(完整版)導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式與應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算知識點(diǎn)一：函數(shù)的平均變化率(1概念：函數(shù)中，如果自變量尸在心處有增量-,那么函數(shù)值y也相應(yīng)的有增量厶y=f(x 0+ x)-f(x 0)，其比值叫做函數(shù)?1從門到二+ x的平均變化率，即Av _若=二心，i I十，則平均變化率可表示為丄沃 一 -，稱為函數(shù)-從匸 到心的平均變化率。注意： 事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量 與體積增量的比值； 函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢，當(dāng)二:取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況。 止是自變量T在；處的改變量，亠而是函數(shù)值的改變量，可以是 0。函數(shù) 的平均變化率是0,并不一定說明函數(shù)沒有變化，應(yīng)取

2、丄工更小考慮。(2) 平均變化率的幾何意義3 二沁函數(shù)1的平均變化率丄 上二的幾何意義是表示連接函數(shù) 圖像上兩點(diǎn)割線的斜率。AB的斜率如圖所示，函數(shù)廠的平均變化率s i I的幾何意義是：直線事實(shí)上,作用：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率知識點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的概念：1 導(dǎo)數(shù)的定義：對函數(shù),在點(diǎn)廠二處給自變量x以增量二；，函數(shù)y相應(yīng)有增量H陽叟二向血主上/如、。若極限存在，則此極限稱為亠 在點(diǎn)&處的導(dǎo)數(shù)，記作或廠，此時(shí)也稱八在點(diǎn)巴處可導(dǎo)。廣(硏=/ =曲張+心畑廣(嗎2曲溝火即：(或 h -)注意： 增量止工可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)； 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬

3、時(shí)變化率。2導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù) 在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對于每一個(gè)1 1； ，都對 應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù) -,稱這個(gè)函數(shù)-h 為函數(shù) 1- ：1在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。注意：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)八=在二二 處的函數(shù)值，反映函數(shù)丄在：二門附近的變化情況。3 導(dǎo)數(shù)幾何意義：(1) 曲線的切線曲線上一點(diǎn)P(xo, yo)及其附近一點(diǎn)Q(x+ x,y+Ay)，經(jīng)過點(diǎn)P、Q作曲線的割線PQ 粒則有怙=sQ=A-其傾斜角為當(dāng)點(diǎn)Q(xo+Ax,yo+Ay)沿曲線無限接近于點(diǎn)P(xo，yo)，即厶x-0時(shí)，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點(diǎn)

4、P處的切線。若切線的傾斜角為二，則當(dāng) x-0時(shí)，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。gg 4 hm =掃円x(2) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)1 在點(diǎn)X。的導(dǎo)數(shù) 是曲線一)上點(diǎn))處的切線的斜率。注意： 若曲線I 在點(diǎn)-處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與-軸垂直。 、，切線與工軸正向夾角為銳角；兒，切線與二軸正向夾角為鈍角;yaj=o,切線與天軸平行。(3) 曲線的切線方程如果 J -：l在點(diǎn)廠可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)()處的切線方程為:p-yoj 二況）0-咼）4 瞬時(shí)速度：物體運(yùn)動的速度等于位移與時(shí)間的比，而非勻速直線運(yùn)動中這個(gè)比值是變化的，如何了解非勻速直線運(yùn)動中每一時(shí)刻的運(yùn)動快慢程度，我們采用瞬時(shí)速度

5、這一概念。如果物體的運(yùn)動規(guī)律滿足s=s(t)(位移公式)，那么物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v，就是物 體t至U t+ t這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng) t 0時(shí)平均速度的極限，即v= =如果把函數(shù)，看作是物體的位移公式)，導(dǎo)數(shù) 表示運(yùn)動物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速 度。規(guī)律方法指導(dǎo)1 .如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法： 作差：求出和 廠： 作商：對所求得的差作商，即八 I O注意：(1) 二 = =，式子中匕、 的值可正、可負(fù)，但丄：的值不能為零，J的值可以為零。若函數(shù)-為常數(shù)函數(shù)時(shí)，1- OAr(2) 在式子中，上與二：是相對應(yīng)的“增量”，即在九廠【時(shí)，OAx中，當(dāng)心取定值，二：取不同的數(shù)值時(shí)，函

6、數(shù)的平均Ay _ y(xr+Ax)-/M(3) 在式子-變化率不同；當(dāng)k:取定值，6取不同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的平均變化率也不一樣。2. 如何求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（1） 利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，通常用“三步法”。 計(jì)算函數(shù)的增量： 一 ：亠-；Ay _+ 求平均變化率：一；血叟=1口伽5）-應(yīng) 取極限得導(dǎo)數(shù)：一（2）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù) J在點(diǎn)厲的導(dǎo)數(shù)是-,則-表示曲線；1 1-在點(diǎn)（八i ）處的切線的斜率。 設(shè)是位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則 表示物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度； 設(shè) 是速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，貝U ； 1：-表示物體在 時(shí)刻的加速度；4.

7、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟 求出-在工處的導(dǎo)數(shù)-二； 利用直線方程的點(diǎn)斜式得切線方程為 -/|： o類型一：求函數(shù)的平均變化率01、求|在到之間的平均變化率，并求】時(shí)平均變化率的值.Ay _ y（x0 +Ax）-/faj思路點(diǎn)撥：求函數(shù)的平均變化率，要緊扣定義式 -進(jìn)行操作.舉一反三:【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2 , 2+-內(nèi)的平均變化率?！咀兪?】已知函數(shù)，分別計(jì)算廠在下列區(qū)間上的平均變化率:（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001.1一 一 = 【變式3】自由落體運(yùn)動的運(yùn)動方程為二，計(jì)算t從3s到3.1s，3.01s，3.001s各段內(nèi)的平

8、均速度（位移s的單位為m o【變式4】過曲線一上兩點(diǎn)小和1作曲線的割線，求出當(dāng)-時(shí)割線的斜率.類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)2、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)。舉一反三:【變式1】已知函數(shù)(1) 求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).(2) 求曲線上一點(diǎn)處的切線方程。【變式2】利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) ；宀；/二丄(4)3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.思路點(diǎn)撥：從函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義可求得函數(shù) y=x3+2x在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，再由導(dǎo) 數(shù)的幾何意義，得所求切線的斜率，將 x=1代入函數(shù)可得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而建立切線方程.舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過哪一點(diǎn)的切線:（1）平行于直

9、線y=4x5；（2）垂直于直線2x 6y+5=0;（3）與x軸成135的傾斜角。知識點(diǎn)三：常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）-宀 -（C為常數(shù)），-（2） ，-（ n 為有理數(shù)），（3）/（耳二取n=（4）1 /- 1 -（5）八一（8）一J知識點(diǎn)四：函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè)均可導(dǎo)（門和差的導(dǎo)數(shù)：，1. JL-1（2）積的導(dǎo)數(shù):亠 厶；：1-L-： .ZW1 = ?。ㄑ?wù)蹋┮?0）000（3）商的導(dǎo)數(shù)：；.門（：）知識點(diǎn)五：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則譏二幾玖或八嗆）3）卩匕）即復(fù)合函數(shù)對自變量工的導(dǎo)數(shù) -，等于已知函數(shù)對中間變量“的導(dǎo) 數(shù)丄，乘以中間變量）對自變量卞的導(dǎo)數(shù)。注意：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的

10、關(guān)鍵。求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不 遺漏。求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。規(guī)律方法指導(dǎo)1 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟 適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系； 分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對哪個(gè)變量求導(dǎo)）； 把中間變量代回原自變量（一般是 x ）的函數(shù)。整個(gè)過程可簡記為分解一一求導(dǎo)一一回代，熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù) 合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。類型一：利用公式及運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)尹二(3) 二廠 ；(4) y=2x3 3x2+5x+ 4(4)、=；、舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):y = -2 sin(3) y=6x34x2+

11、9x 6G 2、求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(2)y=x2sinx;舉一反三:【變式1】函數(shù).在廠處的導(dǎo)數(shù)等于()D. 4A. 1B. 2C. 32 x3 3 x+& -1【變式2】下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(門廠；，.：.；【變式3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)類型四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)3、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)1(1)(2)(1-期；7(4)y = cos(2r + 5舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(2)（門!：；(3) y=l n (x+)；(4)j (龍)=e-r (cos x + sin x)類型五：求曲線的切線方程C、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.舉一反三:【變式1】求曲線-在點(diǎn)匚處的切線的斜率，并寫出切線方程【變式2】已知.是曲線一上的兩點(diǎn)，則與直線平行的曲線1 一的 切線方程是.【變式3】已知曲線.（1）求曲線二上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線的方程；（2）第（1）小題中的切線與曲線匚是否還有其他的公共點(diǎn)?【變式4】如果