二面角的兩類常見三棱錐模型及兩種特殊求角的技巧

1、二面角的兩類常見三棱錐模型及兩種特殊求角的技巧重慶八中 陳發(fā)幫一問題的提出二面角是高中立體幾何中三類空間角中難度最大的一類，它也是歷年高考中必考的一個重要考點.由于呈現(xiàn)出這一考點的幾何情景和幾何模型千姿百態(tài)，尤其是當對應二面角的兩個半平面均不在水平位置或當二面角的平面角為鈍角時，學生把握起來較為困難.難點突出表現(xiàn)為：一是，視角識別困難，立體幾何圖形的視角不同，字母排列順序不同，會造成視角障礙，牽制學生的思維，立體幾何的大題往往設置二至三個小題，二面角的考察一般放在第二或第三個小題，在考場時間有限的情況下，當解決好前面的一至二小問后，所給的立體幾何圖形已經(jīng)被標示得“體無完膚“，這個時候，迅速識別

2、所給二面角的兩個半平面，并將注意力集中于此是相當必要的。二是，高考中二面角的平面角的作法常常有以下三種主要辦法：（1） 定義法（即在棱上取一特殊點，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別過該點作棱的垂線，所成角為二面角的平面角）（2） 垂面法（過二面角內(nèi)一點作兩個半平面的垂線，過兩垂線做平面與兩個半平面的交線所成角即為二面角的平面角）（3） 三垂線法（過二面角一面內(nèi)的一點作另一面的垂線，再過垂足作棱的垂線，利用三垂線定理就可得到二面角的平面角）但分析全國各地的高考試題，不難發(fā)現(xiàn)，對于三垂線法作二面角的平面角考查尤為頻繁，此法最困難的地方是作面的垂線時垂足的落點位置的確是關鍵）.本文正是基于上面兩點，總結高

3、考中的立體幾何解答題，歸納出兩類常見模型及兩種求二面角大小的特殊技巧，掌握和熟悉這些，可以較為很好的解決高考要求內(nèi)二面角的很多問題.二解決問題的模型 模型一 有長度相等關系的三棱錐模型要求：(1)與相似或全等(圖1)，求作二面角的平面角. 操作方法：只需過作于，再連接，由條件，可得，則為所求二面角的平面角.(2)若時，求作二面角的平面角：只需取的中點,連接.則為所求（圖2）.(3)若時，取中點，連接，再過作，交于，則為二面角的平面角.（圖3） 模型二.有垂直關系的三棱錐模型要求：若，求作二面角的平面角.（圖4）操作方法：過點作，則，再過作，連接，由三垂線定理有,則為所求二面角的平面角.同理可求

4、二面角的平面角.特殊情形1 時，易作二面角的平面角，二面角的平面角.（圖5）(此模型俗稱“三節(jié)棍模型”)特殊情形 2 兩兩垂直，求作二面角的平面角.（圖6）(此模型又俗稱“墻角模型”)注:1.模型一主要是定義法作平面角，關鍵是確定棱上的垂足.而模型二均有面面，線面垂直的條件，很容易作出面的垂線及確定垂足的位置，熟悉這些模型可有效解決前文提到的第二個難點.2.抽取出這些模型實際上都很簡單，一旦將其“藏匿”于形形色色的幾何體中，識別它們的難度就大增，總結這些模型的目的是希望熟記這些模型于心，無論它們在幾何體中處于什么位置，什么角度，都能快速的識別，這樣可有效解決前文提到的第一個難點.三模型的運用例

5、1 （05年北京.16）如圖7，在直四棱柱中，垂足為.(1) 求證：；(2) 求二面角的大?。?3) 求異面直線與所成角的大小. （1）（3）略（2）分析：有條件易知，所以，與是共底的等腰三角形，即為模型一（見圖7黑體突出部分），有條件可得為的中點，連結a1e，c1e，a1c1.可證bda1e，bdc1e，a1ec1二面角a1bdc1的平面角.（下略），針對此例題，我們：延伸兩種特殊的求二面角的技巧：技巧一，如本題圖，設二面角的大小為，二面角的大小為，二面角的大小為，則有.實際上，這里后兩個二面角的大小顯然為銳角，而且它們各有一個面為水平面，且共棱，所以學生應該是很熟悉的.本質上講，二面角用平

6、面角來刻畫大小后，其求值就是求平面角的大小，這個地方運用的技巧就是平面角的補角思想.技巧二，當然這里也可以連接，交于，則易得，那么就將我們的模型一分解成了兩個模型二，相應的二面角（平面角的大小記為）與二面角（平面角的大小記為）的之和即為二面角的大小，即.本質上來講這是一個分割的思想。不妨看下面的一個例題，就能很好的體現(xiàn)這種技巧的妙處：例2 如圖8，已知在四棱錐中，側面為邊長等于2的正三角形，底面是菱形，側面與地面所成的二面角為.(1) 求點到面的距離；(2) 求二面角的大小. 解：(1 )解：如圖8,作po平面abcd,垂足為點o, 連結ob、oa、od、ob與ad交于點e,連結pe. adp

7、b, adob , pa = pd , oa = od , 于是ob平分ad,點e為ad的中點,所以pead. 由此知peb為面pad與面abcd所成二面角的平面角. peb = 120, peo = 60. 由已知可求得pe = .po = pesin60= . 即點p到平面abcd的距離為.(2)如圖8,取pb的中點g,pc的中點f,連結eg、ag、gf,adpb, bcpb, 又由（1）可得pebc ，所以bc面pob，則面pbc面pbe，所以二面角c-pb-e的平面角的大小為.而易求得egpb，由三垂線定理可得agpb，所以age為二面角a-pb-e的平面角，所以ae=1，de=，所以

8、tanage=，所以age=.所以二面角的大小為.注：二面角的兩個半平面均非水平面，且從視角看，二面角的平面角為鈍角，直接在其一面向另一面作垂線很困難，由（1）小問的解決為之提供了思路，先找二面角的一個中間面pob，將二面角分割成兩個二面角來求.例3 如圖9，已知平面a1b1c1平行于三棱錐vabc的底面abc，等邊ab1c所在平面與底面abc垂直，且acb=90，設ac=2a，bc=a.（1）求證直線b1c1是異面直線ab1與a1c1的公垂線；（2）求點a到平面vbc的距離；（3）求二面角avbc的大小.解答：（1）（2）略.（3）面面，又，所以面，所以，即圖9中黑體突出部分為模型二，只需要過作于，又為等邊三角形，所以為的中點，且，再過點作，連接，由三垂線定理有,所以為二面角avbc的平面角.(后略)四小結本文中二面角的兩個三棱錐模型是最常見的，很多立體幾何題以此為模型進行編寫，本文試圖將求二面角的問題模型化，總結處適用于大多數(shù)情況的結構，這對于學生思維的系統(tǒng)化是非常有用的，陶興模老師在問1中提倡“在進行一個單元，一個章節(jié)的知識梳理時，要注意對典型方法，典型題型的歸納與梳理，,要知道這些典型的題型又該用怎樣的方法去求解”.“將典型問題模型化符合人們的認真規(guī)律，能夠有效地提高學生解