彈性力學(xué)習(xí)題

1、1 設(shè)有矩形截面的豎柱，其密度為P,在一邊側(cè)面上受均布剪力q,如圖1，試 求應(yīng)力分量。解：采用半逆解法，設(shè)導(dǎo)出使其滿足雙調(diào)和方程:6心-Xi込心) dy2dy V 7(P= 羽 _/)I 心(QOx4dx4牛=0,爭=0dydxdy切=0,/4 心)+ F(x)dxA取任意值時，上式都應(yīng)成立，因而有:圖1dl=Qd=Qdx4dx4f(x) = Ax3 + Bx2 + Cx, j (x) = Ex3 + Fx2 (p = y(Ax3 + Bx2 + Cx) + Ex + Fx2式中，/中略去了常數(shù)項，/）中略去了X的一次項及常數(shù)項，因為它們對應(yīng)力無影響。含待定常數(shù)的應(yīng)力分量為:d(per 二一-

2、Xx= 0Y刃crv 二- Yy-),(6Ax+ 2B)+6Ex+ 2F - PyTxy - - r - -(3Af + 2Bx + C)cxdv(2)利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應(yīng)力解答：（bx）x=0 = 0，（qU二o,c二0 能自然滿足：（6）z二0,能自然滿足：5 亠h=q，-3Ah22Bh=q（b、）丫=0 = 0,6Ex+ 2F = 0, E = T7 = 0(3)(rvjv=0 = 0,不能精確滿足，只能近似滿足: (珀)“。心=0(3 A 疋 + 2Bxx = O(4) AZ? B hr = O由怡(3)、(4)解出常數(shù)A和B,進而可求得應(yīng)力分量：qh-(5)6 = o,牛=

3、竿(1 -為-Py, rxy 一字(2 字)h hh h2.如圖2 (a),三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為，試用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)求解該 梁的應(yīng)力分量。(a)解：1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：圖(b)(P Ay3 + Bx2y + Cxy2 + Dy5-Xx=2Cx+6Dy不難驗證其滿wv = 0。所以應(yīng)力分量為:二？ Yy- 6Ax+ 2By pgyOXrry =二 0 = 2Bx 2Cy dxdy2用邊界條件確定常數(shù)，進而求出應(yīng)力解答: 上邊界：0v).v=0 二 ，(rty)y=O -。斜邊：1 = cos(90 + a) = suicr.m = costzsui zcrv + cos= 0SU

4、I OCT + COSCb、，= 0* yy解得：A = B = O.C = -cota.D =叢 cot2 a 23= pgxcoia 2/jgycot2 aby = -pgy. rxy = -pgycoXa3.如果 0為平面調(diào)和函數(shù)，它滿足v2=o，問x(p,y(p,(x2 + y2)(p 是否可作為應(yīng)力函數(shù)。解：將叭=x(p代入相容條件，得：2。嚴(卑+卑)(“)=2穿+雙與+空|) = 2穿 去2 Qy8x去2內(nèi)2QxV2V2?71 = V2(2) = 2 (V2(p) = 0dxdx機滿足雙調(diào)和方程，因此，可作為應(yīng)力函數(shù)。將 02 =代入相容條件得V22=2,V2V22 2(2?)=

5、 ocyoy 23 = X72(x2(p-h y2(p) = V2(2) +V2(y2 = 02由此可解得：Q歆+% F應(yīng)力分量為今o? |勺。方Ah 80/by2% y(2y2-3八丿、丿八A3)卅八丿IO 7=乂(3力2, _4y3 - A3)=PC4y2 _力2)(3乂彳-y-l +(9)h20.5如圖所示，右端固定懸臂梁，長為1,高為h,在左端面上受分布力作用（其合力為P）。 不計體力，試求梁的應(yīng)力分量。解：用湊和幕次不同的雙調(diào)和多項式函數(shù)的半逆解法來求解。顯然，應(yīng)力函數(shù)d4xy所 對應(yīng)的面力，在梁兩端與本題相一致，只是該函數(shù)在上、卞邊界面上多出了一個人小為 的剪應(yīng)力，為了抵消它，在應(yīng)

6、力函（p = d,xy3數(shù)上再添加一個與純剪應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)優(yōu)廠cp = d+ hxy% -o由平衡條件得含有待定系數(shù)的應(yīng)力表達式為： oS嚴zb、=_2= 6 乙斗 p, by0時，考察q分布情況，注意到rxy = 0 ,故y向無面力左端:= Gay (oy/?) fy= (r= 0右端:d (Uh = 6(0y h) fy = 0應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)/時應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為 主矢，主矩主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。 偏心距e：因為在A點的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b,集中荷載p的偏心距e： 同理可知，當(dāng)d0時，可以解決偏心壓縮問題。7試考察應(yīng)力

7、函數(shù)=拱q（3/F-4）F）,能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分 2/?量（不計體力），畫出圖39所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面 力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題?！窘獯稹浚?）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（225）夕+ 2夕* 而 + dx2dy2 +（2）將代入式（224），得應(yīng)力分量表達式xy yx3尸（伴）/廠2h（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力: 在主要邊界上(上下邊界)上，尸2,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式(2-15),-( h=0工()，=寸=0應(yīng)力(by)*? = W? = 0因此，在主要邊界y = -,無任何面力，即zfy = |2I2丿 在*0, x=

8、/的次要邊界上，面力分別為:因此，各邊界上的面力分布如圖所示: 在兀二0, x二/的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式:x=0x=l上旬主矢：母廣仁斤心， 向主矢：FSi =J：fydy = F, 主矩:M=Jxydy = 因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖:(a)(b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題。8設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為p,在一邊側(cè)面上受均布剪 力q (圖3-10),試求應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娣ㄇ蠼?。由材料力學(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。(1) 假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。根據(jù)材料力學(xué)，彎曲應(yīng)力6主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應(yīng)

9、力心主要與截面 的剪力有關(guān)，而擠壓應(yīng)力6主要與橫向荷載有關(guān)，本題橫向荷載為零，則6 = 0(2) 推求應(yīng)力函數(shù)的形式將6=0,體力fx = 0Jy = pgf代入公式(2-24)有對y積分，得(b)(a)=#(x)+/(x)其中/(M J W都是*的待定函數(shù)。(3) 由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。 將(b)式代入相容方程(225),得(c)在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，(c)式為y的一次方程，相容方程要 求它有無數(shù)多個根(全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿足它)，可見其系數(shù)與自由項都必須 為零，即d) = o,dY =0dxdx(d)兩個方程要求/(x) = Av3 + Bx2 + Cr, / (x) = D

10、x5 + Ex2/(x)中的常數(shù)項，/(x)中的常數(shù)項和一次項已被略去，因為這三項在的表達式中成為y的一次項及常數(shù)項，不影響應(yīng)力分量。將(d)式代入(b)式, 得應(yīng)力函數(shù)D = y(Ax-3 + Bx2 + Cx) +(D? + E)(e)(4) 由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量6 仝= 0(f)0(7 =y dx2fyy = 6Axy + 2By + 6Dx+2E- pgy(g)Orrrv = 2BxC(to dxdy(5) 考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)A、B、C、D、Eo主要邊界x = 0 (左)：(bJg = 0%=0將(f), (h)代入(s)z = o,自然滿足(rxv)v=O = 0(

11、1)主要邊界X = b上，(bJz = 0,自然滿足(L)“ = q，將(h)式代入，得口)7=一3人庁 -2Bb-C = q(j)在次要邊界y = 0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件：(k)(l)(m)I(丁)=odx = J： (6D.v + 2E)dx = 3Db2 + 2Eb = 0J。(y3,不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)?次式的應(yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程（2-25）（2）由式（2-24）求應(yīng)力分量由體力分量fx = O、f、=pg，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）得應(yīng)力分量：-fxx = 2Cx+ 6 Dy(a)-fyy = 6Ax+2By-pgy(b)= - = -2B

12、x-2Cydxdy（3）考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。對于主要邊界y = 0,其應(yīng)力邊界條件為:(d)(e)0 )嚴0 = 0 (rvx)y=O = 0將式(d)代入式(b), (c),可得4 = 0, B=0對于主要邊界y = xtaiia （斜面上），應(yīng)力邊界條件:在斜面上沒有面力作用，即X = 7v=o,該斜面外法線方向余弦為,/ = -sincr, 7 = cosa 由公式（2-15）,得應(yīng)力邊界條件_ sin a (q)十a(chǎn) + cos a (rvx) v=.rtana = 0 一 sin a O-z + cos a (bv ),.=乂論=0+ cos a v=.vtan

13、a(f)將式(a), (b)、(c)、(e)代入式(f),可解得(g)C = cota,)= - cot2 a23將式(e)、(g)代入公式(a)、(b)、(c),得應(yīng)力分量表達式:= pgx cot 6Z - 2 pgycQV a q = -pgy厶 = -pgycota10設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計，lh,圖3-5, 試用應(yīng)力函數(shù)Axy+CyDxy5求解應(yīng)力分量。解：本題是較典型的例題，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù)0,可按卞列步驟求解。1. 將0代入相容方程，顯然是滿足的。2. 將0代入式(2-24),求出應(yīng)力分量7. = 2B + 6Cy + &Dxy,cr =

14、0,xyTXy = -(/ + 3)。3.考慮邊界條件：主要邊界)=/”2上，應(yīng)精確滿足式(2-15),(.)=0,滿足； z /y=A/2化)“ =0,得 / + $ 加=0在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的邊 界條件代替。注意人=0是負A-面，圖3-5中表示了負;I面上樂，和rA,的正方向，由此得口6)加=_耳,求得B =-尋；丄；(6)口渤=，求得C =葺匕心= -Fs,得Ah +掃護=?)由式(a), (b)解出最后一個次要邊界條件(V=1上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均己滿足的條件卞, 是必須滿足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得11.擋

15、水墻的密度為,厚度為k圖36,水的密度為“2，試 求應(yīng)力分量。解：用半逆解法求解1.假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式，因為在尸小/2邊界上，6=0； y=b/2 邊界上，O、=p2gX,所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi)叭為2.推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由（7、推測0的形式,圖363由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將0代入40,得6 dyx dy dy 要使上式在任意的A處都成立， S dy 咋+ 2共idydfdy2必須f 二 Ay+3/ + Cy + D;代入0，即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中己略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次式。4.由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，將0代入式（2-24）,注意體力fx=pig，卜=0,求得應(yīng)力分 量為少c = X 茁f、：

16、x = x* My + # 卜/-2Ayz - 2By2 + 6Gy + 2) +(6妙 + 2尸)-p、gx,dxdy=-(3妒 + 2By + C)+25.考慮邊界條件:在主要邊界)=3/2上，有(b3b=p站X、得X A + B + C- + D=P，gx (a)- /y = x p73 + By2 + ),(3+竺卩3 _ 3砂2 _ 2旳-I O I 23(r )= 0,得-蘭A 3Z? + Bb + C /y=h/224丿+42得阿+b3止士泄G32120,由上式得到ABb + C = 4(6f)A 3212 求解各系數(shù)，由(a)+(b)得(叭(b)得B = 0,(c)(d)得D

17、=(c)+(d)得 4由此得32b又有 (f)得 =0,圧一八232-7 = 0,丄妙=，代入A,得(g)在次要邊界(小邊界).v=0,列出三個積分的邊界條件：得八箱空_務(wù)G得 F = 0,由式(g),(h)解岀代入應(yīng)力分量的表達式得應(yīng)力解答2pg3 亠 3g4Qg3門w，f9 y3 3y 1)F 2F-2b3bzb3=3(3壬一碼-pzgy丄+空_310b12.已知(&)=Ay-(才-才)+ Bxy + C (才 + y2) (方)=Axx + Bx3y + Cx2y2 + Dxyz + Ey 試問它們能否作為平面問題的應(yīng)力函數(shù)？ 解：作為應(yīng)力函數(shù)，必須首先滿足相容方程， 0 = 0。將0代

18、入，（a）其中A=0,才可成為應(yīng)力函數(shù)；（b）必須滿足3 （A+E） +C=0,才可成為應(yīng)力函 數(shù)。13.圖3-7所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩M= 2的作用，試用應(yīng)力函數(shù)= Ax3 + Bx2求解圖示問題的應(yīng)力及位移，設(shè)在A點的位移和轉(zhuǎn)角均為零。解：應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解：（1）校核相容方程440,滿足。（2）求應(yīng)力分量，在無體力時，得= 6 加 + 25, j =爲(wèi)=0。（3）考慮主要邊界條件% = &，U = ，Txy = ，,均已滿足?？紤]次人邊界條件，在）=0上，（G）円=0,滿足J：C）/ = -F 得 8 =-箱;（er ） xdx =-得 A=- - oJ-八円28b2

19、代入，得應(yīng)力的解答,=0o上述0和應(yīng)力己滿足了=0和全部邊界條件，因而是上述問題的解。（4）求應(yīng)變分量，3-y=0o（5）求位移分量,3x2Eb由欽由卻1 4-2方丿3沖X + 4b,對幺積分，得+ q(y);1 +學(xué)I,對加只分，得2b )2b V3xy+ IF+ 4)。將“亠代入幾何方程第三式dv du + dx dy兩邊分開變量，并令都等于常數(shù)即dfAx)牴(y) . 3尸=- +7 y = coo dxdy 4Eb?從上式分別積分，求出2 (列=COX + Vo,代入“川得4b ) 8Eb2F (v =2Eb2b9廠 _ey + uo,+ ex+v。再由剛體約束條件,=0,得殲越;(u

20、)= 0,得=c h(卩)=0,得 = ho 人a0 2Eb代入“v，得到位移分量的解答：2Eb 4bv = -（力 _ y）2Eb v 71 +竺2b丿在頂點x二.y=0。Fh 2Eb14矩形截面的簡支梁上，作用有三角形分布荷載，圖38。rnTlTqhfiMlX aT/y（/A,d-i）圖3-8試用下列應(yīng)力函數(shù) 二/xy* + Bxy5 + Cxzy + Dxy3 + Ex + Fxy, 求解應(yīng)力分量。解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：、（1）將0代入相容方程 Q = 0, 72A + 1205 = 0,得 A = -B。 3由此，5.二-於y3 + Bxy + Cx3y + Dxy3 + Ex3

21、+ Fxy。3（2）求應(yīng)力分量，在無體力下，得V.二 TOBxy + 205xy3 + GDxy、b” = -lOfey3 + QCxy + 6必， rxy = - （-15fe2y2 + 5時 + zCx2 + 3妒 +。（3）考慮主要邊界條件（y/”2）,y = h2, Txy = 0,得?。?C _ E 劭打 + （2 劭4 + ?仍2 + 尸=對于任意的X值，上式均應(yīng)滿足，由此得b/|+2仍3 - 4 +=0,(c)5y = /i/2 , cr = 0, x BN + 3Ch + y4xy = -h2 ,(yy = -q 由(c)+(d)得(可Fh (e) -(a)得(4)考慮小邊界上

22、的邊界條件(.v=0),由得B + D + Fh = 一吐。1646 由式(b)和(f)解出 n 1 1 )D = q (3力310丿f _( h1 F = q o(804力丿另兩個積分的邊界條件,顯然是滿足的。于是，將各系數(shù)代入應(yīng)力表達式，得應(yīng)力解答:xy r -廠 3/?-h2 10xC = Q 72八?991h廠hlh207lh讀者試校核在41的小邊界上，卜列條件都是滿足的。bj = ,ydy = o,”）川=y 15. 矩形截面的柱體受到頂部的集中力JlF和力矩M的作用。 圖3-9,不計體力，試用應(yīng)力函數(shù)二獰 + Bxy + Cxy2, + Dy2,求解其應(yīng)力分量。解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)

23、求解：（1）代入相容方程，“0=0,滿足。（2）求應(yīng)力分量，在無體力下，得（7 = A + Cxy + GDy、er = 0,y韋=-（萬 + 36y2） O（3）考察邊界條件。在主要邊界（y = y = , 7，= 0,滿足; 乙3 八T = _q、B + _ Cb = Qo 戸 甘4在次要邊界*0,4bb/2丿-b/2=F,得再由(a),(b)式解出b =Q2 b /代入，得應(yīng)力解答，F(xiàn)+b12FQ小 b丿12M-廠,16. 試由應(yīng)力函數(shù)二-22龍（才 + y?） arctan -求解圖3-10所示的半無限平面體在A0的邊界上受均布壓力q的問題。解：應(yīng)校核相容方程的邊界條件，若這些條件均滿

24、足，就可以求出其應(yīng)力分量。 本題得出的應(yīng)力解答是7yarctan + 龍Ixxy+ y-arctan -7t x17試由應(yīng)力函數(shù)J)= 71 1 i。y廣 In (/ + yJ + xy arc tan 一廣2 x求解圖3-11所示的半平面體在疋0的邊界上受均布切力q的 問題解：應(yīng)力函數(shù)0應(yīng)滿足相容方程和邊界條件，若這些條件均 滿足，就可以求出其應(yīng)力分量。本題得出的應(yīng)力解答是q 廠0 /) 兀F +廠arctan上+1&半平面體表面上受有均布水平面力2q,試用應(yīng)力函數(shù)= P2sm2（p+C（p）求解應(yīng)力 分量，如圖2q 解：（1）由于ocph而相容方程V4D = 0,故滿足，驗證相容方程滿足;

25、X（2）求出應(yīng)力分量如下：叭=-2Bsin20+2C0 % = 2Bsni20+2C0r =-2Bcos20-C（3）代入0 = 壬邊界的應(yīng)力邊界條件，得： （叫=（譏=廣-2彳=B = -q（4）得到血力分量的表達式為：（yp = 2gsin20 % =-2qsm2（pr%=2qcos2。19. 半平面體表面上受有均布水平面力2q,試用應(yīng)力函數(shù)=p（Bsm20+C0）求解應(yīng)力分量，如圖（12分）2qX解（1）由于而相容方程v4（d = 0,故滿足，驗證相容方程滿足;（2）求出應(yīng)力分量如下：bp =-2Bsin2（p+2C（p g = 2Bsm20+2C0r =-2Bcos20-C（3）代入0

26、 = 彳邊界的應(yīng)力邊界條件，得：(V； = o n C = 0；冬 iq = B = -q(4) 得到應(yīng)力分量的表達式為：(yp = 2gsin20 % =-2qsm2(pr = 2gcos2020. 如圖所示矩形截面簡支梁，長度為/,高度為h (/?, 5 = 1),在上邊界 受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為： O = Ax3y3 + Bxy5 + Cx5y + Ury3 + Ex3 + Fxy ,求簡支梁的應(yīng)力分量(體力不計)。解(1)將代入相容方程，5 = 0,724 + 1203 = 0、得 A = -B3 由此，=討心 3 + Bxy，+ Cx3 y + Dxy5 + Ex5 +

27、 Fxy。(2) 求應(yīng)力分量，在無體力下，得ax = -10Bx3y + 20 血 + 6Dxy+(53、-Bh4 + -Dh2 + F14丿J64丿y = /?/2,rn. = 0,得，=0。對于任意的兀值，上式均應(yīng)滿足，由此得3C- Blf=04-Bh4 + -Dh2+F = 0164(a)(b)(c)(d)(4)y = -h/2.(yy=-q0.討臚3C力+ 6E)=g 扌由(c) + (d)得E = _12/由(c)-(d)得-Bh2+3C =421 h由(e)-(a)得考察小邊界上的邊界條件(尸0)，由(e)得B +D+Fh = -1646由式(b)和(f)解出八(I1)叫礦碩，P_

28、 ( h I另兩個積分的邊界條件：f：；g)=o, 匸：)3心=0。(f)顯然是滿足的。(5)于是，將各系數(shù)代入應(yīng)力表達式，得應(yīng)力解答:y = h! 2, 丁 = 0,x(-| Bh5 + 3Ch + 6E)= 0經(jīng)校核在x=l的小邊界上，下列條件也是滿足的：匚：） = 0,匸：（6）皿=0,匚:9,） = _警。21 楔形體左邊垂直，右邊與垂直方向成角45。，下端無限長，不計體力，左邊受 到均布水平方向的面力q作用，試用半逆解法求應(yīng)力分量。解：解法1（1）假設(shè)部分應(yīng)力的形式并推求應(yīng)力函數(shù)的形式用量剛分析認為，各個應(yīng)力分量只可能是x和y的純一次式。而應(yīng)力函數(shù)較長度 量剛高兩次，應(yīng)該是x和y的純

29、三次式，因此假定：=尼 _|_ 加? y + cxy2 + dy5（2）驗證上式滿足相容方程。顯然滿足（3）求解應(yīng)力分量的具體形式（4）考察邊界條件第一個邊界x=0應(yīng)力邊界條件為:O=o = -q = -y; d-o = 代入上式并代入邊界方程x=0可得:(6).E = 6dy = -y(乙=。=一2巧=0.d = c = 06因此應(yīng)力分量變化為： crv = 2cx+6dy = -y cy = 6cix + 2by = 6ax + 2by rYV = -2bx-2cy = -2bx第二邊界x=y的應(yīng)力邊界條件為: 兒+）,=, = o g.）.r= / = cos45而:_V22m = 一

30、sin 45_V22所以:1 2b = 0 =_）_（-2如=0 （2by） - （6（7 + 2b） y = 0（5）求解應(yīng)力分量最后得出應(yīng)力分量為：=2cx+6dy = -y crv = 6ax + 2by = -2x + y = -2bx - 2cv = -x xy丿第一個邊界x=0應(yīng)力邊界條件為:第二邊界x=y的應(yīng)力邊界條件為:/（bJr+ ）、 = 0血亠.+加（/.爲(wèi)=0而:/ = cos45rn = 一 sin 45得到:,11b = ;ci = 23（4）求解應(yīng)力分量 cry=-2x+y22如圖所示楔形體右側(cè)面受均布荷載q作用，試求應(yīng)力分量?！窘狻浚?）楔形體內(nèi)任一點的應(yīng)力分量

31、決定于q、P、a , 0其中q的量綱為NI/,與應(yīng)力的量綱相同。因此，各應(yīng)力分量的表達式只可能取Kq的形式，而K是以a,卩表示的無量綱函數(shù)，亦即應(yīng)力表達式中不能出現(xiàn)P,再由 =法知，應(yīng)9力函數(shù)應(yīng)是0的函數(shù)乘以pr可設(shè)(a)將式(a)代入雙調(diào)和方程/(0)+ 4丁(0)=0, d(p4d(p上式的通解為f (p) = Acos2(p+ Bsm2(p+ C(p+ D ,將上式代入式(a),得應(yīng)力函數(shù)為=p(4cos20+ Bsin20+ C(p+ D)。(2) 應(yīng)力表達式為1 01礦2 =+ =2( Acos20 Bsin2(p+C(p+ D),p dp p o(pO=-=2(4cos20+ Bs

32、in20+ C(p+ D), 00i1 6S =24sin22Bcos2C。p d(p p dpd(p(3) 應(yīng)力邊界條件(%)殲=-g，得 2 (A+D) =q ；(% )口 = 0，得 Acos2 a +B sin2 a +C a +D=0,(咯)尸0 =,得2B-C=0,(b)(c)(d)(e)(f)(%)叱=0,2Asin2 a 2Bcos2 a C =0。聯(lián)立求解式(d)-(g),得各系數(shù)(g)A = - r/taim ,4(tan a-a)B =9,4(tan a -a)C =_2(tan a-a)q(xana-2a)D =4(tan a-a)將系數(shù)代入(c),得應(yīng)力分量tan a

33、(l + cos2(p) 一 Q(p + sin 2(p) 入= _q +2(tanz-z)tan all - cos20)(2。一 sui 2) % =_ + - 62(tan6Z-tz)(l-cos2?)- tan =q。2(tantz-6Z)(h)23楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q,如下圖所示，試求其應(yīng)力分量?！窘狻?1)應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)=p2(Acos2(p+ Bsiii2+ C(p+ D),進行求解。由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量1 501擴Q =+ =-2(Acos2+ Bsm2(p_C(p_ D)、p dp p 600(T =-=2(4cos20+ Bsin2+ C(p+ ),9i aoy e

34、 -(-) = 2Asin 2-2Bcos2-C(2)考察邊界條件：根據(jù)對稱性，得E)% =。；(a)(c)(d)同式（a）得同式（b）得同式（c）得同式（d）得式（e）、（f）、（g）、2Acos0+ 2Bsin0+ C(p+ 2D = 0;2Asin 2Bcos0 C = q;2Acos0 - 2Bsin0- C0+ 2D = 0;-2 As ill2Bcos0 C = 一 q;(h)聯(lián)立求解，得(e)(g)(h)A =，B = C = 0Q = -Icota2sma2將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量，得cos20I sin a+ cota(cos20V。叫廿-cossin a24.圖示懸臂梁，梁

35、的橫截面為矩形，其寬度取為1,右端固定、左端自由，荷 載分布在自右端上，其合力為P （不計體力），求梁的應(yīng)力分量。例32圖解：這是一個平面應(yīng)力問題，釆用半逆解法求解。（1）選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知，懸臂梁任一截面上的彎矩方程M （x） 與截面位置坐標(biāo)x成正比，而該截面上某點處的正應(yīng)力乂與該點的坐標(biāo)y成正比, 因此可設(shè)(a)式中5的為待定常數(shù)。將式(a)對y積分兩次，得0 = xy3+yf1(x) + f2(x)(b)式中的f2(x)為X的待定函數(shù)，可由相容方程確定。將式(b)代入相容方程V40 = 0,得dg)dg)dx4dx4上式是y的一次方程, 項都必須為零，即梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿足

36、它，可見它的系數(shù)和自由d4fi(x)門d4f2(x)門d 泌=d 泌=積分上二式，得fi(x) = a2x3 + a3x2 + cx + g f2 (x) = a6x3 + a7x2 + %x + Qg式中a2 -為待定的積分常數(shù)。將fiGO, f2(x)R入式(b),得應(yīng)力函數(shù)為0 = xy3 + (a2x3 + 3x2 + 4X + 5)y + (6x3 + a7x2 + a8x +69).(c)(2) 應(yīng)力分量的表達式 &X = aixy,8y = 6(a2y + a6)x + 2(a3y + a7) txv = -aiY2-3a2x2 -2a3x-a4(3) 考察應(yīng)力邊界條件：以確定各

37、系數(shù)，自由端無水平力；上、下部無荷載;自由端的剪力之和為P,得邊界條件(Qx)x=O = ，自然滿足；=0,得-習(xí)上式對x的任何值均應(yīng)滿足，因此得0C2 = 口3 = 0，My=Th 二 ，得6o(6X + 27 = 0ot4 = 0,X取任何值均應(yīng)滿足，因此得a6 = a7 = 0.將式(e)代入上式積分，得其中I? = 1 X 豊 =2h3/3,橫截面對Z軸的慣性矩。 最后得應(yīng)力分量為POx = -xy,ay = 0pJy = _ 亓 th2 - y2)p25.試考察應(yīng)力函數(shù)0 = xy(3h2 - 4y2)能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計體力），畫出題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分

38、布（在次要邊界上表示 出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。A/2A/2解 （1）相容條件:r 將代入相容方程帚十2麗麗+増0,顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達式（3）邊界條件：在y = h/2主要邊界上，應(yīng)精確定滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界x-o, x=l ,應(yīng)用圣維南原理，可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件j=0(a)= 0 J： Jziydy 二一Fl(b)煤缶鳥冋（c）對于如圖所示矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，由應(yīng)力邊界條件式（a） （b）、（c）可知上邊、下邊無面力；而左邊界上受有鉛直力；右邊界上有按線性變 化的水平面力合成為一力偶，和鉛直面力。所以，能解決懸臂在自由端受

39、集中力 作用的問題。26. 如題3-6圖所示的墻，高度為h,寬度為b, hb,在兩側(cè)上受到均布剪力q的作用，試用函數(shù)0 = Axy +x3y求解應(yīng)力分量。解：（1）相容條件將應(yīng)力函數(shù)0代入相容方程V4 = 0,其屮a40c門。40=(J = (J dx4dy4dx2 dy2很顯然滿足相容方程。（2）應(yīng)力分量表達式a20a20a20-A - 3Bx2（3）考察邊界條件，在主要邊界x= b/2上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件, 即（a）*土另=o （Txy）x=b = _q在次要邊界y二0上，（Oy）y=0 = 0,（Tyx）y=0而的條件不可能精確滿足（否則只有A二B二0）,可用積分的應(yīng)力邊界條

40、件代替（4）把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得應(yīng)力分量為樂=0,Oy =謬 xy,y =號(1 _ 12 牯27. 設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計,lh如 題3-7圖所示，試用應(yīng)力函數(shù)0 = Axy + By2 + Cy3 + Dxy3求解應(yīng)力分量。Fs2h/nMTV丄(1 h, a = 1)v y解(1)相容條件將0 = Axy + By2 + Cy3 + Dxy?代入相容方程，顯然滿足。(2)應(yīng)力分量表達式Q20020205 二喬=2B + 6Cy+6Dxy,ay =嘰=-亦=(A + 3Dy2)(3)考察邊界條件，在主要邊界y = h/2上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界

41、條件(y)y=g = ，(Tyx)y=h =02(a)得 A + - Dh2 = 04在次要邊界X二0上，只給岀了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積 分的應(yīng)力邊界條件代替。注意x二0是負x面，由此得廣/2J-h/2（x）x=ody = 一Fn，得 B =-rh/22Mj （Ox）x二oydy = -M,得 C = -匚 h/2Txy）gody = 得 Ah + ： Dh3 = Fs由式(a) (b)解出3FS最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均己滿足的 條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得_券（4詁）28. 設(shè)題3-9圖中的簡支梁只受重力作

42、用，而梁的密度為p,試用教材3-4中的 應(yīng)力函數(shù)(e)求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖。q1F - - 一 - - - - - - - 一三_J 一 _y解(1)應(yīng)力函數(shù)為X?A0 = y (Ax2 + By2 + Cy + D) + x(Ey3 + Fy2 + Gy) - yE-7y4 + Hy3+Ky2Ca)o(2)應(yīng)力分量的表達式ax =y (6Ay + 2B) + x(6Ey + 2F) - 2Ay3 2By2 + 6Hy+ 2K(b)Oy = Ay3 + By2 + Cy + D pgy( c)Txy 二 一 x(3Ay2 + 2By + C) - (3Ey2 + 2Fy + G)(d)這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能夠選擇適當(dāng) 的常數(shù)A,B,，K,使所有的邊界條件都滿足，則應(yīng)力分量式(b) , (c), (d)就是 正確的解答。(3)考慮對稱性。因為yz面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對稱 于yz面。這樣是6c和Oy是x的偶函數(shù)，而丫紗是x的奇函數(shù)，于是由式(b) 和(d)可見（4）考察邊界條件：在主要邊