橢圓性質(zhì)大全(92條含證明

1、請(qǐng)下載支持!腿腿蒄肄聿莀螂羈蚄祎艿膂羂蒅 袃蚇葿蠆肁芇荿 個(gè)端點(diǎn)芅蕿蒁薅襖蕿螂 螈聿蚅蚆蚈芀羃A1).袁裊膄袈肂膃肇羇罿薁芄薆羀袂 橢圓2 2,一 X y2.標(biāo)準(zhǔn)方程一22 1a b4 .點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角.5. PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線I1. PF1PF2 2a6 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.8 .設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則 PF1F2在邊29 .橢圓x2aA2P2交點(diǎn)的軌跡方程是2yb22Xa1 ( a b 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(1.肄羆肇薀莂薅羈10.若P)(Xn yo)在橢圓螇膈莁蒂莆膈螞11.若P)(X0, yo

2、)在橢圓2Xa2XaPR3.d1PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩7.以焦點(diǎn)半徑PR為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.PF2 (或PF1)上的旁切圓，必與 A1A2所在的直線切于 A2 (或a,0) , A2(a,0),與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與2與 1上，則過(guò)Po的橢圓的切線方程是2ba2y21外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為bXoXy)yIP1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是XQxYqYa2b21.莇罿螞襖羋膀芄2X12. AB是橢圓a2 y_ b21的不平行于對(duì)稱軸的弦， M為AB的中點(diǎn)，則螁袂蚆蕆羂莄芅13.P)(Xo, yO)在橢圓肁薈

3、蚇薀薄肇薇14.P)(X0, yO)在橢圓肅螇莁螃蚅螇薃15.羇衿袃蒆袇肀蒅 16.若橢圓2PQ是橢圓務(wù) a2 X 2 a2X2a2X2a2y_b22與 1內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是b2y21內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是b1 ( ab0)上對(duì)中心張直角的弦，則11XoX2a2Xa1-2y)yb2I .a2Xo-2a2 yo b2-A2B2 ;(2)a b2L 1 b2a4A2 b4B2(a b 0)上中心張直角的弦La2A2 b2B2蟻肅羄肆袂蚅袇 17.給定橢圓G：b2X2a2y2a2b2(a b 0) , C2: b2X22 2a bM (-22 x0 ,a b芃螆蒀蒀螅蒞膆

4、(ii)對(duì)C2上任一點(diǎn)P (Xo, Yo)在C1上存在唯一的點(diǎn)2 2X y18.設(shè)P(Xq,Yq)為橢圓(或圓)C:二 2 1a bP(X0, y。),它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò)C2上一定點(diǎn)薈蝕節(jié)羅腿薀蒃在，記為k1, k 2,則直線 P1P2 通過(guò)定點(diǎn) M (mx0, my0) (m袀蝿膄螄螀羀蒂19.過(guò)橢圓線BC有定向且kBC2y12a所在直線方程為XoX-2a1YqYbr-i(r1 OP,r2 |OQ|).bAX By 1 (AB 0),則(1)2 b2( ab)2,則(i)對(duì)G上任意給定的點(diǎn)a b22ab、22 yO).abM ,使得M 的任一直角弦都經(jīng)過(guò)P點(diǎn).(a 0,. b 0)上一點(diǎn)

5、,1)的充要條件是k1P1P2為曲線C的動(dòng)弦，且弦PP1, PP2斜率存I 1 m b2 k2行評(píng)22X y2 -T 1 (a 0, b 0)上任一點(diǎn)A(xq, y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直a bM0 (常數(shù)).a Yo2X薁芄薆羀袂薂膅20 .橢圓 Pa2y-i (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為bFi, F 2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2,則橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積為SFIPF2蒄肄聿莀螂羇罿 21 .若P為橢圓b2 tan-, P( aJc- b-tan-2 CV22ytan-).C 21 ( a b 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F, F 2是焦點(diǎn),pf1F2PF2

6、F1,貝U a_C tan tan a C 2祎艿膂羂蒅腿腿 22 .橢圓22Xa2y_b2(a b 0)的焦半徑公式:MF1 | aex0,MF2 aexo ( F(c,0) , F2(c,O),M(XOlyo).葿蠆肁芇荿羈蚄23.若橢圓2Xa2y_b2(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)蒁薅襖蕿螂袃蚇、2蚅蚆蚈芀羃芅蕿24 .1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)2 2X- y- I212a bP為橢圓P,使得PFi是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).(a b 0 )上任一點(diǎn),Fi,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則2a | AF2 | IPAl膄袈肂膃肇螈聿25.橢圓IP

7、Fi | 2a2 2X- 乂 i a2 b2IAF- ,當(dāng)且僅當(dāng)A,F-,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立(ab 0)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線I : y k(x X0)對(duì)稱的充要條件是I 2 ,2 x2 -(a b )X0-2 .2. 2a b k肇薀莂薅羈袁裊莁蒂莆膈螞肄羆26.27.螞襖羋膀芄螇膈28.蚆蕆羂莄芅莇罿29.蚇薀薄肇薇螁袂X a cos2 iP是橢圓(a b 0)上一點(diǎn)，則點(diǎn) P對(duì)橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是e二y bsini Sinx2設(shè)A,B為橢圓一-a2y_ b-2 2 每 k(k 0,k1)上兩點(diǎn)，其直線 AB與橢圓-ba230.在橢圓XTa2i中，定長(zhǎng)為2m( OV ma)的弦中點(diǎn)

8、軌跡方程為 m2y_b-2(Aa1相交于P,Q ,則AP BQ.2 2 .2.2a cos b SIn過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直其中tan,當(dāng)y 0時(shí)，ay2 2、X y莁螃蚅螇薃肁薈 31 .設(shè)S為橢圓-V a bO記|AB|= I , M(X0, y)90 .i (ab0)的通徑，定長(zhǎng)線段L的兩端點(diǎn)A,B在橢圓上移動(dòng),是AB中點(diǎn)，則當(dāng)IS 時(shí)，有(XO) maa- I(C2 ab-,e-);當(dāng) IS 時(shí)，有(X)maxC 2ea22袃蒆袇肀

9、蒅肅螇3-.橢圓 一1與直線AXBy C0有公共點(diǎn)的充要條件是2 2 2 2A a B bab羄肆袂蚅袇羇衿33 .橢圓(X XO)(y y。)-i與直線 AX ByC 0有公ab-2 2 2 2A a B b(Ax02By0 C).a4b- I- ,(X0)min0.2bC-.共點(diǎn)的充要條件是2 2蒀蒀螅蒞膆蟻肅34.設(shè)橢圓x- 占 i (a b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 Fi、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，a b記 FiPF-,PFiF-, FiF-P,則有一Sn- e.Sin Sin a節(jié)羅腿薀蒃芃螆35.經(jīng)過(guò)橢圓b-X- a-y- a-b- (ab0)的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)

10、 Ai和A-的切線，與橢圓上任一點(diǎn)的切線相交于Pi和 P-,則 IRAI P-A- b-.膄螄螀羀蒂薈蝕36 .已知橢圓2y1 ( a b 0) , O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且 b21FOPF薆羀袂薂膅袀蝿則 | AB |21IOQ I237. MN2Xa21丄a是經(jīng)過(guò)橢圓b-2 ； (2) OP2+OQ2 的最小值為 b樓；(3) SOPQ的最小值是-.a ba b聿莀螂羇罿薁芄2a| MN |.38. MN是經(jīng)過(guò)橢圓a MN I12IOPI膂羂蒅腿腿蒄肄39.設(shè)橢圓丄 2 a2Xa12 y b2與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn),OP OQ . ( 1)則直線a22b (a b0)焦點(diǎn)的

11、任一弦，若AB是經(jīng)過(guò)橢圓中心 O且平行于MN的弦,2 2a b (a b 0)焦點(diǎn)的任一弦，若過(guò)橢圓中心O的半弦(abO) ,M(m,o)或(o, m)為其對(duì)稱軸上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)AiP、A2Q(A1 ,A2為對(duì)稱軸上的兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線I :設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn) F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)OP MN ,則M引一條直線肁芇荿羈蚄祎艿40.點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，貝U MF丄NF.襖蕿螂袃蚇葿蠆41.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, AU A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn),和Ag交于點(diǎn)N ,則MF丄NF.2X蚈芀羃芅蕿蒁薅 42.設(shè)橢圓方程 Ja

12、1,則斜率為k(k 0)平行弦的中點(diǎn)必在直線l : y肂膃肇螈聿蚅蚆 43.設(shè)A、B、C、D為橢圓2缶1上四點(diǎn),ab、CD所在直線的傾斜角分別為IPAPBb2 cosa2sin2PCPDI 2 2 2 2 b cosa SinP且P不在橢圓上，則2 X2 a2X莂薅羈袁裊膄袈44 .已知橢圓 a2y_by1 (ab 0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1, F 2為橢圓的焦點(diǎn),作F1、F2分別垂直I于R、S,當(dāng)2X (或mAP和AQ分別交相應(yīng)于焦AiP和A2Q交于點(diǎn)M ， A2Pkx的共軛直線y k X上,而且,直線AB與CD相交于F1PF2的外(內(nèi))角平分線為2 2 222 2 a y b X X Ca

13、(C y齊 22a y b X c,且AB為 的直徑，I為AB的共軛直徑所在的直線，I分別交直線 AC、BC于EP跑遍整個(gè)橢圓時(shí)，R、S形成的軌跡方程是 X2 y2).莆膈螞肄羆肇薀 45.設(shè)厶ABC內(nèi)接于橢圓 和F ,又D為I上一點(diǎn)，則2 X 2 a羋膀芄螇膈莁蒂46.過(guò)橢圓CD與橢圓 相切的充要條件是 D為EF的中點(diǎn).2L 1 b21(ab0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交X軸于羂莄芅莇罿螞襖47.W ,y1)是橢圓2 X 2 a2占 1 (a b 0)上任一點(diǎn)，過(guò)bb2A作一條斜率為rL的直線L,又設(shè)d是原點(diǎn)a %到直線L的距離,薄肇薇螁袂蚆蕆48 .已

14、知橢圓r1,r2分別是A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離,2x_2a2 2y AYX21 ( ab0)和一2ba則 .rr2d ab.y2b21 ), 一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則ABl =|CD| .蚅螇薃肁薈蚇薀49.已知橢圓b2X02X2ab2古1 ( ab0),a、b、是橢圓上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與X軸相交于點(diǎn)P(x0,0),袇肀蒅肅螇莁螃 50.設(shè)P點(diǎn)是橢圓2 2X y221 ( a b 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)a b,F1、F2為其焦點(diǎn)記FE,則2b21 CQS袂蚅袇羇衿袃蒆 51.設(shè)過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸上一點(diǎn)(1)PFiPF2S PFIF2b2 tan2B ( m,o)作直線

15、與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，A分別交相應(yīng)于過(guò)H點(diǎn)的直線MN : Xn于M , N兩點(diǎn)貝y MBN為橢圓長(zhǎng)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)2 2a n mb2(na)2AP 和 AQ螅蒞膆蟻肅羄肆52. L是經(jīng)過(guò)橢圓率,點(diǎn)P腿薀蒃芃螆蒀蒀L ,若 EPF253. L是橢圓篤a2X2a,則2 y b22y_b2是銳角且Sine或arcsine (當(dāng)且僅當(dāng)| PH | b時(shí)取等號(hào))1 ( a b 0)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A且與長(zhǎng)軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn),e是離心H是L與X軸的交點(diǎn)C是半焦距,螀羀蒂薈蝕節(jié)羅54. L是橢圓2 y b2離心率為e,半焦距為c,則袂薂膅袀蝿膄螄55.已知橢圓焦點(diǎn)F1連結(jié)起來(lái)，則b2共線時(shí)左邊不

16、等式取等號(hào))螂羇罿薁芄薆羀56 .設(shè)A、PBABPAa b 0)的準(zhǔn)線,是銳角且Sinab0)的準(zhǔn)線,為銳角且Sine2或RAS PAB 21 22a b XCQt .ab21 ( a b 0),直線RB2B是橢圓%aA、B是橢圓的長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)，點(diǎn)P L , e是離心率,abe或arcsine (當(dāng)且僅當(dāng)IPH | 時(shí)取等號(hào))CE、F是兩個(gè)焦點(diǎn)，H是L與X軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P L ,arcs in e2 (當(dāng)且僅當(dāng) | PH | bJO2CL通過(guò)其右焦點(diǎn)F2,且與橢圓相交于 A、C2時(shí)取等號(hào))B兩點(diǎn)，將A、2 2 2(a 2)(當(dāng)且僅當(dāng)AB丄X軸時(shí)右邊不等式取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng) a2y21 ( a b 0

17、)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，b2ab CQS e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1)PA 一2一.(2) tan tana CCQS2 X 蒅腿腿蔻肄聿莀 57.設(shè)A、B是橢圓a2y1 ( ab 0) b坐標(biāo)XA XB a , (1)若過(guò)A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于交于 P、Q 兩點(diǎn)，貝U PAB QAB 180q.2X荿羈蚄祎艿膂羂58 .設(shè)A、B是橢圓 一2a引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，的橫坐標(biāo)XA、XB滿足XA XB a ；2B的橫坐標(biāo)滿足XA XB a .長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點(diǎn))P、Q 兩點(diǎn)，貝U PBA QBA、外部的兩點(diǎn)，且螂袃蚇葿蠆肁芇59.設(shè)A,A是橢圓2X2a

18、EPF ,EPFB與橢圓左F1、B三點(diǎn)PAB21 e .(3)XA、XB的橫(2)若過(guò)B引直線與這橢圓相2X是雙曲線ab22X 60 .過(guò)橢圓a2 28ab2 (ai AB i i CD i a ba羃芅蕿蒁薅襖蕿2y_b2(若(2)1 ( a b0)長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點(diǎn)),外部的兩點(diǎn)，(1)若過(guò)A點(diǎn)B P交橢圓于兩點(diǎn)，貝UP、Q不關(guān)于X軸對(duì)稱)，若過(guò)B點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且且 PBA QBA ,則點(diǎn) A、BPAB QAB 180q,則點(diǎn) A、2b 1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，QQ是與AA垂直的弦，則直線AQ與AQ的交點(diǎn)P的軌跡2-y21( a b 0)的左焦點(diǎn)F作互相垂直的兩

19、條弦AB、CD則b2b2)肇螈聿蚅蚆蚈芀61 .到橢圓a C1 ( a b 0)兩焦點(diǎn)的距離之比等于(C為半焦距)的動(dòng)點(diǎn) M的軌跡是姊妹圓b(X a)22 ,2y b .2 X 2 ab 2 y .e2X羈袁裊膄袈肂膃62.到橢圓a C1 ( ab0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于-b(C為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓(X a)2螞肄羆肇薀莂薅 63.到橢圓$a2a 2姊妹圓(X )2e2y_b2b、2y(Te21 ( a b 0)的兩準(zhǔn)線和X軸的交點(diǎn)的距離之比為(C為半焦距) b的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是(e為離心率).P是橢圓冷a22 2則Q點(diǎn)的軌跡方程是 篤 b44-a a芄螇膈莁蒂莆膈 64.已知2

20、b 1( abO)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A*是它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),且AQ1.AP, AQ AP ,芅莇罿螞襖羋膀65.橢圓的一條直徑(過(guò)中心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和長(zhǎng)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng)、X2 y2薇螁袂蚆蕆羂莄 66.設(shè)橢圓P P 1a b(a b 0)長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為 A,A,P(x1,yJ是橢圓上的點(diǎn)過(guò)P作斜率為 孚的直線l ,2a y1過(guò)代A分別作垂直于長(zhǎng)軸的直線交X2 y2薃肁薈蚇薀薄肇 67.已知橢圓P 2-a bB兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BC /x軸，則直線2 2OA、OB 是橢圓(Xy2 1b2 2 l于M,M ,則(1) | AM | AM | b . (2)四邊形 M

21、AAM面積的最小值是 2ab.1 ( ab0)的右準(zhǔn)線I與X軸相交于點(diǎn)E ,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).蒅肅螇莁螃蚅螇68.a2(a0,b0)的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則(1)直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)ab2八O) .(2)以 0 A、22ab 22 ab 2OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是(X二2) y (二2) (Xa ba b0).袇羇衿袃蒆袇肀69.經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)膆蟻肅羄肆袂蚅蒃芃螆蒀蒀螅蒞L同側(cè)L異側(cè)蒂薈蝕節(jié)羅腿薀2y云1 (a b 0)上一個(gè)定點(diǎn)，P A、P B是互相垂直的弦，則(1)直線 b2a2)22,22 ) . (2)以P A、P B

22、為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是a ba bab2 a2m、2/b2n、2 a2b4 n2(a2 b2)口2)(y F)2 壬 (X m且 y n).a ba b(a b )如果一個(gè)橢圓短半軸長(zhǎng)為b,焦點(diǎn)F1、F2到直線L的距離分別為d1、d2,那么(1) d1d22直線L和橢圓相切.(2) d1d2 b ,且F1、F2在L同側(cè) 直線L和橢圓相離，(3) d1d2直線L和橢圓相交.2 271. AB 是橢圓 x7-y21a bP(m, n)是橢圓(X ；) a2ab2 m(a2 b2) n(b2(AB必(X70.(a b 0)的長(zhǎng)軸,N是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) N的切線與過(guò)A、B兩點(diǎn)，則梯形A

23、BDC的對(duì)角線的交點(diǎn)2的軌跡方程是令a4 1(y 0).b2_ .X膅袀蝿膄螄螀羀P(,y)為橢圓a2y21 ( a b 0)b2的內(nèi)部一定點(diǎn)，AB是橢圓一弦，當(dāng)弦AB平行(或重合)于橢圓長(zhǎng)軸所在直線時(shí)(IPAl| PB |)max2 2 Z 22a b (a y2Xab22)b2b2 ,且 F1、F 2 在2b ,或 F1、F2 在的切線交于C、Dy 宀1過(guò)定點(diǎn)P(x0, y0)的任 b2)當(dāng)弦AB垂直于長(zhǎng)軸所在22 Z 2 2 .2 2a b (a yb X0 )2 a罿薁芄薆羀袂薂73.橢圓焦三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切直線時(shí)，(| PA| | PB|)mi

24、n腿蒄肄聿莀螂羇 蚄祎艿膂羂蒅腿 蚇葿蠆肁芇荿羈 蕿蒁薅襖蕿螂袃74.75.76.77.橢圓焦三角形的旁切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長(zhǎng)軸端點(diǎn)橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長(zhǎng)為定值a+c與a-c.橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值a-c.橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù))e(離心率).(注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn) 聿蚅蚆蚈芀羃芅 裊膄袈肂膃肇螈 羆肇薀莂薅羈袁 膈莁蒂莆膈螞肄 罿螞襖羋膀芄螇平行袂蚆蕆羂莄芅莇 薈蚇薀薄肇薇螁78.79.80.81 .橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中

25、橢圓焦三角形中82.橢圓焦三角形中83. 橢圓焦三角形中84. 橢圓焦三角形中為直徑的圓的切點(diǎn) 螇莁螃蚅螇薃肁 衿袃蒆袇肀蒅肅 肅羄肆袂蚅袇羇 螆蒀蒀螅蒞膆蟻85.86.87.88.蝕節(jié)羅膇薀蒃芃89.橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中2 已知橢圓Xya,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例 半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例 ,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在

26、直線,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線 ,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng),垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長(zhǎng)軸,非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長(zhǎng)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值,非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線.,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線.,過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處的切線相交2占1(a0,b0)(包括圓在內(nèi))上有一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)e.線，與X軸于M ,N ,與y軸交于R,Q .,O為原點(diǎn)，則：90.過(guò)平面上的P點(diǎn)作直線I1 : y X及I2 : ya2x_2a蝿膄螄螀羀蒂薈|OM |22 2IoNl 2a ,則P的

27、軌跡方程是b21(a0,b0).芄薆羀袂薂膅袀291點(diǎn)P為橢圓務(wù)ab2交y軸、X軸于M , N ,交直線y肄聿莀螂羇罿薁,則以兩交點(diǎn)為直徑的圓必過(guò)兩焦點(diǎn) b一b”十/一 X的平行 a2b2.P分別作直線y X及ya2 2 22a ； (2) |OQ| |OR|2 2(1) |OM | |ON |-X的平行線，分別交 X軸于M , N ,交y軸于 aR,Q .( 1)若2 2 21(a0,b0) .(2)若OQ |OR| 2b ,則P的軌跡方程是1(a 0,b 0)(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過(guò)P引X軸、y軸的平行線,K-X于QIR ,記 OMQ與 ONR的面積為S,S?,則：S S

28、?a92點(diǎn)P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò) P引X軸、y軸的平行線，交 y軸、X軸于M,N ,交直線yab2 b十-X于Q,R,aabx2記 OMQ與 ONR的面積為S1,S2 ,已知S1 S2,則P的軌跡方程是 2a2 1(a 0,b O).艿膂羂蒅腿腿蒄蠆肁芇荿羈蚄祎1.橢圓第一定義。2.由定義即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。3.橢圓第二定義。薅襖蕿螂袃蚇葿 4.如圖，設(shè)P(X0,y),切線PT (即I)的斜率為k, PF1所在直線1斜率為k1, PF2所在直線2斜率為k2。請(qǐng)下載支持!蚆蚈芀羃芅蕿蒁4圖5圖k k袈肂膃肇螈聿蚅由兩直線夾角公式 tan 2得：1 k1k2Q ,0,同理可證其它情況。故切線 PT

29、平分點(diǎn)P處的外角。2薀莂薅羈袁裊膄蒂莆膈螞肄羆肇5.如圖，延長(zhǎng)FiP至A,使PA=PF2 ,貝U PAF2是等腰三角形，AF2中點(diǎn)即為射影 H2。貝U OH 2 -FLA a ,同理2可得OHi a,所以射影Hi, H2的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓除去兩端點(diǎn)。襖羋膀芄螇膈莁6.設(shè)P, Q兩點(diǎn)到與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離分別為d1,d2 ,以PQ中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 d ,以PQ為直徑的圓的半徑為r,則dd1 d2 PF FQ22err ,故以PQ為直徑的圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離。e蕆羂莄芅莇罿螞7圖請(qǐng)下載支持!2薀薄肇薇螁袂蚆7.如圖,螃蚅螇薃肁薈蚇8.如圖,蒆袇肀蒅肅螇莁而FT肆9.易知A1a,0兩圓圓心距為

30、由切線長(zhǎng)定理:袂A a,0 ,設(shè)Ra C F1A2蒀螅蒞膆蟻肅羄羅腿薀蒃芃螆蒀OMPF122a PF22PF22a r ,故兩圓內(nèi)切。FS FTT與A重合,o, yo , P2Xo,PF1PF2 F1F2 2a 2c, F1S故旁切圓與 X軸切于右頂點(diǎn)，同理可證yo ,FTaCP在其他位置情況。2X1o Q R)(Xo, yo)在橢圓 一2 a2y_b21上2Xo2 a切線方程為y y0b Xo Xa yoXo2 yo b2YoYb22 yo b22Xo2 a1 AIR : yyoaXo,A2 F2 :yoXo2 X2 a2yob22 y_ b21求導(dǎo)得:2yyb2b2o2-a Yo螄螀羀蒂薈

31、蝕節(jié)11.設(shè)PX1,Y1,P2X2,y2 ，由10得Xo X1: 2Iyo Y1I 2ab足方程弩豊1,所以PP2:XQX2yoyI 21abab22 2羀袂薂膅袀蝿膄12.設(shè)AX1,y1,BX2,y2,MXo, Yo則有x1 y12 I 2a b莀螂羇罿薁芄薆13.由 12可得:yYobl2X X Xo2a yoyaYo羂蒅腿腿蒄肄聿14.由12可得:b2222 ay a yoy ayyo yXXoXb2x2 b2x0x 0彳 XoX21, ayoyb221 ,因?yàn)辄c(diǎn)P,P2在直線PP2上，且同時(shí)滿222 2 2 2I X2l, 2止21 作差得：X1 2x2 y1 2y2 0abab2 2

32、 I2I 22Ca yobXoXb Xo0芇荿羈蚄祎艿膂 15.設(shè) P acost,bsint ,Q acost,bsint ,則 kOP kcQbsi nt bsi nta cost a cost1 tant tanta2請(qǐng)下載支持!2蕿螂袃蚇葿蠆肁 16.將直線AB代入橢圓方程中得:A2a2 B2b2 X2 2Aa2x a2 1 B2b24a2B2b2 A2a2芀羃芅蕿蒁薅襖B2b2 1 ,AB2ab.A2 B2B2b2A2a2X A2a2B2b2膃肇螈聿蚅蚆蚈 設(shè) A x1, y1 , B x2, y2則 x1 X22 Aa2B2b2 ,X1X2a2 1 B2b2A2a2 B2b2薅羈袁

33、裊膄袈肂 17.設(shè)橢圓內(nèi)直角弦AB的方程為：y即 y kx mkn。b2 1 A2a2B2b2QoA OB膈螞肄羆肇薀莂當(dāng)斜率k存在時(shí)，代入橢圓 C1方程中得:a2k2b22 2 2X 2a k m kn Xaknb2膀芄螇膈莁蒂莆 設(shè) A x1, y1 ,B x2, y2 得x1 x22a2k m kna2k2 b2,X1X2a2k2 b2UlII IUU莄芅莇罿螞襖羋 則 PA PBxoX1Xo X2YoY1YoY2肇薇螁袂蚆蕆羂即直線AB過(guò)定點(diǎn)a2 b2b2 a22 2Xo, 22 Yo ，此點(diǎn)在C2上。當(dāng)直線斜率不存在時(shí),a ba b直線AB也過(guò)C2上的定點(diǎn)。螇薃肁薈蚇薀薄由上可知C1

34、和C2上點(diǎn)由此建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即證。肀蒅肅螇莁螃蚅 18.必要性：設(shè) P1P2: y myoX mx。k存在時(shí)，代入橢圓方程中得:蚅袇羇衿袃蒆袇設(shè) R x1, y1,P2 X2,y2 得 X1X22a2km yo kxoa2k2 b2X1X2a2m2 yo kXo2 a2b2b2蒞膆蟻肅羄肆袂k不存在時(shí)，P1P2： x=mo 則 yb 2F2一a m Xo , a薀蒃芃螆蒀蒀螅必要性得證。羀蒂薈蝕節(jié)羅膇充分性：設(shè)P1P2過(guò)定點(diǎn)q, PP1P2: y kx Pkq。代入橢圓方程得:薂膅袀蝿膄螄螀 設(shè) R x1, y1,pX2，y22a2k P kqa2 P kq 2x1x22 2a b

35、2 22a k b羇罿薁芄薆羀袂 則 k1 k2y1 yoy2yo22k x1x2 k p kq yo x1 x2P kq yoX1XoX2XoX1X2X0 X1X22Xo腿腿蒄肄聿莀螂注意到m1,解(1) (3)得Pmyo,q mx ,代入（2）式,成立。羈蚄祎艿膂羂蒅驗(yàn)證k不存在的情況，也得到此結(jié)論。故 I過(guò)定點(diǎn) mX）, myo,充分性得證。袃蚇葿蠆肁芇荿 19.設(shè) AB : y yo kX xo即y kx yo kxo芅蕿蒁薅襖蕿螂 20.由余弦定理:PF1PF22 PF1 PF2 CoS22cPF12 4c22 PF1cos 1螈聿蚅蚆蚈芀羃21. 由 34:生上 口Sin Sin

36、Sin Sin SinSina c IeSin Sin Sin Sin Sin Sin請(qǐng)下載支持!蟻肅羄肆袂蚅袇27圖袁裊膄袈肂膃肇22.由第二定義得:MF1 e X0a ex0, MF2X a ex3肄羆肇薀莂薅羈23.PFdPF2PF1e PF2 e PF1ex0 e aexoXo蚇薀薄肇kx0 ，則螇膈莁蒂莆膈螞24.在 APF2中，有 PF2AF2PAPF2AF2莇罿螞襖羋膀芄25.設(shè)橢圓上的點(diǎn)A x1,y1,BX2,y2關(guān)于I:ykx m對(duì)稱，MIIo, y。螁袂蚆蕆羂莄芅由12得：k AB.2b X01k2 a yo2 aIkx0mIXo2a m2 ,yoC k.2 b m2 a

37、y。k.2b Xo.2b Xo2 C2mb2m2a2 b2k24 2C k22a mc4k22X04Cab2k2肅螇莁螃蚅螇薃羇衿袃蒆袇肀蒅a2 b2 2a2 b2k226. 由 5即可得證。27.設(shè) P a cos ,bs in則切線CoSSinC Sin請(qǐng)下載支持!30圖芃螆蒀蒀螅蒞膆 28.設(shè) P a cos ,bsin,由射影定理有:b2 Sin2C a COS C a cos2 2 2C a cos2 2 2 2、XVXy薈蝕節(jié)羅腿薀蒃 29.設(shè) C1 :21,C21-T2a ba bk k 1 ,AB l : AX By C0。聯(lián)立G,I得:A2a2袀蝿膄螄螀羀蒂B2b2X22Aa

38、2Cx a2C2 a2b2B20，由韋達(dá)定理:XAXB22Aa C22 Z 2A a B b薁芄薆羀袂薂A21/ A2AP BQ=JI2 XAXPJ1 D2XBXQVBV B蒄肄聿莀螂羇罿而 XAXP) XBXQ的符號(hào)一定相反，故XAXPXPXQ2 Aa 2CA2 a2 B2b2祎艿膂羂蒅腿腿30.設(shè) A a cos ,bsinABcoscos2 b2蒁薅襖蕿螂袃蚇而 X0a cosa cos蚅蚆蚈芀羃芅蕿設(shè)Asin2 IB2膅同理XBXQXBXQ =XAXBXP XQ =Oo 所以 AP=BQ,B a cos ,bs inM X0,y0為AB中點(diǎn)。SinSin24a2si n2a cosco

39、s2.2 rtrt 2Sin,則 X022 2膄袈肂膃肇螈聿解得 A 1x 耳 ，Ba2b2肇薀莂薅羈袁裊 令tanbx得:sin2bsin4b2cos.2 Sin 24m2bsi n,yobsincos2ay。2 2IYc1 2 I 2a ba2 1 A 1 B ,y2 b2 1 A B,m2a2AB b2A 1 B2X2y02 2a y b2.2 2b Xq2 a2.22222ab0.YqXqyo2I 22I 2abab2 ,代入m2得：m21X。 y2 .2a b22 2 2 a b tan2 2tan 1 tan 1y。b22 2 a cosb2sin莁蒂莆膈螞肄羆 所以定長(zhǎng)為2m (

40、 OV ma)的弦中點(diǎn)軌跡方程為2X 2 2 .2.2o) a cos b Sin 。螞襖羋膀芄螇膈其中tan90o。蚆蕆羂莄芅莇罿31.設(shè)Aa cos ,bsin,B acos ,bsinx0, y0為AB中點(diǎn)。則:蚇薀薄肇薇螁袂二次函數(shù)y=e22-mx+a2 與y -在0,a內(nèi)的交點(diǎn)即為4XO的值。由圖易知y=e2x2-mx+a2 與 y-的左交點(diǎn)為4XO的值。當(dāng)m增大時(shí)，Xo減小。要使xo最大，則要使 m最小。2Xoc2 COS22cos莁螃蚅螇薃肁薈2cx0，此時(shí)等號(hào)成立時(shí)2cos -2xOmaxx0maxC31圖35圖2 2 2y ex mx al22 2e 0max2c0m axl

41、_2a le 2e丄2e蒀蒀螅蒞膆蟻肅當(dāng)X0maxa le 2ea2lC 2eC時(shí)：l2節(jié)羅腿薀蒃芃螆當(dāng)X0maxC時(shí)：l2b2 =當(dāng)l4a22b2 =通徑4 ce al 2 a cea2b2斗2 al時(shí) x0maxC , x0max。aC2e4ex0maxax0max1 ,即AB垂直于X軸時(shí)xo最大。膄螄螀羀蒂薈蝕當(dāng)x0maxC時(shí)，當(dāng)COS2 -2薆羀袂薂膅袀蝿考慮到對(duì)稱性x0min0對(duì)任意情況均成立。聿莀螂羇罿薁芄xOminl2eXOmaXc,l空，AB過(guò)焦點(diǎn),a2CQS2xoC膂羂蒅腿腿蒄肄32.AX肁芇荿羈蚄祎艿33.b2襖蕿螂袃蚇葿蠆當(dāng)X0蚈芀羃芅蕿蒁薅肂膃肇螈聿蚅蚆莂薅羈袁裊膄袈莆膈螞肄羆肇薀羋膀芄螇膈莁蒂xOmaxBy2X X0AX By CIUUOPUlJLrOQ薄肇薇螁袂蚆蕆2b Mb2 XOmaXc,1y 0時(shí)，即為34.由正弦定理得35.設(shè) P a CQS由此可得：yP36. (1)(2)由同15.32:Sin,bsinSin15,36 (3):2b2ABX軸，CQS2 -2A2 a2B2b22 22a ACX aC2B2b22a CQS CQS37.設(shè) MFX2y。a2b2