求函數(shù)極限的若干方法 畢業(yè)論文

1、通化師范學(xué)院本 科 生 畢 業(yè) 論 文（ 2013 屆 ）題 目: 求函數(shù)極限的若干方法 系 別： 數(shù) 學(xué) 學(xué) 院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)： 三 班 作者姓名： 學(xué)號(hào)： 指導(dǎo)教師： 職稱： 教 授 學(xué)歷： 本 科 論文成績(jī)： 2013 年 5 月目 錄摘 要.abstract.1引言.12求函數(shù)極限的若干方法.1 2.1利用函數(shù)極限的定義.1 2.1.1用時(shí)函數(shù)極限的定義求函數(shù)極限.12.1.2用時(shí)函數(shù)極限的定義求函數(shù)極限.12.2利用兩個(gè)重要極限.2 2.2.1利用.22.2.2利用.22.3利用等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)極限.32.4利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限.3 2.4.1利用洛必達(dá)法

2、則求型不定式極限.42.4.2利用洛必達(dá)法則求型不定式極限.4 2.5利用泰勒公式求函數(shù)極限.4 2.6利用定積分求函數(shù)極限.52.6.1直接利用定積分的定義求函數(shù)極限.52.6.2變乘積極限為和式極限.53結(jié)束語(yǔ).6致謝語(yǔ).6參考文獻(xiàn).6指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ).評(píng)閱人評(píng)語(yǔ).求函數(shù)極限的若干方法 摘 要：極限是貫穿數(shù)學(xué)分析全過(guò)程的重要概念，同時(shí)也是近代微積分的基礎(chǔ)，本文主要對(duì)函數(shù)極限的求解方法進(jìn)行了歸納與總結(jié)，且在具體方法中應(yīng)注意的問(wèn)題、細(xì)節(jié)、技巧做了說(shuō)明，從而方便我們了解函數(shù)的各種極限及求法.關(guān)鍵詞：函數(shù)極限；求解方法；歸納總結(jié)several methods of solving the limit

3、of function abstract：limit through mathematical analysis in the whole process of important concepts in modern times, but also the foundation of calculus, this paper focuses on the function limit method are concluded and summarized, and the problems should be noticed in specific methods, skills, deta

4、il illustrated, so as to facilitate our understanding of function of the various limits and method.key word：limit of function; method of solving;induction and summary1引言極限是微積分學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是微積分中各種概念以及計(jì)算方法能夠建立和應(yīng)用的前提，求解函數(shù)極限的方法很多，但每種方法都有一定的局限性，且都不是萬(wàn)能的，所以我們要對(duì)具體的求極限問(wèn)題追求適合的方法.2求函數(shù)極限的若干方法2.1利用函數(shù)極限的定義2.1.1用時(shí)

5、函數(shù)極限的定義求函數(shù)極限定義1 設(shè)為定義在上的函數(shù)，為定數(shù)，若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作或.例1 函數(shù)，證明時(shí)，.證明 ，要使不等式成立.即，要使不等式成立.解得，取，于是，,，有，即.2.1.2用時(shí)函數(shù)極限的定義求函極限定義2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，為定數(shù),若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得時(shí)，有 ，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作或.例2 函數(shù)， 證明時(shí).證明 ， ，取，則當(dāng)時(shí)，有，由函數(shù)極限的定義，有 .通過(guò)例1、例2我們得出，為了找到相應(yīng)的，要從開(kāi)始分析，而滿足該式的應(yīng)是無(wú)窮多，從而不唯一，根據(jù)定義，只要找到一個(gè)合適的就可以了.因而我們要著重說(shuō)明的存

6、在性，所以我們常將進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯螅兂梢粋€(gè)關(guān)于的比較簡(jiǎn)單的式子，使其小于，進(jìn)而解出相應(yīng)的來(lái)，從而正確利用定義證出函數(shù)極限.2.2利用兩個(gè)重要極限2.2.1利用例3 求解 2.2.2利用例4 解 綜上，凡是含有三角函數(shù)的型末定式和型末定式，我們都可以用兩個(gè)重要極限的末定式，都能求出結(jié)果.2.3利用等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)極限 定義3 若，則稱與是當(dāng)時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小量，記作，常用的等價(jià)代換有，.例5 求解 由于，而， ，故有例6 求解 原式 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求函數(shù)極限時(shí)，應(yīng)注意，只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量替代，對(duì)極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代.在求極限時(shí)，須把分子或

7、分母看作一個(gè)整體從而代換.進(jìn)而求出函數(shù)極限.2.4利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限定理1 設(shè)在某一極限過(guò)程中，函數(shù)，滿足條件（1）；或；（2）在點(diǎn)某空心領(lǐng)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（3）（可為實(shí)數(shù)，也可為），則有.2.4.1利用洛必達(dá)法則求型不定式極限例7求解 例8 求解 此題屬于型，將原式中的寫(xiě)在分母上，使其變成型后應(yīng)用洛必達(dá)法則，即2.4.2利用洛必達(dá)法則求型不定式極限例9 求解 例10 求解 洛必達(dá)法則是求兩個(gè)無(wú)窮小量或無(wú)窮大量之比的極限的，在同一運(yùn)算過(guò)程中可連續(xù)使用，直到求出所求極限.但是，對(duì)于其他不定式的極限如果無(wú)法判斷其極限狀態(tài)，則洛必達(dá)法則失敗，但只需經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變換，它們一般可以化為型或型的極限

8、.2.5利用泰勒公式求函數(shù)極限定義3 設(shè)在點(diǎn)具有階導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)的泰勒公式為，特別地當(dāng)時(shí)，稱麥克勞林公式. 例11 求 解 ， ， ，從而得在利用泰勒公式求函數(shù)極限時(shí)，應(yīng)注意分清哪些項(xiàng)需要展開(kāi)，展到什么程度，哪些項(xiàng)保留.2.6利用定積分求函數(shù)極限2.6.1直接利用定積分的定義求函數(shù)極限定義4 設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，對(duì)于的任意分割以及在其上任意選取的點(diǎn)集有.例12 求解 2.6.2變乘積極限為和式極限例13 求解 令 ， 則 ，則，所以由定積分的定義我們知道，定積分是某一和式的極限，因此，如果關(guān)于的某一和式可以表示成某一積分的形式時(shí)，則可利用定積分，求出這個(gè)和式的極限，顯然，若要利用定積分求函數(shù)極限，其關(guān)鍵在于將和式化成某一函數(shù)的積分形式.3結(jié)束語(yǔ)以上方法是求函數(shù)極限的重要方法，在求解極限的題目時(shí)，我們要細(xì)心分析，從而擇最合適的方法，這樣不僅準(zhǔn)確率更高，而且會(huì)省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果.致謝語(yǔ)感謝 老師對(duì)我在論文寫(xiě)作中的指導(dǎo)與幫助，是您的耐心教導(dǎo)，使我的論文得以完成，真心的說(shuō)一聲，老師您辛苦了！參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）上冊(cè)m.北京：高等教育出版社,2001,3:42-64.2程鵬,張洪瑞,李占現(xiàn).求函數(shù)極限的方法j.河南科技學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)報(bào)）,2009,36(3):133-135.3宋立溫,利用等價(jià)無(wú)窮小