仿射變換在初等幾何解題中的應(yīng)用

1、 仿射變換在初等幾何解題中的應(yīng)用 摘 要： 仿射變換，即平行投影變換，是幾何學(xué)中的一個(gè)重要變換，是從運(yùn)動(dòng) 變換過(guò)渡到射影變換的橋梁 . 本文將從仿射變換的有關(guān)概念入手，了解仿射幾何所研 究的幾何通過(guò)仿射變換的不變性質(zhì)和不變的數(shù)量關(guān)系以及經(jīng)過(guò)變形后的形狀和位置 關(guān)系，并討論仿射變換在初等幾何中的一些應(yīng)用 . 關(guān)鍵詞： 仿射變換；仿射不變性；初等幾何 Abstract: Affine transformation,?namely?parallel?projection,?is?an?important?transformati on in geometry. It?is?the?bridge?fr

2、om?the?motion?converting?to?the?projective?transforma tion. This article will start?with?the?concept?of?affine?transform, to understand the?geometry?of?affine geometry research?by?affine?transformation?invariant?properties?and?constant?rela tionship?between the number after the deformed shape and po

3、sitional relationship, and discussed some applications of affine?transformation?in?elementary?geometry. Key words：affine transformation ；affine invariance ；elementary geometry 1 仿射變換的基本概念及相關(guān)性質(zhì) 1.1 仿射變換的概念 定義1.1設(shè)同一平面內(nèi)有n條直線ai,a2,a3，an,Ti,T2,T3， 順次表示ai到a2 , a2到a3, an 1到an的透視仿射，經(jīng)過(guò)這一串平行射影，使 4上的 點(diǎn)與an上的點(diǎn)建立

4、了一一對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為a1到an的仿射或仿射變換如圖1-1. T=Tn 1 Tn 2 T2 T1，T稱(chēng)為T(mén)1，T2，T3，Tn 1按這個(gè)順序的乘積. T（A）= Tni Tn 2T2 Ti（A）= Tni2T2（A）=- = An , T（B） = Bn等 圖1-1 定義1.2 設(shè)A , B , C為共線三點(diǎn)，這三點(diǎn)的簡(jiǎn)比 ABC定義為下述有向線段 的比： 其中AC , BC是有向線段AC , BC的代數(shù)長(zhǎng)，A , B叫基點(diǎn)，C叫分點(diǎn) 當(dāng)C在A，B之間時(shí)，ABC 0； 當(dāng)C與A重合時(shí)，ABC =0； 當(dāng)C與B重合時(shí)，ABC不存在. 1.2 仿射變換的性質(zhì) （1）仿射變換保持同素性：即仿射變換將點(diǎn)變成

5、點(diǎn)，直線變成直線； （2）仿射變換保持結(jié)合性：即仿射變換保持點(diǎn)與直線的結(jié)合關(guān)系； （3） 仿射變換將向量變成向量，且保持向量的線性關(guān)系u v. 定理1兩條平行直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l平行直線 . 推論1兩條相交直線經(jīng)仿射變換后仍變成兩相交直線. 推論2共點(diǎn)的直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)楣颤c(diǎn)直線. 定理2兩條平行線段之比是仿射不變量. 推論一直線上兩線段之比是仿射不變量. 定理3兩封閉圖形（如三角形、平行四邊形、橢圓等）面積之比是仿射不變量 2仿射變換與初等幾何的相關(guān)聯(lián)系 從總體上看，高等幾何對(duì)初等幾何具有多方面的指導(dǎo)意義.在此,筆者擇要闡述 兩種，以此說(shuō)明高等幾何對(duì)初等幾何普遍指導(dǎo)意義2. 一是學(xué)

6、習(xí)高等幾何能深化對(duì)初等幾何的認(rèn)識(shí)和理解.幾何學(xué)是一種研究在相應(yīng) 的變換群下圖形保持不變的質(zhì)和量的科學(xué)，射影群、仿射群、正交群所對(duì)應(yīng)的是射影 幾何、仿射幾何、歐氏幾何，根據(jù)普遍性包含于特殊性的原理可知，射影幾何包含于仿射幾何包含于歐氏幾何，這其中，射影幾何內(nèi)容最少，歐氏幾何內(nèi)容最豐富不同的 幾何課程在內(nèi)容上的側(cè)重點(diǎn)不同，解析幾何主要研究圖形的性質(zhì)，將空間幾何結(jié)構(gòu)代 數(shù)化是其本質(zhì)特征；歐氏幾何主要研究整個(gè)空間的幾何結(jié)構(gòu)，它利用圖形的直觀形象 啟發(fā)人類(lèi)的想象思維，從而促使人們不斷探索發(fā)現(xiàn)圖形間的關(guān)系與性質(zhì)；高等幾何尤 其是其中的射影幾何則包含、融合了上述兩者的內(nèi)容 也就是說(shuō)，學(xué)習(xí)高等幾何能使 我們站

7、得更高一些，看得更遠(yuǎn)一些，能進(jìn)一步認(rèn)清幾種幾何學(xué)間的關(guān)系，進(jìn)一步開(kāi)闊 幾何學(xué)的視野，從而更好地理解和把握初等幾何的本質(zhì)和精髓 二是學(xué)習(xí)高等幾何能有效擴(kuò)充初等幾何的研究方法 從實(shí)用主義的角度看，數(shù)學(xué) 與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生或中學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)好高等幾何，一方面可擴(kuò)展幾何學(xué)的認(rèn)知 范疇,在更高的水準(zhǔn)上搞好教學(xué)工作，另一方面可用高等幾何的理念和觀點(diǎn)來(lái)指導(dǎo)和 反思初等幾何的教學(xué)內(nèi)容與研究方法，從而不斷改進(jìn)初等幾何的教學(xué)方式，優(yōu)化其研 究手段和教學(xué)模式，切實(shí)提高中學(xué)幾何的教學(xué)質(zhì)量 3仿射變換在初等幾何解題中的應(yīng)用 根據(jù)仿射變換的性質(zhì)可知，通過(guò)特殊仿射變換可將某些一般圖形變?yōu)樘厥鈭D形， 如可將任何三角形變成正三

8、角形，平行四邊形變?yōu)檎叫位蜷L(zhǎng)方形，梯形變?yōu)榈妊?梯形或直角梯形.因此，對(duì)于一個(gè)僅涉及仿射性質(zhì)的初等幾何命題，如果能證明它在 特殊圖形中成立，則在仿射變換下，這個(gè)命題對(duì)于相應(yīng)地一般圖形也應(yīng)成立 利用仿射變換可以解決許多初等幾何問(wèn)題，下面給出它在以下幾個(gè)方面的應(yīng)用 3.1 平行投影 平行投影是仿射變換中最基本、最簡(jiǎn)單的一類(lèi)因此平行投影變換具有仿射變 換中的一切性質(zhì).解這類(lèi)題的關(guān)鍵是選定平行投影方向， 應(yīng)用平行線段之比是仿射不 變量. 例3.1 P是ABC內(nèi)任一點(diǎn)，連結(jié)AP、BP、CP并延長(zhǎng)分別交對(duì)邊于D、E、 PD PE PF F .求證：1 . AD BE CF 圖3-1 證明如圖3-1，分別

9、沿AB 換保簡(jiǎn)單比不變得：他旦D AD BD 和AC方向作平行投影.P P、P P由仿射變 叱，所以上D旦巴， DCAD BC 同理PE BE PCPF BP BC ， CF BC， 所以卩。 AD PEPFPPPCBP1 BECFBCBCBC 例3.2 直線截三角形的邊或其延長(zhǎng)線，所得的頂點(diǎn)到分點(diǎn)和分點(diǎn)到頂點(diǎn)的有 向線段的比的乘積等于-1,其逆也真.（梅涅勞斯定理）3 分析 如圖3-2，本題要求證明當(dāng)L、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，昱空空 1 。 LC MA NB 其逆命題亦成立. （1） （ 2） 圖3-2 證明 （1）證明梅涅勞斯定理成立 由于要證明的三條線段分別處在三條直線上，不便于問(wèn)題的證明，

10、為此應(yīng)用平 行投影將其集中到一條直線上，自然采用原三角形的一邊最簡(jiǎn)便. 如圖3-2 （1），以MN為投影方向，將A、N、M點(diǎn)平行投影到直線BC上的A、 L、L點(diǎn)，則BL空空里旦竺 1.即原命題成立. LC MA NB LC LA LB （2）證明逆命題成立，即： 當(dāng)BC、CA、AB上三點(diǎn)L、M、N滿足強(qiáng)如 1時(shí)，則L、M、N三點(diǎn) LC MA NB 共線. 設(shè)直線MN交BC于L，如圖3-2,由已知條件知，AN， LC MA NB 所以L與L重合，故L、M、N三點(diǎn)共線. 3.2三角形的仿射等價(jià)性 任一三角形可以經(jīng)過(guò)平行投影變成正三角形.因此，如果我們要證明一個(gè)有關(guān) 三角形的命題，只要這個(gè)命題的條件

11、和結(jié)論都是圖形的仿射性質(zhì)，那么只要證明命 題對(duì)正三角形成立，便可斷言命題對(duì)任意三角形也成立.而正三角形是最特殊的三角 形，它有很多特殊的性質(zhì)可以利用，證明起來(lái)要容易得多 . 例3.3 在 ABC的中線AD上任取一點(diǎn)P，連接BP、CP，并延長(zhǎng)BP交AC于E， 延長(zhǎng)CP交AB于F，求證：EF / BC . 圖3-3 證明 如圖3-3，作仿射變換T,使得ABC對(duì)應(yīng)正ABC，由仿射性質(zhì)可知， 點(diǎn)D、P、E、F相應(yīng)地對(duì)應(yīng)D、P、E、F，且AD為正ABC的中線。 在正 ABC中AD也是BC邊上的高，且B、P、E與C、P、F關(guān)于AD對(duì) 稱(chēng)，E、F到BC的距離相等，則EF / BC， 由于平行性是仿射不變性，

12、因此，在ABC中EF / BC. 3.3四邊形仿射性質(zhì)的應(yīng)用 331證明有關(guān)平行四邊形仿射性質(zhì)的實(shí)例 任一平行四邊形均可以經(jīng)過(guò)特殊平行投影變成正方形，因此，若想證明一個(gè)有 關(guān)平行四邊形的命題，只要這個(gè)命題的條件和結(jié)論都是圖形的仿射性質(zhì)，那么只要 證明相應(yīng)命題對(duì)正方形成立即可. 例3.4 平行四邊形ABCD的一組鄰邊上有點(diǎn)E，F(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)，且EF / AC.求證： AED和 CDF面積相等. 圖3-4 證明 作仿射變換，使平行四邊形ABCD對(duì)應(yīng)正方形A BCD，則有E對(duì)應(yīng)E，F(xiàn) 對(duì)應(yīng)F，如圖3-4， 在正方形 ABCD中，由EF / AC，故旦旦 旦匚 旦匚， AB BC A C 因?yàn)锳B BC，所

13、以BE BF，故AE CF， AE CF 因 DAB DCB 90，所以 AED CDF ， AB BC 又由于兩個(gè)多邊形面積之比為仿射不變量，故有SAES AED 1， S CDF S CDF 所以S AED S CDF . F 在 AD 上, AF - DF， 2 例3.5 已知在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn), 1 EF 交 AC 于 G，求證：AG - AC . 5 圖3-5 證明 如圖3-5，作仿射變換f，使得，平行四邊形ABCD對(duì)應(yīng)正方形ABCD， 則由仿射性質(zhì)可知，點(diǎn)E、F、G分別對(duì)應(yīng)E、F、G，且E是AD的中點(diǎn)， 1 AF -D F . 2 在正方形ABCD中，取CD的中

14、點(diǎn)P，過(guò)B、D、P作EF的平行線，分別 交AC于點(diǎn)H、M、N .由平面幾何知識(shí)易證，AG -AC， 5 由于簡(jiǎn)比是仿射不變量，所以在平行四邊形 ABCD中，AG - AC . 5 3.3.2 證明有關(guān)梯形仿射性質(zhì)的實(shí)例 任一梯形均可以經(jīng)過(guò)平行投影變成等腰梯形，若想證明一個(gè)有關(guān)梯形的命題， 只要這個(gè)命題的條件和結(jié)論都是圖形的仿射性質(zhì)，那么只要證明相應(yīng)命題對(duì)等腰梯 形成立即可. 例3.6 在梯形ABCD中，AD/BC，E，F(xiàn)分別為上、下底邊的中點(diǎn).AC、BC 交于G，BA、CD交于M，證明：M、E、G、F共線. 分析 此題為點(diǎn)共線的問(wèn)題，考慮梯形的上底和下底平行，考慮是否能由特殊 的等腰梯形來(lái)轉(zhuǎn)化

15、，進(jìn)一步考慮是否能在一個(gè)等腰三角形中截?。?證明 任作一個(gè)等腰三角形MBC，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)三角形是仿射等價(jià)的，所以 一定存在唯一的一個(gè)仿射變換 T,使T( M BC )= MBC，其中M - M , B - B， C C，在 MB 上取一點(diǎn) A，使(M B A )=( MBA).過(guò) A 作 AD / B C 與 MC 交 于D . 圖3-6 連BD、AC，M F容易證明，在等腰梯形中，兩底中點(diǎn)，兩對(duì)角線交點(diǎn)，兩 腰交點(diǎn)，這四點(diǎn)共線，即M ,E,G,F共線. 根據(jù)以上作法，仿射變換保同素性和結(jié)合性。所以，A - A.又因?yàn)?(A C D )=( ACD)所以D - D.所以由M ,E ,G,F共線

16、可知M,E,G,F共線. 類(lèi)似的，我們可以得到另一個(gè)結(jié)論： 若四邊形兩組對(duì)邊的交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對(duì)角線平行，那么，另一條對(duì) 角線的延長(zhǎng)線平分上述的連線. 3.4 仿射變換在橢圓中的應(yīng)用 圓和橢圓都是初等幾何中常見(jiàn)的圖形，圓比橢圓更特殊，它有很多很好的性質(zhì)， 與圓有關(guān)的定理舉不勝舉，但橢圓則不然，因其本身的定義要比圓復(fù)雜，橢圓的性 質(zhì)和定理就很少，解決一個(gè)與橢圓有關(guān)的問(wèn)題要比解決一個(gè)與圓有關(guān)的相應(yīng)的問(wèn)題 困難得多 . 在初等幾何中，有很多有關(guān)橢圓的問(wèn)題， 只能通過(guò)解析幾何的方法來(lái)解決， 這就給我們解題帶來(lái)了不少麻煩 . 因此，我們自然期望有一種方法，使得處理有關(guān)橢 圓的問(wèn)題和處理有關(guān)圓問(wèn)題

17、一樣容易，而由仿射變換性質(zhì)可知，橢圓通過(guò)適當(dāng)?shù)姆?射變換可變成圓 . 例 3.7 證明橢圓的外切三角形 AB C 的頂點(diǎn)與對(duì)邊上的切點(diǎn)連線交于一點(diǎn) . 分析 此題是關(guān)于線共點(diǎn)的問(wèn)題，由于橢圓的一般性以及三角形的一般性，用 初等幾何比較難入手，但可以用仿射幾何的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成特殊的圓以及正三 角形來(lái)加以研究 6 . 圖 3-7 證明 由于容易證到一個(gè)正三角形 ABC ，其內(nèi)切圓在對(duì)邊上的切點(diǎn)與頂點(diǎn)連線 交于一點(diǎn)K，可以用仿射變換方法因?qū)τ?ABC與厶ABC存在唯一的一個(gè)仿射 變換，使 A - A , B - B , C - C (如圖 3-7). 由于仿射變換保持結(jié)合性不變， ABC的內(nèi)切圓

18、與各邊切點(diǎn)分別為 Ai , Bi , G由 于仿射變換是一一變換，切點(diǎn)仍應(yīng)變?yōu)榍悬c(diǎn) . 所以 A1 - A1 ， B1 - B1 ， C1 - C1 ， K - K .所以由AAi,BBi,CCi共點(diǎn)K,可知A,A , B“B , CQ共點(diǎn)K . 例 3.8 求橢圓的面積 . 分析 橢圓是一個(gè)二次曲線,用初等幾何和微積分的知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)比較煩瑣 .考 慮到圓經(jīng)過(guò)仿射變換對(duì)應(yīng)一個(gè)橢圓,所以橢圓也可以通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q對(duì)應(yīng) 成一個(gè)圓 7 . 解 在直角坐標(biāo)系下,橢圓 經(jīng)過(guò)仿射變換 于是,橢圓的對(duì)應(yīng)圖形為圓 如圖3-8，橢圓內(nèi)的三角形 OAB : O (0 , 0) , A (a , 0), B (0 , b)，經(jīng)過(guò) S橢圓S圓 S OAB S OA B 因此， ab 以上的仿射變換， OAB的對(duì)應(yīng)圖形 OAB，其中A與A重合，B ( 0, a)，由 于兩個(gè)封閉圖形的面積之比為仿射不變量， S橢圓 1 ab 圖3-8 4利用仿射不變性解初等幾何問(wèn)題的步驟 以上內(nèi)容是對(duì)仿射變換在初等幾何應(yīng)用的簡(jiǎn)單總結(jié)，有些題不僅僅只有一種或 兩種做法，