布，試問什么溫度下這種中 子最多？ 2. 36 一個(gè)點(diǎn)陣間距為0. 4nm的立方晶體，共001軸固定于與X-射線入射束垂直, 入射束波長為0. 1nm,如果最初晶體固定的方位是使 (gkJJ平面產(chǎn)生衍射束，

44、試問為了使 (hhkzJ)平面產(chǎn)生衍射束晶體必須轉(zhuǎn)動(dòng)多少角度？這里 (h1k1l1) = (0 20)( h2k2l2 ) (030) (h1k1l1) = (020)(h2k2l2) = (130) 另外，如果晶體是(a)sc, (b)fcc , (c)bcc，那么在(h2k2l2)的衍射束中有無被消光的 ？ 2. 37用50 keV的輻射得到鋁晶體(點(diǎn)陣常數(shù)為0. 405nm)的背反射勞厄圖，(111)面 與入射束間的夾角是 88，試問這組平面的衍射束中所出現(xiàn)的反射級(jí)是哪些？ 假設(shè)波長比 0. 2nm更長的衍射很弱，不能被觀測到。因而可以忽略不計(jì). 2. 38面心立方晶體的單胞邊長為0.

45、5nm,試問由(110)平面產(chǎn)生的衍射束將出現(xiàn)在 什么角度上？假設(shè)衍射級(jí)為1,波長為0. 8nm. 2. 39已知X-射線一級(jí)布喇格反射的衍射束出現(xiàn)在B角為3 和9 處，X-射線的波 長為0. 1nm,試求相應(yīng)的反射平面的面間距。 2. 40 有一塊正交晶體，其單胞尺寸為a= 3? (x方向),6=2 ? (y方向)，c = 1 . 5 ? (z 方向).單胞含有一個(gè)原子，位于它的角隅上.現(xiàn)在考慮通過x軸上第一個(gè)原子，y軸上第三個(gè)原子，z軸上第二個(gè)原子的晶面 (a) 該晶面和與它平行的晶面族的密勒指數(shù)是多少？ (b) 這組晶面的面間距是多少 ？ (c) 沿z軸方向入射并在這組晶面上產(chǎn)生布喇格反

46、射的X-射線波長是多少？ (d) (c)中的入射束和衍射束間的夾角是多少？ 2. 41 一束平行的波長范圍在 =0.5L3?的連續(xù)X-射線譜，沿下圖所示方向入射到 二維蜂巢形網(wǎng)絡(luò)晶體上.試問： (a) 在圖中平面內(nèi)與入射束成120 角散射的X-射線束的波長是多少？ (b) 在該方向上可以得到多少個(gè)衍射級(jí)？它們的強(qiáng)度比如何？ 2. 42考慮到晶體的折射率n,試導(dǎo)出布喇格定律的形式.假定晶體表面平行于發(fā)生布 喇格反射的平面，計(jì)入晶體折射率n =1-5 10，試計(jì)算門-45時(shí)的改變量：；. 2. 43用銅的K a輻射( =1.54?)得到CsCI晶體的粉末相，如果測得前幾條衍射線 的布喇格角為 10

47、. 72, 15. 31, 18. 88, 20. 91, 24. 69 和 27. 24 ，試求 衍射線的指數(shù)和點(diǎn)陣常數(shù)a. 2. 44用入=1. 54?的X-射線束照射到 Ta粉末樣品上，得到的前幾條譜線的布喇格 角如下表： I . 11E) E.870 號(hào)1F B) .E2u 計(jì)算面間距d； (b) 求出每條譜線的衍射指數(shù)； (c) 從每個(gè)d值計(jì)算點(diǎn)陣常數(shù)a; (d) 畫出a對cos2二的曲線，再外推到0= 90，得到點(diǎn)陣常數(shù)最準(zhǔn)確的值，這樣一種作法 可以消除大量的系統(tǒng)誤差。 喇格角為7.3，如果NaCI晶體的密度為2.160 10kgm-3，試計(jì)算阿伏加德羅常數(shù).已 知鈉的原子量為23,氯的原子量為35. 5.(提示：在NaCl晶體邊長為d?。的立方晶胞中含 11 有個(gè)鈉原子和個(gè)氯原子). 22 2. 46 在NaCI晶體中，相鄰兩(200)平面間的距離是 2. 820?.設(shè)X-射線照射在晶面 上，當(dāng)掠射角為8 35時(shí)觀察到(200)布喇格反射，試問X-射線