關(guān)于定積分的演變與發(fā)展

1、2006 年 4 月col l e ge ma t h ema t icsap r . 2006關(guān)于定積分的演變與發(fā)展高秋菊劉宏蘇國強(qiáng)(中國人民武裝警察部隊(duì)學(xué)院 基礎(chǔ)部 ,廊坊 065000) 摘 要 積分的學(xué)習(xí)一直是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn) . 本文通過對積分發(fā)展過程的介紹 ,使讀者對這段歷史有很明確的認(rèn)識 ,尤其是積分的分割近似思想 ,這樣可以進(jìn)一步幫助讀者理解積分的概念掌握積分的 計(jì)算 . 關(guān)鍵詞 流數(shù)法 ;分割近似 ;極限 中圖分類號 o1721 2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 c 文章編號 167221454 (2006) 0220159204微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上一個(gè)具有劃時(shí)代意義的創(chuàng)舉 ,也是人類

2、文明的一個(gè)偉大成果. 正如恩格斯評價(jià)的那樣 “: 在一切理論成就中 ,未必再有什么象 17 世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被當(dāng)作人類精神的 最高勝利了 . ”1積分發(fā)展的歷史過程定積分的發(fā)展大致可以分為三個(gè)階段 :古希臘數(shù)學(xué)的準(zhǔn)備階段 ,17 世紀(jì)的創(chuàng)立階段以及 19 世紀(jì)的完成階段 .11 準(zhǔn)備階段主要包括 17 世紀(jì)中葉以前定積分思想的萌芽和先驅(qū)者們大量的探索 、積累工作. 這個(gè)時(shí)期隨著古 希臘燦爛文化的發(fā)展 ,數(shù)學(xué)也開始散發(fā)出它不可抵擋的魅力 . 古希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展史大致分為三個(gè)時(shí)期 :(1) 初期的古希臘數(shù)學(xué)并不是單獨(dú)的一個(gè)分支 ,而是與天文 、哲學(xué)密不可分的 ,其研究對象以幾何 學(xué)為主.

3、安提豐提出用“窮竭法”去解決化圓為方問題 ,是近代極限理論的雛形. 公元前 5 世紀(jì)以德謨克 利特為代表的“原子論”學(xué)派 ,用原子論的觀點(diǎn)解釋數(shù)學(xué) ,他認(rèn)為 :線段 、面積和立體都是由一些不可再分 的原子構(gòu)成的 ,而計(jì)算面積 、體積就是將這些“原子”累加起來 ,這種不甚嚴(yán)格的推理方法已帶有古樸的 積分思想 . 然后他利用“原子論”求出了圓錐的體積 ,即 :圓錐體積等于具有同底同高的圓柱體積的三分 之一.(2) 第二個(gè)時(shí)期 :古希臘的數(shù)學(xué)逐漸脫離哲學(xué)和天文學(xué) ,成為獨(dú)立的科學(xué) ,出現(xiàn)了三大數(shù)學(xué)家歐幾 里德 、阿基米德和阿波羅尼奧斯. 其中在公元前 3 世紀(jì)數(shù)學(xué)家兼物理學(xué)家阿基米德將窮竭法與原子論

4、觀 點(diǎn)結(jié)合起來 ,獲得了許多重要結(jié)果 ,例如他在拋物線圖形求積法和論螺線中 ,利用窮竭法 ,借助于幾 何直觀 ,求出了拋物線弓形的面積及阿基米德螺線第一周圍成的區(qū)域的面積 ,其思想方法是分割求和 , 逐次逼近 . 雖然當(dāng)時(shí)還沒有極限的概念 ,不承認(rèn)無限 ,但他的求積方法已具有了定積分思想的萌芽 .積分的基本思想 ,是將所求的量分割成若干細(xì)小的部分 ,找出某種關(guān)系之后 ,再把這些細(xì)小的部分 用便于計(jì)算的形式積累起來 ,最后求出未知量的值 . 這種“化整為零”再“積零為整”的方法在阿基米德的 著作中已得到體現(xiàn).(3) 古希臘數(shù)學(xué)的第三個(gè)時(shí)期 :主要是在三角學(xué)和代數(shù)方面取得的發(fā)展 ,隨著亞歷山大城被

5、羅馬人占領(lǐng) ,希臘數(shù)學(xué)至此告一段落 .公元 5 14 世紀(jì) ,被認(rèn)為是歐洲的“黑暗時(shí)期”,這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的發(fā)展較為緩慢 . 直到 14 世紀(jì)末 ,歐洲資本主義萌芽 ,人們才繼續(xù)了數(shù)學(xué)方面的研究 . 整個(gè) 16 世紀(jì) ,積分思想一直圍繞著“求積問題”發(fā)展 , 它包括兩個(gè)方面 :一個(gè)是求平面圖形的面積和由曲面包圍的體積 ,一個(gè)是靜力學(xué)中計(jì)算物體重心和液體 壓力. 德國天文學(xué)家 、數(shù)學(xué)家開普勒在他的名著測量酒桶體積的新科學(xué)一書中 ,認(rèn)為給定的幾何圖形 都是由無窮多個(gè)同維數(shù)的無窮小圖形構(gòu)成的 ,用某種特定的方法把這些小圖形的面積或體積相加就能 得到所求的面積或體積 ,他是第一個(gè)在求積中運(yùn)用無窮小方法的數(shù)

6、學(xué)家 . 17 世紀(jì)中葉 ,法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾 瑪 、帕斯卡均利用了“分割求和”及無窮小的性質(zhì)的觀點(diǎn)求積 ,更加接近現(xiàn)代的求定積分的方法 . 可見 ,利 用“分割求和”及無窮小的方法 ,已被當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家普遍采用 .21 創(chuàng)立階段主要包括 17 世紀(jì)下半葉牛頓 、萊布尼茲的積分概念的創(chuàng)立和 18 世紀(jì)積分概念的發(fā)展. 牛頓和萊布 尼茲幾乎是同時(shí)且相互獨(dú)立地進(jìn)入了微積分的大門 . 17 世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展 、笛卡兒坐標(biāo)系的建立將變量 引入數(shù)學(xué)以及函數(shù)思想 、極限思想的發(fā)展 ,都為牛頓 、萊布尼茲對微積分的進(jìn)一步研究創(chuàng)造了條件 .牛頓從 1664 年開始研究微積分 ,主要貢獻(xiàn)反映在 1671 年 、1676

7、 年發(fā)表的流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)、曲線求積術(shù)兩篇論文和 1687 年的自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理中 . 早期的微積分常稱為“無窮小分析”,其 原因在于微積分建立在無窮小的概念之上 ,牛頓和萊布尼茲概莫能外 ,當(dāng)時(shí)所謂的“無窮小”并不是我們 現(xiàn)在說的“以零為極限的變量”,而是含糊不清的 ,從牛頓的“流數(shù)法”中可見一斑 .“流數(shù)法”的主要思想 是把連續(xù)變動的量稱為“流量”,流量的微小改變稱為“瞬”即“無窮小量”,將這些變量的變化率稱為“流 數(shù)”. 用小點(diǎn)來表示流數(shù) ,如 x , y 表示變量 x , y 對時(shí)間的流數(shù). 他指出 :曲線 f ( x , y) = 0 在某給定點(diǎn)處切線的斜率就是 y 的流數(shù)與 x

8、流數(shù)之比 , 從而導(dǎo)出 y 對 x 的導(dǎo)數(shù)就是 y 的流數(shù)與 x 流數(shù)之比 , 即相當(dāng)于現(xiàn)在的 d y = y.d x x在此基礎(chǔ)上 , 牛頓又提出了反問題 :給定表示 x 與流數(shù)之比 y 之間的方程 , 求函數(shù) y = f ( x) , 即反微x分 . 他討論了如何借助反微分來計(jì)算面積 . 這是歷史上第一次以明顯的形式給出了的 d a = y , 其中 a 表d x示曲線 y = f ( x) ( a x b) 下的面積 , 這個(gè)定理給出了計(jì)算面積方法的根據(jù) , 使得計(jì)算趨于一般化 、系b統(tǒng)化. 用現(xiàn)在的符號表示就是面積 a = a y d x .1669 年牛頓在運(yùn)用無窮多項(xiàng)的分析學(xué)中敘述

9、了計(jì)算曲線 y = f ( x ) 下的面積的一般方法 . 例如 : m + nn假定有一條曲線 , 其下面的面積為 z , 并且 z =a x, z 是由曲線和 x 軸 y 軸及 x 處的縱坐標(biāo)圍成nm + n的面積.當(dāng) x 獲得一個(gè)增量瞬 o 時(shí) , 有新坐標(biāo) x + o , 并產(chǎn)生以面積的增 量 ( 圖 1) , 則 m + nnnz + o y =a ( x + o) .m + n運(yùn)用二項(xiàng)式定理于右邊 , 得到一個(gè)無窮級數(shù) : m + n m + nnn- 1x + ) .nnz + o y =a ( x+m + nm + n m m + n m + n消去 z 再除以 o , 得到

10、y = a x . 即 :若面積 z =nn, 則構(gòu)成面a xn圖 1 m m m + nn積的曲線為 y = a x n , 反之若曲線是 y = a x n , 則它下面的面積是 z =na x.m + n牛頓第一次清楚地說明了求導(dǎo)數(shù)問題和求面積問題之間的互逆關(guān)系 , 這就是說牛頓確定的積分實(shí)際上是不定積分.萊布尼茲從 1673 年開始研究微積分問題 , 他在數(shù)學(xué)筆記中指出 :求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)與 橫坐標(biāo)的差值之比 ( 當(dāng)這些差值變成無窮小時(shí)) ; 求積依賴于在橫坐標(biāo)的無限小區(qū)間上縱坐標(biāo)之和或無限小矩形之和 , 并且萊布尼茲開始認(rèn)識到了求和與求差運(yùn)算的可逆性 , 他用 d y 表示曲

11、線上相鄰點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差 , 把d y 表示為所有這些差的和 , y = d y , 明確指出 “: ”意味著和 , d 意味著差 , 從和差的互 逆關(guān)系可知“”和 d 的互逆關(guān)系 . 這樣萊布尼茲明確指出了 :作為求和過程的積分是微分之逆 , 實(shí)際上 也就是今天的定積分 .牛頓和萊布尼茲創(chuàng)造了微積分的基本方法 , 但是 , 他們留下了大量的事情要后人去解決 , 首先是微 積分的主要內(nèi)容的擴(kuò)展 , 其次是微積分還缺少邏輯基礎(chǔ).18 世紀(jì) , 伯努利 、歐拉 、拉格朗日 、克雷爾 、達(dá)朗貝爾 、馬克勞林等數(shù)學(xué)家 , 隨著對函數(shù)和極限研究的 深入 , 把定積分概念推廣到二重積分 、三重積分 , 也對

12、微積分基礎(chǔ)作了深刻的研究 , 并且無窮級數(shù) 、微分 方程 、變分法等微積分分支學(xué)科也初具規(guī)模 , 但微積分的邏輯基礎(chǔ)問題還沒有得到圓滿解決 .31 完成階段19 世紀(jì)的前 20 年 , 微積分的邏輯基礎(chǔ)仍然不夠完善 , 如一般的函數(shù)概念尚未建立 , 微積分的許多 基本概念 , 如無窮小 、無窮大 、導(dǎo)數(shù) 、微分 、積分仍無精確定義等 . 從 19 世紀(jì) 20 年代至 19 世紀(jì)末 , 經(jīng)過波 爾查諾 、柯西 、維爾斯特拉斯 、戴德金等數(shù)學(xué)家的努力 , 微積分的理論基礎(chǔ)基本完成 , 波爾查諾通過極限 給出了函數(shù)連續(xù)的概念及導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格定義 , 柯西完全擺脫了微積分對幾何和物理意義的依賴 , 引入了

13、嚴(yán) 格的分析表述和理論 , 形成了現(xiàn)代體系 , 他繼續(xù)并發(fā)展了前人已有的積分作為微分和的思想 , 用極限給n出了積分的定義 , 指出“”不能理解為一個(gè)和式 , 而是和式 s n = f ( x k - 1 ) ( x k - x k - 1 ) . 當(dāng)| x k - x k - 1 |k = 1無限減小時(shí) , s n 能“最終達(dá)到的某個(gè)極限值”s , 這個(gè) s 就是函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 x0 , x 上的定積分 . 他認(rèn)為x人們在應(yīng)用定積分之前 , 必須首先確定積分的存在性 , 柯西定義了函數(shù) f ( x ) = f ( t) d t , 證明了當(dāng)x0f ( x) 在 x0 , x 上連

14、續(xù)時(shí) , f ( x) 在 x0 , x 上連續(xù) 、可導(dǎo) , 且 f( x ) = f ( x ) . 繼之柯西證明了 f ( x ) 的全部x原函數(shù)彼此只相差一 個(gè)常 數(shù) , 因 此 , 他 把 不 定 積 分 寫 成 : f ( x ) d x = f ( t) d t + c , 并 由 此 推 出 了x0x牛頓 萊布尼茲公式x f x d x = f x - f( )( )()x0.0至此 , 微積分基本定理給出了嚴(yán)格證明和最確切的表示形式 . 魏爾斯特拉斯將柯西關(guān)于極限的定性描述 , 改成定量刻劃 , 即“2”語言. 完成了分析算術(shù)化的工作 . 最后戴德金定義了無理數(shù) , 揭示出實(shí)數(shù)

15、的 連續(xù)性 , 完成了微積分的基本理論工作 .2積分概念的應(yīng)用及推廣隨著科學(xué)的日益發(fā)展 , 積分概念也趨于邏輯化 、嚴(yán)密化 , 形成我們現(xiàn)在使用的概念 . 定積分的概念中體現(xiàn)了分割 、近似 、求和的極限思想 . 其中分割既是將 a , b 任意地分成 n 個(gè)小區(qū)間 ,x1 ,x2 , ,x i ,x n 其中 x i 表 示 第 i 個(gè) 小 區(qū) 間 的 長 度 , 在 每 個(gè) 小 區(qū) 間 上 任 取 一 點(diǎn) i 作 f(i )x i 并 求 和f (i ) x i , 這體現(xiàn)了求和的思想 , 當(dāng)區(qū)間的最大長度趨于零時(shí) , 和式的極限若存在即為 f ( x ) 在 a , b上的定積分 .利用定

16、積分可以解決很多實(shí)際問題 , 例如求由曲線圍成的平面圖形的面積 ; 求由曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn) 所得旋轉(zhuǎn)體的體積 ; 平行截面面積為已知的立體的體積 ; 求曲線的弧長以及物理中的功 、水壓力等等 .b同時(shí) , a f x d x 的積分形式也可以推廣 :( )( 1) 可以把積分區(qū)間 a , b推廣到無限區(qū)間上 , 如 a , + ) 等 , 或者把函數(shù)推廣到無界函數(shù) , 也就是廣義積分 .( 2) 可以把積分區(qū)間 a , b推廣到一個(gè)平面區(qū)域 , 被積函數(shù)為二元函數(shù) , 那么積分就是二重積分 ; 同 樣當(dāng)被積函數(shù)成為三元函數(shù) 、積分區(qū)域變成空間區(qū)域時(shí)就是三重積分.( 3) 還可以將積分范圍推廣為一

17、段曲線弧或一片曲面 , 即曲線積分和曲面積分 .無論積分推廣到何種形式 , 它始終體現(xiàn)了這種分割的極限思想 , 比如二重積分的概念 :設(shè) f ( x , y) 在有界閉區(qū)域 d 上有界 ,( 1) 分割 :將 d 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域i 并表示面積 ;( 2) 近似 :在每個(gè) i 上任取一點(diǎn) (i ,i ) 作乘積 f (i ,i ) i ;f (i ,i )i 的 極 限 存 在 , 即 為( 3) 求和取極 限 : 若 各 區(qū) 域 直 徑 的 最 大 值 趨 于 零 時(shí) , 和 式f ( x , y) 在 d 上的二重積分 . 由此我們發(fā)現(xiàn)定積分與重積分在概念的本質(zhì)上是一致的 , 同樣三重積分亦是如此.此外 , 不定積分與定積分之間關(guān)系為 :如果函數(shù) f ( x) 是連續(xù)函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 a , b 上的一個(gè)原函b數(shù) , 則a f x d x = f b -( )( )f a , 這是牛頓 萊布尼茲公式 . 這個(gè)公式進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)( )的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系 . 它表明 :一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 a , b 上的定積分等于它的任一原函數(shù)在區(qū)間 a , b上的增量. 這就給求解定積分提供了一個(gè)簡便而有效的計(jì)算方法.3結(jié)束語從數(shù)學(xué)的發(fā)展過程可以知道 , 人們首先研究的是定積分 , 雖然說是由于計(jì)算面積和體積問題使人們對定積