平面向量練習題集答案

1、平面向量練習題集答案典例精析題型一向量的有關概念【例11下列命題: 向量AB的長度與BA的長度相等; 向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反; 兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同; 向量AB與向量CD是共線向量，則 A、B、C、D必在同一直線上.其中真命題的序號是【解析】對；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故錯；顯然錯;AB 與 CD是共線向量,則A、B、C、D可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故錯.故是真命題的只有.【點撥】正確理解向量的有關概念是解決本題的關鍵，注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可.【變式訓練1】下列各式:|a|= Ja y ;

2、(a b) = a (b 磯); OA OB = BA;在任意四邊形 ABCD中，M為AD的中點，N為BC的中點，貝U AB + DC = 2 MN ;a = (cos a, sin a, b= (cos 3, sin 9，且 a與 b不共線,則(a+ b)丄(a b).其中正確的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【解析1選D.| a|=Ja*a正確;(a b) c 力 (b c);OA OB = BA正確；如下圖所示,MN =MD + DC.+ CN 且 MN = MA + AB + BN ,兩式相加可得2MN = AB + DC，即命題正確;因為a, b不共線，且|a|= |b|= 1，所

3、以a+ b, a b為菱形的兩條對角線,即得(a+ b)丄(a b).所以命題正確題型二 與向量線性運算有關的問題【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點0,點M在線段DO 1 * 1 * 上，且DM =D0，點N在線段0C上，且0N=0C,設AB =a, AD=b,試用33a、b 表示 AM , An , MN 【解析】在？ABCD中，AC，BD交于點0, 1-1 H H 1 所以 DO = 2DB = 2( AB AD ) = 2(a b),A0 = 0C = 2 AC = 2( AB + AD ) = (a + b).1H-1又DM =3 DO , ON =3OC ,- -

4、1 所以 AM = AD + DM = b+3 D01115=b+3(a b)=6a+6b，AN = A0 + 0N = 0C + 30C4 4 12=30C = 3 $(a + b) = 3(a + b).所以 MN = AN - AM21511=3(a + b) (6a + 6b)=尹一6b.【點撥】向量的線性運算的一個重要作用就是可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應用，在運用向量解決問題時，經(jīng)常需要進行這樣的變形【變式訓練2】0是平面a上一點，A、B、C是平面a上不共線的三點，平面a內(nèi)的動點P滿足0P =0A + X AB + AC), 若 匕2時，貝

5、y PA ( PB + PC )的值為【解析】由已知得0P - 0A =X AB + AC),*1-d*d A-i- 即 AP = XAB + AC)，當 X= 2 時，得 AP = 2( AB + AC),所以 2AP = AB + AC，即 AP AB = AC AP , 所以BP = PC , 所以 PB + PC = PB + BP = 0,所以 PA (PB + PC)= PA *0=0,故填 0.題型三向量共線問題【例3】 設兩個非零向量a與b不共線.(1)若 AB = a+ b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a b),求證：A, B, D三點共線；試確定實數(shù)k,使k

6、a+ b和a + kb共線.【解析】(1)證明：因為 AB = a+ b, BC = 2a+ 8b, CD = 3(a b),所以 BD = BC + CD = 2a + 8b+ 3(a b)= 5(a + b)= 5 AB ,所以AB , BD共線.又因為它們有公共點 B,所以A，B，D三點共線.因為ka + b和a + kb共線,所以存在實數(shù) 入使ka+ b= Xa + kb),所以(k Xa =(入：k 1)b.因為a與b是不共線的兩個非零向量,所以k X=入1 = 0,所以k2 1 = 0,所以k=.【點撥】(1)向量共線的充要條件中，要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之

7、共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線【變式訓練3】已知O是正三角形BAC內(nèi)部一點，OA+2OB+3OC=0,則厶OAC的面積與 OAB的面積之比是()3A.32B.2C.2D.3【解析】 如圖，在三角形 ABC中， OA + 2OB + 3OC = 0，整理可得 OA + OC + 2(OB + OC)= 0.1令三角形ABC中AC邊的中點為 E, BC邊的中點為F,則點O在點F與點E連線的-處，即OE = 2OF.設三角形 ABC 中 AB 邊上的高為 h

8、，貝y Szoac= Szoae + Szoec = 2 OE * (十?) = OE h,SZOAB= AB *= 4aB h,2由于 AB = 2EF , OE = 3ef，所以 AB= 3OE ,Ssac所以=S/oab12OEh 22= 3.故選 B.1 AB h 4總結提咼1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合）的情形，而向量平行則包括共線（即重合）的情形.2.判斷兩非零向量是否平行，實際上就是找出一個實數(shù)，使這個實數(shù)能夠和其中一個向量把另外一個向量表示出來.3.當向量a與b共線同向時，|a+ b|= a|+ |b|;當向量a與b共線反向時，|a +

9、 b|=|a|b|;當向量a與b.不共線時，|a+ b| 2佰？ abw 25 ,所以 c2 75 ,即 O 劉3 ,所以 a+ b+ O 10+5/3,當且僅當a = b = 5時，等號成立.故選B.典例精析題型一利用平面向量數(shù)量積解決模、夾角問題【例11已知a, b夾角為120且|a = 4, |b|= 2，求:(1)|a + b|;(2) ( a+ 2b) (a + b);(3) a與(a+b)的夾角0.【解析1 (1)(a+ b)2= a2+ b2+ 2a b=16 + 4 2 4X2 2= 12,所以|a+ b|= 2竊.2 2(2)(a+ 2b) - (a + b) = a + 3

10、a- b+ 2b=16 3X4X2X2 + 2X4 = 12.2I(3)a - (a+ b)= a + a - b= 16 4X2X2 =佗a da +b) 12所以cos 0= 討=當所以=6【點撥】禾U用向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律可以解決向量的模、夾角等問題【變式訓練1】已知向量a,b,c滿足:|a|= 1 ,b|= 2, c= a+b,且c丄a,則a與b的夾角大小是【解析】.由 C丄a? c- a = 0? a2 + a - b= 0,所以cos10= 2 所以 0= 120題型二利用數(shù)量積來解決垂直與平行的問題【例21在厶ABC中，AB = (2, 3), AC = (1, k)，

11、且 ABC的一個內(nèi)角為直角，求k的值.【解析1當/A= 90時,有 AB - AC = 0,所以2X1 + 3 - k= 0,所以k=-2 ；當/B= 90時，有AB -BC = 0,又 BC = AC AB = (1 2, k 3) = ( 1, k 3),11 所以 2X( 1) + 3X(k 3)= 0? k =;3當/C= 90時，有 AC - BC = 0,所以一1 + k - (k 3) = 0,所以 k2 3k 1= 0? k=呼3所以k的取值為一I, y或呼3【點撥1因為哪個角是直角尚未確定，故必須分類討論.在三角形中計算兩向量的數(shù)量積，應注意方向 及兩向量的夾角.【變式訓練

12、21 ABC 中，AB = 4, BC= 5, AC = 6,求 AB - BC + BC - CA + CA - AB.【解析1 因為 2AB - BC + 2BC - CA + 2CA - AB=(AB BC + CA AB)+ (CA - AB + BC - CA)+ ( BC CA + BC - AB)=AB ( BC + CA) + CA (AB + BC )+ BC - (CA + AB)=AB BA + CA AC + BC - CB=42 62 52= 77.所以 AB - BC + BC Ca + Ca - AB = y.題型三平面向量的數(shù)量積的綜合問題【例3】數(shù)軸Ox, O

13、y交于點O,且/ xOy=扌，構成一個平面斜坐標系，ei,冊分別是與Ox, Oy同向的單位向量，設 P為坐標平面內(nèi)一點，且OP = xe1 + ye2,則點P的坐標為(x, y),已知Q( 1, 2).(1)求|0Q|的值及OQ與Ox的夾角;過點Q的直線I丄OQ，求I的直線方程(在斜坐標系中).1【解析】(1)依題意知，ei e2 =1且 OQ = 1 + 22,99所以 OQ = ( 0+ 2e2) = 1 + 4 40 2= 3.所以|OQ |=羽.又 OQ e1 = ( ei+ 2e2) e1 = 6?+ 2ee2= 0.所以OQ丄J1,即OQ與Ox成90。角.(2)設 I 上動點 P(

14、X, y)，即 OP = xe1 + ye2,又OQ丄，故OQ丄QP,即(X + 1)ei + (y 2)2 ( ei+ 2 2)= 0.1所以一(x+1)+(X+ 1) (y 2) 2 + 2(y 2)= 0,所以y= 2，即為所求直線I的方程.【點撥】 綜合利用向量線性運算與數(shù)量積的運算，并且與不等式、函數(shù)、方程、三角函數(shù)、數(shù)列、解 析幾何等相交匯體現(xiàn)以能力立意的命題原則是近年來高考的命題趨勢【變式訓練3】在平面直角坐標系 xOy中，點A(5, 0).對于某個正實數(shù) k,存在函數(shù)f(x)= ax2(a0),使得OP =入* (-OA + -OQ)(入為常數(shù))，其中點P, Q的坐標分別為(1, f(1), (k, |OA| |OQ|f(k)，則k的取值范圍為(A.(2，+ oB.(3，+ooC.(4 ,+o)D.(8，+oo【解析】如圖所示，設= OM , OQ = On ,|OA|OQ|OM + ON = OG，則 OP = Q