一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、21章一元二次方程知識(shí)點(diǎn) 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等號(hào)兩邊是整式，含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高 次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必須是一個(gè)整式方程；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3） 未知數(shù)的最高次數(shù)是2 ；（ 4）二次項(xiàng)系數(shù)不能等于0 2、 一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0），它的特征是：等式左邊是 一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次三項(xiàng)式，等式右邊是零，其中 ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做 二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。 注意：（1）二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前 面的符號(hào)。 （2）要準(zhǔn)確找

2、出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須 把它先化為一般形式。 （3） 形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng) a 0時(shí)是一元二次 方程。 二、一元二次方程的解 使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當(dāng)x 2時(shí)， 2 2 x 3x 20所以x 2是x 3x 20方程的解。一元二次方程的解也 叫一元二次方程的根。一元二次方程有兩個(gè)根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接開(kāi)平方法： 直接開(kāi)平方法理論依據(jù)：平方根的定義。 利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方 法。 根據(jù)平方根的定義可知，x a是b的平方根，當(dāng)b 0時(shí)，

3、x a b， x a b，當(dāng)b0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。 三種類(lèi)型：（1） x2 a a 0的解是x x a ； (3) mx 2、配方法: (2)x m n n 0的解是x 、n m ； c m 0,且c 0的解是x 配方法的理論根據(jù)是完全平方公式 a2 2ab b2(a b)2，把公式中的a看 做未知數(shù)x，并用x代替，則有X2 2bx b2 (x b)2 (一)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程 用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟: (1) 把一元二次方程化成一般形式 (2) 在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù); (3) 把原方程變?yōu)閤 m 2 n的形式。

4、 (4) 若n 0，用直接開(kāi)平方法求出x的值，若n 0 (2) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2 4ac =0 (3) 方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根b2 4ac v 0 注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二 次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件。 四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理) 如果方程ax2 bx c 0(a 0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 捲，x2, 那么Xix2 b -,X1X2 a 在一元二次方程的一般形式中要注意，強(qiáng)調(diào)a0因當(dāng)a=0時(shí)，不含 有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程. 應(yīng)用求根公式解一元二次方程時(shí)應(yīng)注意：先化方程為一般形式再確 定a，b，c的值；若b2 4acv 0，則方程無(wú)解.

5、利用因式分解法解方程時(shí)，方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數(shù)的代 數(shù)式.如一2(x + 4)2 =3 (x + 4)中，不能隨便約去x+ 4。 注意：解一元二次方程時(shí)一般不使用配方法(除特別要求外)但又必 須熟練掌握，解一元二次方程的一般順序是：開(kāi)平方法一因式分解法一公式 法.6.元二次方程解的情況 個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；b2 - 4ac-且20 4 C. k 7=BC，不符合題意。故 x=1 (2)由 BP +BQ =5 得(5 x)+ (2x)=5 , 解得x仁0 (不合題意)，x2=2 . 所以2秒后，PQ的長(zhǎng)度等于5。 三、針對(duì)性訓(xùn)練： 1.小明的媽媽上周三在自選商場(chǎng)花10元錢(qián)買(mǎi)了幾瓶酸奶，周六

6、再去買(mǎi)時(shí)，正好遇上商場(chǎng)搞 酬賓活動(dòng)，同樣的酸奶，每瓶比周三便宜0. 5元，結(jié)果小明的媽媽只比上次多花了 元錢(qián)，卻比上次多買(mǎi)了 2瓶酸奶，問(wèn)她上周三買(mǎi)了幾瓶? 2 合肥百貨大摟服裝柜在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂(lè)”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40 元。為了迎接“十一”國(guó)慶節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷(xiāo)售量，增加盈 禾盡快減少庫(kù)存。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)4元，那么平均每天就可多售 出8件。要想平均每天在銷(xiāo)售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少？ 3在寬為20米、長(zhǎng)為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分 作為耕地，要使耕地面積為540米2,道路的寬

7、應(yīng)為多少？ 4小紅的媽媽前年存了5000元一年期的定期儲(chǔ)蓄，到期后自動(dòng)轉(zhuǎn)存今年到期扣除利息稅 (利息稅為利息的20%),共取得5145元求這種儲(chǔ)蓄的年利率.(精確到0.1%) 5.如圖12-3, ABC中，/ B=90。，點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿 AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)， 點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊向C點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)。 (1)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘，使 ABQ的面積等于8cm2? (2)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且 P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，Q以C后又繼 續(xù)在AC邊上前進(jìn)，經(jīng)幾秒鐘，使 PCQ的面積等于12.6 cm2。 2cm處，點(diǎn)Q到距離B點(diǎn)8cm處。

8、故本小題有兩解。 (2)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，點(diǎn)P移動(dòng)到BC上，且有 CP= ( 14-x) cm,點(diǎn)Q移動(dòng)到CA上，且命名 CQ=( 2x-8) cm，過(guò) Q 作 QD 丄 CB 于 D。 / CQDCAB , QD AB6(2x 8) 2x 8 AC，即 QD= 10。 16(2x 8) 依題意，得：2 ( 14-x) 10=12.6 , 解這個(gè)方程得：x仁7 , x2=11 經(jīng)過(guò)7s,點(diǎn)P在BC距離C點(diǎn)7cm處，點(diǎn)Q在CA上距離 C點(diǎn)6cm處，使SA PCQ=12.6cm2 經(jīng)過(guò)11s,點(diǎn)P在BC距離C點(diǎn)3cm處，點(diǎn) Q在CA上距離C點(diǎn)14cm處，/ 14 0點(diǎn) Q 已超出CA范圍，此解不存在。故

9、本題只有一解。 例1、某種商品原價(jià)50元。因銷(xiāo)售不暢,3月份降價(jià)10%,從4月份開(kāi)始漲價(jià),5月份的售 價(jià)為64.8元,則4、5月份兩個(gè)月平均漲價(jià)率為 . 思維點(diǎn)擊：由題意，3月份的售價(jià)可以用 50X( 1 10%)表示，若設(shè) 4、5月份兩個(gè)月 平均漲價(jià)率為x，則4月份的售價(jià)是 50X( 1 10%) ( 1+ x) , 5月份的售價(jià)是50X( 1 10%) X (1+ x ) (1+ x )即50 X (1 10%) X (1+x ) 2，由于5月份的售價(jià)已知，所以可列出一 個(gè)方程，進(jìn)而解決本題。 解：設(shè)4、5月份兩個(gè)月平均漲價(jià)率為 x，由題意，得 2 2 50 X (1 10%) X (1+

10、x )=64.8。整理，得(1+x )=1.44. 解得：x1 0.2 20%, x22.2 (不合題意，舍去)。 所以4、5月份兩個(gè)月平均漲價(jià)率為20%。 解后反思：列方程解應(yīng)用題，要注意求得的方程的解必須符合題意。 例2、如圖，一塊長(zhǎng)和寬分別為60厘米和40厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，要在它的四角截去四 個(gè)相等的小正方形，折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水槽，使它的底面積為800平方米求截去正方 形的邊長(zhǎng). 思維點(diǎn)擊： 設(shè)截去正方形的邊長(zhǎng) x 厘米之后，關(guān)鍵在于列出底面（圖示虛線部分）長(zhǎng)和 寬的代數(shù)式 .結(jié)合圖示和原有長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，不難得出這一代數(shù)式. 解： 設(shè)截去正方形的邊長(zhǎng)為 x 厘米，根據(jù)題意，得 （6

11、0 2x） （40 2x） = 800. 原方程可寫(xiě)成： x2 50 x 400 0. 解這個(gè)方程，得 x1 10,x2 40. 如果截去的小正方形的邊長(zhǎng)為 40 厘米，那么左下角和右下角的兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)之 和為 80 厘米，這超過(guò)了長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng) 60 厘米，因此 x2 40 不符合題意，應(yīng)舍去。 答：截去正方形的邊長(zhǎng)為 10 厘米。 溫馨提示： 在應(yīng)用一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，也像以前學(xué)習(xí)一元一次方程一樣，要注 意分析題意，抓住主要的數(shù)量關(guān)系，列出方程，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決.求得方 程的解之后，要注意檢驗(yàn)是否符合題意，然后得到原問(wèn)題的解答 . 范例探究 基礎(chǔ)思維探究 探究點(diǎn)

12、1、與圖形有關(guān)的問(wèn)題 例 1、為了培養(yǎng)孩子從小熱愛(ài)動(dòng)物的良好品德， 在一邊靠校園 20 米的院墻， 另外三邊用 3 55 米長(zhǎng)的籬笆，圍起一個(gè)面積為 300m3 的矩形場(chǎng)地組織生物小組學(xué)生喂養(yǎng)小鳥(niǎo)、兔子等 小動(dòng)物問(wèn)這個(gè)場(chǎng)地的各邊長(zhǎng)為多少？ 思維點(diǎn)擊：設(shè)與院墻垂直的邊長(zhǎng)為 x m,則與院墻平行的邊長(zhǎng)為（55-2x）m，根據(jù)矩形面 積公式可列出方程式 解：設(shè)與院墻垂直的邊長(zhǎng)為 x m，則與院墻平行的邊長(zhǎng)為 （55-2x）m，根據(jù)題意得： x 55 2x 300 整理,得 2x2 55x 300 0 . 解方程,得 x1 20,x2 15. 當(dāng)x= 20，即與院墻垂直的邊長(zhǎng)為 20米時(shí)，另一邊長(zhǎng)為

13、20米，即與院墻平行的邊長(zhǎng)為 15 米 當(dāng)x= 15，即與院墻垂直的邊長(zhǎng)為 15米時(shí)，另一邊長(zhǎng)為 25米，即與院墻平行的邊長(zhǎng)為 25米由于校園的院墻長(zhǎng)20米，20 V 25，所以此解不合題意，應(yīng)舍去. 答：與院墻垂直的邊長(zhǎng)為 20米，與院墻平行的邊長(zhǎng)為 15米. 55 x 溫馨提示：若設(shè)與院墻平行的邊長(zhǎng)為x m,則與院墻垂直的邊長(zhǎng)為m .根據(jù)矩 2 形面積公式也可以列出方程式但出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，不如前一種設(shè)法好. 探究點(diǎn)2、利潤(rùn)問(wèn)題 例2、某商場(chǎng)服裝柜在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)：寶樂(lè)”牌童裝平均每天可售出 20件，每件盈利40 元。為了迎接 六一 ”國(guó)際兒童節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷(xiāo)售量，增加盈利，

14、減少庫(kù)存。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件。要 想平均每天在銷(xiāo)售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？ 思維點(diǎn)擊：每天售出的童裝件數(shù) X每件童裝的利潤(rùn)=每天這種童裝的總利潤(rùn)。 解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià) x元，根據(jù)題意，得20 - 8 40 x 1200. 4 化簡(jiǎn)，得 x2 30 x2000,解得 x120,x210。 因?yàn)橐M快減少庫(kù)存，所以x應(yīng)取20。 答：每件童裝應(yīng)降價(jià) 20元。 溫馨提示：求出方程的解后，必須根據(jù)要求，對(duì)方程的解進(jìn)行合理取舍。 探究點(diǎn)3、增長(zhǎng)率問(wèn)題 例3、某廠1月份生產(chǎn)零件2萬(wàn)個(gè)，第一季度共生產(chǎn)零件7.98萬(wàn)個(gè)，若每月的增長(zhǎng)率

15、 相同，求每月的增長(zhǎng)率。 思維點(diǎn)擊： 解：設(shè)每月的平均增長(zhǎng)率為x，依題意，得2+2 （1+x） +2 （1+x） 2=7.98 經(jīng)整理，得 100 x2+300 x-99=0，解得 X1=0.3=30% , x2=-3.3 不合題意，舍去。 答：每月的增長(zhǎng)率為 30%。 溫馨提示：（1）解本題的關(guān)鍵是理解 “7.98萬(wàn)個(gè)零件是3個(gè)月生產(chǎn)量的總和”，一定要注 意審題；（2）牢記公式a 1 x n b , a為增長(zhǎng)率（降低）前的基礎(chǔ)數(shù)量， x為增長(zhǎng)率（降 低率）,n為增長(zhǎng)（降低）的次數(shù)， b為增長(zhǎng)（降低）后的數(shù)量. 綜合思維探究 例4、一塊矩形耕地大小尺寸如圖1所示，要在這塊地上沿東西和南北方向分

16、別挖2條 和4條小渠，如果小渠的寬相等，而且要保證余下的耕地面積為9600米2,那么水渠應(yīng)挖 多寬？ 思維點(diǎn)擊：這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是，挖掘所占用土地面積只與挖渠的條數(shù)，渠道的寬度有關(guān)， 而與渠道的位置無(wú)關(guān)，為了研究問(wèn)題方便可分別把東西和南北方向的渠道移動(dòng)到一起（最好 靠一邊）。如圖2所示，那么剩余可耕的長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)為（162-2x）米，寬為（64- 4x） 米。 解：設(shè)水渠應(yīng)挖x米寬，則根據(jù)題意，得 （162 2x）（64 4x）9600 x297x 960 解得：洛 1, X296（舍去） 答：水渠應(yīng)挖1米寬。 溫馨提示：此類(lèi)問(wèn)題可采用 靠邊”的辦法使得圖形便于表達(dá)長(zhǎng)、寬，主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的 化

17、歸思想. 創(chuàng)新拓展思維探究 例5、機(jī)械加工需用油進(jìn)行潤(rùn)滑以減小摩擦，某企業(yè)加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量 為90千克，用油的重復(fù)利用率為 60%，按此計(jì)算，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量為 36千克。為了建設(shè)節(jié)約型社會(huì)，減少油耗，該企業(yè)的甲乙兩個(gè)車(chē)間都組織了人員為減少實(shí) 際油耗量進(jìn)行攻關(guān)。 甲車(chē)間通過(guò)技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量下降到70千克，用油的 重復(fù)利用率仍為 60%，問(wèn)甲車(chē)間技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量是多少 千克？ 乙車(chē)間通過(guò)技術(shù)革新后，不僅降低了潤(rùn)滑用油量，同時(shí)也提高了重復(fù)利用率，并且發(fā) 現(xiàn)在技術(shù)革新前的基礎(chǔ)上，潤(rùn)滑用油量每減少1千克，用油的重復(fù)利用

18、率將增加1.6%，這 樣乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量下降到12千克。問(wèn)乙車(chē)間技術(shù)革新后，加工 臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的潤(rùn)滑用油量是多少千克？用油的重復(fù)利用率是多少? 思維點(diǎn)擊：（1）機(jī)械設(shè)備實(shí)際耗油量為用油量 -重復(fù)使用的用油量；（2）若設(shè)技術(shù)革新后 的乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量為x千克，則比技術(shù)革新前下降了 （ 90-x）千克, 從而重復(fù)利用率增加了 （90 x） 1.6%，這樣，就可以根據(jù)題意列出方程。 解：（1）由題意，得 70 （1 60%）70 40%28 （千克）。 （2）設(shè)乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量為x千克， 由題意，得 x 1 （90 x） 1.6% 60%12，整理，得 x2 65x 7500， 解得：為 75, X210 （舍去），（90 75） 1.6% 60% 84%。 答：（1）技術(shù)革新后，甲車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量是28千克. （2）技術(shù)革新后，乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量是75千克？用油的重復(fù)利用率 是 84%. 解后反思：本題考查了考生靈活利