線性代數(shù)考試題及答案

1、 學(xué)年第一學(xué)期期末考試20102009 _ 試卷線性代數(shù)_ 分鐘完卷。分，120、本試卷共6頁，五個大題，滿分100答卷說明：1_ 2、閉卷考試。 _號 學(xué)） 線 總分 四 五一 二 三 （_ 題號_ _ 分?jǐn)?shù)_ _ :_ 總分人： 評閱人_ _名 ) 分,共24一、單項選擇題。(每小題3分 得分姓 ） 級 11?31封班（1?311_? 】1.行列式【 _1311?_311?1_3021 (B) (A) (D) (C) 業(yè)專_? ?AA?323?A 為，階方陣，數(shù)，則設(shè)【 】2._6?624?24 (A) (B) (C) (D) _）_密n,A,B 【 】3.已知為階方陣，則下列式子一定正確

2、的是_系（_222BABB)A?2(A?BA?AB (B)(A)_22 BA?ABBB)?A?(AB)(A?_ (D) (C)_ ? _0a?A?3A?A ，則為階方陣, 設(shè)【 】4._234aaaa B) （ (C) (A) (D) AB等價，則有 5.設(shè)矩陣與】【 R(A)?R(B)R(A)?R(B) (B) (A) R(A)?R(B)R(A)R(B)的大小 和 (D) 不能確定 (C) nAx?0Ax?0Ar有非零解【 】6.設(shè)的秩為元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣，則的充分必要條件是 r?nr?nr?nnr? (B) (A) (C) (D) a,a,?,a(m?2)線性相關(guān)的充分必要條件是

3、】7. 向量組【 m12a,a,?,a中至少有一個零向量 (A) m21a,a,?,a中至少有兩個向量成比例 (B) m12a,a,?,am?1個向量線性表示中每個向量都能由其余 (C) m12a,a,?,am?1個向量線性表示中至少有一個向量可由其余(D) m12nA與對角陣相似的充分必要條件是8. 階方陣【 】nn?(A)RA個互不相同的特征值 (B) 有(A)nAA一定是對稱陣 個線性無關(guān)的特征向量(C) (D)有 ) 分共15(每小題3分,二、填空題。 得分 21,11,?,12,?32D，則已知1.，它們的余子式分別為階行列式行元素分別為的第?D 。 64?01?X?X 。 2.設(shè)矩

4、陣方程，則?0211 ?,?xbAx?為對應(yīng)齊次線性方程組的一個特解，設(shè)是非齊次線性方程組3.210Ax?Ax?b的基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組的通解為 . nnm?r)?(RAS?0AxA的最大無的解集設(shè)4.元齊次線性方程組矩陣，則的秩?RS 。 關(guān)組的秩s00 2?AA 5.設(shè)是方陣的特征值，則是的特征值 ). 分,共40(三、計算題每小題8分 得分 02?1521?13。1 計算行列式102?13412 012?13?21?AA。已知矩陣2. ，求其逆矩陣?814? ?,3是它的三個解向量且3.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為 ，已知31221?23?，求該方程組的通解。， 312

5、?34?45? 12?A 的特征值和特征向量。4.求矩陣?21? 222xx?6xx?2xx?2x?f?x?2x5 成標(biāo)準(zhǔn)型。5.用配方法化二次型311132223 ) 分每小題8分,共16四、綜合體( 得分 1. 解下列非齊次線性方程組1x?x?x?2x?4213?2?x?x?4x2x?2 ?4123?1x?x?x?x2?4123 2. 已知向量組 123?a?2,a?3,a?1 ?312?1613?(1)(2)向量組的一個最大無關(guān)組，求并把不屬于最大無關(guān)組的向量用向量組的秩； 該最大無關(guān)組線性表示。 5分）五、證明題得 2n0E?A?2A?E2AA?A 及都可逆，并滿足，證明證明：設(shè)階方陣

6、1?1?)(A?2EA 求。及 24分3每小題分,共一、單項選擇題。(1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C ) 15分分,共二、填空題。(每小題312?)?R(c,?xcc?c?r?n4 3. 4. 1. 2. 5. ?21212164?2? 三、計算題(每小題8分,共40分). 1. 2?5102?510?23?21320?1?=解：（2分） ?1140?1?2?101?73213420?0512?1140?1?= （2分）?20500?401000?012?5?11?1?40?=（2分） ?200?50?0000? 分）=0（2102?132?1A?A。已知矩陣，

7、求其逆矩陣 2.?814?102100?(A,E)?2?13010 （解： 2分） ?108041?2100?112?r?14010?0 （4分）?116?001?2?112?101A?4則 分）（2 ?11?6?,3是它的三個解向量且設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3. ，已知31221?23?，求該方程組的通解。， 312?34?54?Ax?0S4?3?1，因此齊解：由已知可得：對應(yīng)的齊次線性方程組的解集的秩為 Ax?0的任意非零解即為它的一個基礎(chǔ)解系。（3次線性方程組分） ?)?(?2? 令 321?2b?bA?b)?2A?AA0?A2?(? 則331122T?0?6),4,5,?

8、(30?Ax 分）（3所以的一個基礎(chǔ)解系。為齊次線性方程組b?Ax 由此可得非齊次線性方程組的通解為：32?34?(k?x?k?R?k)（2分） ?45?65?21?A的特征值和特征向量。 4.求矩陣?12?A的特征多項式為：解： ? 1?2? ?3)?1E?()(A? ?12?3?1,A。（4的特征值為分） 所以 21?1時，對應(yīng)的特征向量滿足）當(dāng) （11x011?1?x?x ，解得：?21x011?21?1?p（2分）對應(yīng)的特征向量可取則 ?11?1?3時，對應(yīng)的特征向量滿足2）當(dāng) （1x01?1?1?x?x ，解得：?21x011?21?3p?（2則對應(yīng)的特征向量可取分） ?1211?2

9、22xx?xx?xx?x?x?xf?25226 成標(biāo)準(zhǔn)型。用配方法化二次型5.323121321222xx?6x2xx?2x?5f?x?2xx? 解：313311222222xx?x?4x?4?(x?x?x) 313222322)xx)?(x?2?(x?x? 分）（ 432132y?x?x?x?3112?22y?x?2xf?y?yf（ 令化成標(biāo)準(zhǔn)型得：4則把分） ?32221?y?x?33四綜合題（每小題8分,共16分) 1.解下列非齊次線性方程組 2x?x?x?x?1?4321?4x?2x?2x?x?2 ?4312?2x?x?x?x?1?4312B作初等行變換 解：對增廣矩陣21?11121

10、?101?r?0002110B?42?2 分）（5?0000021?1?11?由上式可寫出原方程組的通解為： x100?1?x11?2?2(c,c?R?c)?c（3分） 1212?x0013?x000?42.已知向量組 123?a?2,a?3,a?1 ?312?161?3?(1)(2)向量組的一個最大無關(guān)組，求并把不屬于最大無關(guān)組的向量用向量組的秩； 該最大無關(guān)組線性表示。 310?712?r?1A?25013解： 分）（2 ?0160031?R?2a,a個向量，知則 2，（分）故向量組的最大無關(guān)組有221A為向量組的一個最大無關(guān)組。（2分） a?7a?5a（2且分） 213五、證明題（5分） 21?n0E?A?A?2AEAA?A2及及滿足證明：設(shè)，證明階方