專題——求恒成立問題參數(shù)范圍

1、專題一一求參數(shù)取值范圍一般方法概念與用法恒成立問題是數(shù)學中常見問題，也是歷年高考的一個熱點。題型特點大多以已知一個 變量的取值范圍，求另一個變量的取值范圍的形式出現(xiàn)。這樣的題型會出現(xiàn)于代數(shù)中的不等式里也會出現(xiàn)在幾何里。就?？碱}型的一般題型以及解題方法，我在這里做了個小結。題型以及解題方法一，分離參數(shù)在給出的不等式中，如果能通過恒等變形分離出參數(shù)，即：若a_ f x恒成立，只須求出f X max，則a - f x mx ；若a豈f x恒成立，只須求出f x min，則a空f X両， 轉化為函數(shù)求最值。例1已知函數(shù)f(x)=lg x+2，若對任意x恒有f(x)o，試確定a的 I X丿取值范圍。解：

2、根據(jù)題意得：x 旦-2 .1在x：二2,：；心:上恒成立，x即：a -x2 3x在x：= 2,壯二,；上恒成立，2(39設 f (x )= -x +3x，則 f (x )= - x -+1 2丿4當 X =2 時，f x max =2 所以 a 2例2.已知當xR時，不等式a+cos2x5 -4sinx+ . 5a - 4恒成立，求實數(shù) a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知(xR),另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x3 即：) 5a - 4 a+2a-20、a204上式等價于彳5a -4蘭0或丿，解得 蘭a2p+

3、x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及P關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉化為在-2，2內關于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。解：不等式即(X 1)p+x22x+10,設 f(p)= (x _1)p+x2_2x+1,則 f(p)在_2,2上恒大于 0, 故有：；即鳥解得:x3.X A 3或XV 1x 1 或 x m(x2-1 )對滿足m蘭2的所有m都成立，求x的取值范圍。2解：設 f (m )=m(x -1 )-(2x-1 )，對滿足 m 蘭2的 m，f(m)cO恒成立，解得:-1-113x :2 2f -2 0-2

4、 x2 -1 - 2x-1 -02f 2 02 x 一1 一 2x1 ：0三，利用二次函數(shù)根的分布例5.設f(x)=x 2 -2ax+2，當x - 1,+ ：)時，都有f(x) _ a恒成立，求a的取值范圍。分析：題目中要證明f(x) _a恒成立，若把a移到等號的左邊，則把原題轉化成左邊二 次函數(shù)在區(qū)間-1,+ ：)時恒大于0的問題。解：設 F(x)= f(x) a=x22ax+2a.i )當厶=4 (a-1)(a+2)0 時，即-2a0|(a _1)(a+2)啟0* f (1)狂0 即 a+3 蘭0 二2a v 1 a t,:2 -_1，得3 a 2;綜合可得a的取值范圍為-3，1四，利用集

5、合與幾何之間的關系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關系來求解，即：m,n I - f a , g a】，則f a乞m且g a _n，不等式的解即為實數(shù) a的取值范圍。例6、當X 1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解：;一1 ： loga x 1(1)a _31 1 a3(2)1當0 a ：1時，a ：x ,則問題轉化為a11a 3,3 工 | a,-3a3a0 ： a J1當a 1時， x : a，則問題轉化為a1綜上所得：0 ： a豈一或a _33五，幾何中的求參要確定變量k的范圍,可先建立以k為函數(shù)的目標函數(shù)k = f (t)，從而使這種具有函數(shù)背景的

6、范圍問題迎刃而解。例7、(雙參數(shù)且已知其中一個參數(shù)的范圍)給定拋物線C:y2=4x,F是C的焦點，過點F的直線I與C相交于A,B兩點. 若FB = AF,若4,9,求l在y軸上截得m的范圍。解：(略解)設直線l方程為：y=k(x-1)= m k,由 FB =人AF得(x2 -1, y2)=丸(1 -X! ,!)= *x2 i1 = (1-x) y - y1由y2 = 一科1 二k2九+ 1 -2y1 n：対“二丫必一人(山也)2,由韋達定理代入整理得: yy2=-妙1-丸r 9 1616 9,.所求 m k 一4,一3 -,-.16 9344 3小練一下1.已知函數(shù)f (x) = ax - . 4x - x2, x (0,4時f (x) ： 0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。2. 已知不等式(x-1)m ：2x-1對0,3恒成立，求實數(shù) m的取值范圍。3. 已知不等式(x-1)m ： 2x-1對m0,3恒成立，求實數(shù) x的取值范圍。24. 已知不等式x -2ax