幾何概型地經(jīng)典的題目型及問題詳解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案幾何概型的常見題型及典例分析一幾何概型的定義1. 定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.2. 特點(diǎn)：（1）無限性，即一次試驗(yàn)中，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限 多個(gè)；（2）等可能性，即每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性均相等 .3.計(jì)算公式:P（A）構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體 積）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）說明：用幾何概率公式計(jì)算概率時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件所對(duì)應(yīng) 的幾何圖形，并對(duì)幾何圖形進(jìn)行度量.4.古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系：（1）聯(lián)系：每個(gè)基本事件發(fā)生的都是等可能的.（2

2、）區(qū)別：古典概型的基本事件是有限的， 幾何概型的基本事件是無 限的；兩種概型的概率計(jì)算公式的含義不同.常見題型（一）、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型例1、在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x1X，cos2-的值介于0到2之間的概率為（).A.-3B.C.D.分析：在區(qū)間1,1上隨機(jī)取任何一個(gè)數(shù)都是一個(gè)基本事件.所取的數(shù)是 區(qū)間1,1的任意一個(gè)數(shù)，基本事件是無限多個(gè)，而且每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件的發(fā)生的概率只與自變量x的取值范圍的11時(shí)要使co吟的值介于區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)，符合幾何概型的條件 解：在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)X,即x 0到-之間,需使x 或 x2 223322 2 1 x 2或-x 1，

3、區(qū)間長(zhǎng)度為3 3由幾何概型知使cosx的值介于0到1之間的概率為2 22故選A.符合條件的區(qū)間長(zhǎng)度J 1所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)間長(zhǎng) 度 23 .例2、如圖,A,B兩盞路燈之間長(zhǎng)度是30米，由于光線較暗，想在其間 再隨意安裝兩盞路燈 C,D，問A與C,B與D之間的距離都不小于10米的 概率是多少？思路點(diǎn)撥從每一個(gè)位置安裝都是一個(gè)基本事件，基本事件有無限 多個(gè)，但在每一處安裝的可能性相等，故是幾何概型.解 記E: “ A與C,B與D之間的距離都不小于10米”，把AB1等分，由于中間長(zhǎng)度為妙3=10米,-P(E)1030精彩文檔題中的等可能參數(shù)是平行弦的中點(diǎn)，它等可能MKON圖1-1圖1-2方法技巧我們將

4、每個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生 則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型 就可以用幾何概型來求解.例3、在半徑為R的圓內(nèi)畫平行弦，如果這些弦與垂直于弦的直徑的交 點(diǎn)在該直徑上的位置是等可能的，求任意畫的弦的長(zhǎng)度不小于 R的概率 思考方法：由平面幾何知識(shí)可知，垂直于弦的直徑平分這條弦，所以， 地分布在于平行弦垂直的直徑上（如圖1-1 ） O 也就是說，樣本空間所對(duì)應(yīng)的區(qū)域 G是一維空 間（即直線）上的線段 MN而有利場(chǎng)合所對(duì) 應(yīng)的區(qū)域G是長(zhǎng)度不小于R的平行弦的中點(diǎn)K 所在的區(qū)間。解法1.設(shè)EF與E1F

5、1是長(zhǎng)度等于R的兩條弦,直徑MN垂直于EF和EiFi,與他們分別相交于K和Ki(圖1-2)。依題設(shè)條 件，樣本空間所對(duì)應(yīng)的區(qū)域是直徑 MN有L(G)=MN=2R注意到弦的長(zhǎng)度 與弦心距之間的關(guān)系比，則有利場(chǎng)合所對(duì)對(duì)應(yīng)的區(qū)域是 KK,有L(Gk) KK1 2OK 2 R22R2,3R以幾何概率公式得P l(ga)3R30L(G)2R2解法2.如圖1-1所示，設(shè)園O的半徑為R, EF為諸平行弦中的任意一條,直徑MN弦EF,它們的交點(diǎn)為K，則點(diǎn)K就是弦EF的中點(diǎn)。設(shè)OK=x則 x -R,R, 所以 L(G)=2R設(shè)事件 A為“任意畫的弦的長(zhǎng)度不小于R”，則 A的有利場(chǎng)合是2 R2X R,解不等式，得

6、 x所以 L(Ga)2 3 R 3R2于是P(A)塞2R評(píng)注本題結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，題中直接給出了等可能值參數(shù)；樣本空間和 有利場(chǎng)合所對(duì)應(yīng)的區(qū)域，從圖上都可以直接看出。兩種解法各有特色， 解法1充分利用平面幾何知識(shí)，在本題似較簡(jiǎn)便，解法 2引進(jìn)變量x把 代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)有機(jī)的結(jié)合起來，從表面上看解題過程不甚簡(jiǎn)便， 但確具有推廣價(jià)值，這種方法可以求解復(fù)雜的幾何概率問題。例4、在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M,并以線段AM為邊作正方形， 求這個(gè)正方形的面積介于 36cm與81cm之間的概率.分析：正方形的面積只與邊長(zhǎng)有關(guān)，因此，此題可以轉(zhuǎn)化為在12cm長(zhǎng)的 線段AB上任取一點(diǎn)M求使得AM的長(zhǎng)度介于

7、6cm與9cm之間的概率. 解：記“面積介于36cm與81cm之間”為事件A,事件A的概率等價(jià)于 小結(jié)：解答本例的關(guān)鍵是，將正方形的面積問題先轉(zhuǎn)化為與邊長(zhǎng)的關(guān)系 練習(xí)：“長(zhǎng)度介于6cm與 9cm之間”的概率，所以,P(A)=9 6_11242、已知地鐵列車每10 min 一班，在車站停1 min，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是()1.10B.C.11D.解析：設(shè)乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車為事件A,試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)1域長(zhǎng)度為10 min，而構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度為1 min，故P（A）=五.答案：Ax 23、已知集合Ax| 1x0，在集合A中任取一個(gè)元素3 Xx，則事件“ x An B”的概率

8、是.解析：由題意得A=x| 1x5 , B= x|2x0成立的概率是解析：f (1) _ 1 + a-b0, 即卩 a b 1,如圖：x (L(Lyy7x y) x,x y) y ，即o7A(1,0)9Saabc,B(4,0) , C(4,3) , Sabc= ， P=92_ _ _9 Se 4X4_ 32.答案:932練習(xí)1、ABC助長(zhǎng)方形，A吐2, BC= 1, 0為AB的中點(diǎn)在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到0的距離大于1的概率為C. -1-n解析：對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形的面積為2X1 = 2,而取到的點(diǎn)到0的距離小于等于11 2時(shí)，其是以O(shè)為圓心，半徑為1所作的半圓，對(duì)應(yīng)的面積為2xnX12

9、1=1冗，那么滿足條件的概率為：1 27 = 1：答案：B2、設(shè)一K a 1， K b 1,則關(guān)于x的方程x2 + ax+ b2= 0有實(shí)根的概率是()11A二B.C.24解析：由題知該方程有實(shí)K a 1,K b 0,積為1,總的事件對(duì)應(yīng)面積為正方形的面積, 故概率為4.答案：B3、已知 Q = ( x, y)| x + y0, y 0, A= ( x, y)| x0,x 2y 0，若向區(qū)域Q上隨機(jī)投一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率1B.C.D.解析：作出兩集合表示的平面區(qū)域如圖所示容易得出Q所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?AOB及其邊界，A表示的區(qū)域?yàn)槿切蜲CD及其邊界.容易求得D(4,2)恰為直

10、線x = 4, x 2y = 0, x+ y= 6三線的交點(diǎn).1 1則可得SaAOB= 2 6X 6= 18, Saocd=4X 2= 4.所以點(diǎn)P落在區(qū)域A的概率為備9.答案：Dx4、在區(qū)域x0內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在單位圓X 2+ a+ b0+y2= 1內(nèi)的概率為()B.C.D.解析：區(qū)域?yàn)?ABC內(nèi)部(含邊界)，則概率為P=S半圓SABC.答案：DP=3X （*x 亍X12）=干.答案:65、在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P,貝U使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是.解析：以A、B、C為圓心，以1為半徑作圓，與 ABC相交出三個(gè)扇形(如圖所示)，當(dāng)P落在陰影部分時(shí)符合要求

11、.X21 36、在區(qū)間0,1上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，J則函數(shù)f(x)=歹+ ax b在區(qū) 間1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為 .2解析：f (x) = x + a，故f (x)在x 1,1上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)1 3f(x) = x + ax b在1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即有f( 1) f(1)01 1 1 1成立，即(2 a b)( 2 + a b)0，可化為0 a10 b1或 2 + a b0,由線性規(guī)劃知識(shí)在平0 ai001 + a+ b0, b0時(shí),方程f(x)二0有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為 ab. 當(dāng) ab 時(shí)，a, b 取值的情況有(1,0) , (2,0) , (2,1) ,

12、 (3,0) , (3,1), (3,2),即A包含的基本事件數(shù)為6 ,一 6 1方程f(x) = 0有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率P(A) = 12=-.(2) v a從區(qū)間0,2中任取一個(gè)數(shù),b從區(qū)間0,3中任取一個(gè)數(shù),則試 驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域 Q=( a , b)|0 a 2,0 b 3,這是一個(gè)矩形 區(qū)域，其面積Sq = 2X 3= 6.設(shè)“方程f(x) = 0沒有實(shí)根”為事件B,則事件B所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?M= ( a , b)|0 a 2,0 b 0,y 0,z 0(1) 構(gòu)造出隨機(jī)事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形；(2) 利用該圖形求事件A的概率.思路點(diǎn)撥：在空間直角坐標(biāo)系下，要明確x2+y2+z2

13、v 1 表示的幾何圖形是以原點(diǎn)為球心，半徑r=1的球的內(nèi)部.事 件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形所在位置是隨機(jī)的， 所以事件A的概 率只與事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形的體積有關(guān)，這符合幾何概 型的條件.解：(1) A=(x,y,z)| x2+y2+z2v 1, x0,y 0,z 0表示空間直角坐標(biāo) 系中以原點(diǎn)為球心，半徑r=1的球的內(nèi)部部分中x0,y 0,z 0的部分, 如圖所示.(2)由于x,y,z屬于區(qū)間0,1，當(dāng)x=y=z=1時(shí)，為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，事件A為球在正方體內(nèi)的部分.- P(A)8 31313方法技巧：本例是利用幾何圖形的體積比來求解的幾何概型，關(guān)鍵要明白點(diǎn)P(x,y,z)的集合所表示的圖形.從本例

14、可以看出求試驗(yàn)為幾何 概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域的幾何度量，然后 代入公式即可解，另外要適當(dāng)選擇觀察角度(五) 、會(huì)面問題中的概率 例1、某碼頭接到通知，甲、乙兩艘外輪都會(huì)在某天 9點(diǎn)到10點(diǎn)之間 的某一時(shí)刻到達(dá)該碼頭的同一個(gè)泊位，早到的外輪要在該泊位?？?20 分鐘辦理完手續(xù)后才離開，求兩艘外輪至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等 待的概率。解析：設(shè)事件A表示兩艘外輪至少有一艘在停 靠泊位時(shí)必須等待，兩艘外輪到的時(shí)間分別為9點(diǎn)到10點(diǎn)之間的x分、y分，則|x-y| 20,020 x y 20 x,y 60, 即卩A（x, y）| 0 x 60，以9點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平0 y 60面直角

15、坐標(biāo)系如圖所示，事件 A所對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖中陰影區(qū)域所示：所以，其概率P（A）=陰影面積/ABCD面積=5/9。 小結(jié)：“會(huì)面”類型常見的載體是兩人相約見面、輪船?？坎次坏?，其 關(guān)鍵是構(gòu)建相遇的不等式（組），借助于線性規(guī)劃知識(shí)，將其面積之比 求出，使得問題得以解決。例2、兩人約定在20： 00到21： 00之間相見，并且先到者必須等遲到 者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在 20： 00到21： 00 各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率.思路點(diǎn)撥 兩人不論誰(shuí)先到都要等遲到者40分鐘，即-小時(shí).設(shè)兩 3人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見

16、， 當(dāng)且僅當(dāng)-2 x-y -，因此轉(zhuǎn)化成面積問題，利用幾何概型求解.33解設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí) 間范圍內(nèi)相見，22當(dāng)且僅當(dāng)-2 x-y 2. 33兩人到達(dá)約見地點(diǎn)所有時(shí)刻（x,y）的各種可能結(jié)果 可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)來表示，兩人 能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見的所有時(shí)刻（x,y ）的各種可 能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）來表示.因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范 圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為S陰影S單位正方形1（3）212方法技巧會(huì)面的問題利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成面積問題的幾何概 型.難點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用x,y

17、兩個(gè)坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)（x,y）, 從而把時(shí)間是一段長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，轉(zhuǎn)化成面 積型幾何概型問題.（六）、與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型 例1、小明家的晚報(bào)在下午5： 306： 30之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，小明一家在下午6: 007: 00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開始晚 餐.那么晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率是多少？ 分析：該題題意明確，但如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型需要從實(shí)際問題中分析出 存在的兩個(gè)變量.由于晚報(bào)送到和晚飯 開始都是隨機(jī)的，設(shè)晚報(bào)送到和晚飯開 始的時(shí)間分別為x、y，然后把這兩個(gè)變 量所滿足的條件寫成集合的形式，把問 題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解.解：設(shè)晚報(bào)送

18、到和晚飯開始的時(shí)間分別 為x、y .用(x，y)表示每次試驗(yàn)的結(jié) 果，則所有可能結(jié)果為：(x,y)5:30 x 6:30,6 y 7 ，即為圖3中正方形ABCD的面積；記晚報(bào)在晚餐開始之前被送到為事件A，則事件 A 的結(jié)果為：A (x, y)5:30 x 6:30,6 y 7, x y，即 為圖2中陰影部分區(qū)域.SABCD 11 1， S陰影1 .2 2 2 87所以所求概率為：P _也8-.SABCD 18故晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率是z.8反思：此類問題常會(huì)涉及兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系，其求解的步驟為：(1) 找設(shè)變量從問題中找出兩個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為 x,y ；(2) 集合表示.用(x,

19、y)表示每次試驗(yàn)結(jié)果，則可用相應(yīng)的集合分別表示 出全部結(jié)果和事件A所包含的試驗(yàn)結(jié)果.一般來說，兩個(gè)集合都 是幾個(gè)二元一次不等式的交集.（3） 作出區(qū)域.把上面的集合所表示的平面區(qū)域作出，并求出集合，A 對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積.（4）計(jì)算求解.由幾何概型公式求出概率.（七）、與定積分有關(guān)的幾何概型例1、在區(qū)間1,1上任取兩數(shù)a、b，求二次方程x2 ax b 0的兩根 都是實(shí)根的概率.分析：可用（a,b）表示試驗(yàn)結(jié)果.求出所有可能結(jié)果的面積和方程有實(shí)根的結(jié)果的面積，再利用幾何概型來解答解：用（a,b）表示每次試驗(yàn)結(jié)果，則所有可能結(jié)果為：(a, b) 1 a 1, 1 b 1，即為圖3中正方形ABCD的面

20、積；由方程有實(shí)根得：a2 4b 0，則方程有實(shí)根的可能結(jié)果為A (a,b)a2 4b 0, 1ibD1CMAaCa 1, 1 b 1 ，即為圖4圖4中陰影部分區(qū)域SABCD224 ， S陰影.陰影部分面積可用定積分來計(jì)算1 1 21 3a da 1 2 a1412圖5所以 B2 13，求概率為 ：S陰影SABCD136413240.5417 .（八）、與隨機(jī)模擬有關(guān)的幾何概型例1、如圖5,面積為S的正方形ABCD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形 M，可 按下面方法估計(jì)M的面積：在正方形ABCD中隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn)，若n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)落入M中，則M的面積的估計(jì)值為S，假設(shè)正方 n形ABCD的邊長(zhǎng)為2，M的面積為

21、1,并向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，以X表示落入M中的點(diǎn)的數(shù)目.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(I )求X的均值EX ;(II )求用以上方法估計(jì)M的面積時(shí)，M的面積的估計(jì)值與實(shí)際值 之差在區(qū)間(0.03,)內(nèi)的概率.k附表：P(k)C1toooo 0.25t 0.7510000 tt 0k2424242525742575P(k)0.04030.04230.95700.9590分析：本題從表面來看似乎與幾何概型無關(guān)，其實(shí)它是一個(gè)幾何概型的 逆向問題與n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的綜合題，而且本題有別于常規(guī)的面積型 概率計(jì)算，設(shè)計(jì)新穎，通過隨機(jī)模擬來求不規(guī)則圖形的面積。解：每個(gè)點(diǎn)落入M中的概率均為P Sm的面積1

22、 .依題意知 SaBCD4X B 10000,-1(I) EX 100002500 .4(U)依題意所求概率為P0.034 1100000.03 ，0.03100000.03P(2425 X 2575)2574C10000t 24260.25t0.7510000 t2574C10000t 24260.25t0.7510000 t2425C10000t 00.25t0.7510000 1精彩文檔0.9570 0.0423 0.9147.例2、利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算圖中陰影部分(由曲線y= 2x與x軸、x= 1圍成的部分)面積.思路點(diǎn)撥 不規(guī)則圖形的面積 可用隨機(jī)模擬法計(jì)算.解(1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩

23、組0,1上的隨機(jī)數(shù),a i=rand () , bi=rand().(2) 進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a i-0.5)*2,b=b 1*2,得到一組0,2 上的均勻隨機(jī)數(shù).(3) 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)Ni.(4) 計(jì)算頻率 也，則 叫即為落在陰影部分的概率的近似值.NN(5) 利用幾何概型公式得出點(diǎn)落在陰影部分的概率P S4(6) 因?yàn)閰?S ,所以S=紗即為陰影部分的面積N 4N方法技巧 根據(jù)幾何概型計(jì)算公式，概率等于面積之比，如果概率用 頻率近似在不規(guī)則圖形外套上一個(gè)規(guī)則圖形，則不規(guī)則圖形的面積近似 等于規(guī)則圖形面積乘以頻率.而頻率可以通過隨機(jī)模擬的方法得到，從 而求得不規(guī)則

24、圖形面積的近似值.(九) 、生活中的幾何概型例1、某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班，求此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率.分析：假設(shè)他在060分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的， 但在0到60分鐘之間有無窮多個(gè)時(shí)刻，不能用古典概型公式計(jì)算隨機(jī)事 件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因?yàn)榭蛙嚸啃r(shí)一班，他在0到60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到站等車是等可 能的,所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，而與該時(shí)間段的位置無關(guān)，這符合幾何概型的條件解：設(shè)A=等待的時(shí)間不多于10分鐘,我們所關(guān)心的事件A恰好是到站 等車的時(shí)刻位于50,6

25、0這一時(shí)間段內(nèi)，因此由幾何概型的概率公式，得 P(A)= 遼旦=丄，即此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率為1 .60 6 6例2、某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻 是任意的，求一個(gè)乘客到達(dá)車站后候車時(shí)間大于10分鐘的概率？分析：把時(shí)刻抽象為點(diǎn)，時(shí)間抽象為線段，故可以用幾何概型求解。解：設(shè)上輛車于時(shí)刻 T1到達(dá)，而下一輛車于時(shí)刻 T2到達(dá)，線段T1T2 的長(zhǎng)度為15,設(shè)T是T1T2上的點(diǎn)，且T1T=5, T2T=10,如圖所示：T2T1T記候車時(shí)間大于10分鐘為事件A,則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻落在線段 T1T上時(shí)，事件發(fā)生，區(qū)域D的測(cè)度為15,區(qū)域d的測(cè)度為5所以d的測(cè)度5

26、1P(A)D的測(cè)度153答：侯車時(shí)間大于10分鐘的概率是1/3.例3、假設(shè)題設(shè)條件不變，求候車時(shí)間不超過 10分鐘的概率. 分析：T2TiTd的測(cè)度 102D的測(cè)度 153例4、某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，并且出發(fā)前在車站停 靠3分鐘。乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客到達(dá)車站后候車 時(shí)間大于10分鐘的概率？分析：設(shè)上輛車于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車于時(shí)刻To到達(dá)，T2時(shí)刻出發(fā)。 線段T1T2的長(zhǎng)度為15,設(shè)T是T1T2上的點(diǎn)，且ToT2=3, TTo=1O,如圖所示:記候車時(shí)間大于10分鐘為事件A,則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻落在線段 T1T上時(shí)，事件A發(fā)生，區(qū)域D的測(cè)度為 所以15

27、,區(qū)域d的測(cè)度為15-3-10=2d的測(cè)度（）D的測(cè)度215例5、平面上畫有一組平行線，其間隔交替為 1.5cm和10cm任意地往 平面上投一半徑為2cm的圓，求此圓不與平行線相交的概率。思考方法本題的難處，在于題中沒有直接指明等可能值參數(shù)，為此， 需發(fā)掘“任意的往平面上投一直徑為 2cm的圓”之真實(shí)含義，找出具有 某種等可能的隨機(jī)點(diǎn)。注意到定半徑的圓的位置決定于圓心，可以取圓 心作隨機(jī)點(diǎn)，由于平行線可以向兩端無限延伸，而往平面上投圓又是任 意的，所以只要取這組平行線的某一條垂線就可以了；考慮到題設(shè)平行線的間隔交替的為1.5cm和10cm,則研究相鄰三條平行線之間情況就可 以反映問題的全貌。經(jīng)

28、上面的分析，我們可以取圓心為隨機(jī)點(diǎn)，它等可 能地分布在相鄰三條平行線的某一垂線上(如圖1-3 )由此原題不難解出。解設(shè)Li、L2、La是三條相鄰的平行線，EPF是它 們之間的垂線(圖1-3)，則樣本空間所對(duì)的區(qū) 域是線段EF,有L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm)注意到L1與L2相鄰1.5cm，所以圓心如果落在線 段EP上，那么圓與平行線必定相交。設(shè)半徑為 2cm的O OOO分別切L2、La于P、F,則事件的圖1有利場(chǎng)合所對(duì)應(yīng)的區(qū)域應(yīng)是線段 OO有P=611.50.5127L(GA)=OO=PF-OP-OF=10-2-2=6cm。則解題的評(píng)注 從本題可以看出，如果題中沒有直接指明等可

29、能值參數(shù), 關(guān)鍵，在于斟酌題設(shè)條件，發(fā)掘等可能值參數(shù)的含義，找出隨機(jī)點(diǎn)的分 布情況。例&廣告法對(duì)插播廣告的時(shí)間有一定的規(guī)定，某人對(duì)某臺(tái)的電視節(jié) 目做了長(zhǎng)期的統(tǒng)計(jì)后得出結(jié)論，他任意時(shí)間打開電視機(jī)看該臺(tái)節(jié)目，看9不到廣告的概率為和，那么該臺(tái)每小時(shí)約有 鐘的廣告.960150150解析：60 X (1 10)= 6分鐘答案：6例7、甲、乙兩人約定在下午4:005:00間在某 地相見他們約好當(dāng)其中一人先到后一 定要等另一人15分鐘，若另一人仍不到 則可以離去，試求這人能相見的概率。解：設(shè)x為甲到達(dá)時(shí)間，y為乙到達(dá)時(shí)間.建立坐標(biāo)系，如圖| X y| 15時(shí)可相見，即陰影部分 司工作，他們對(duì)講機(jī)的接收范圍

30、是25km下午3: 00張三在基地正 東30km內(nèi)部處，向基地行駛，李四在基地正北 40km內(nèi)部處，向基 地行駛，試問下午3： 00,他們可以交談的概率。602452602716例8兩對(duì)講機(jī)持有者張三、李四，為卡爾貨運(yùn)公解：設(shè)x,y為張三、李四與基地的距離x 0,30，y 0,40，以基地為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.他們構(gòu)成實(shí)數(shù)對(duì)（x,y），表示區(qū)域總面積為1200,可以交談即x2y225故P1 2524251200192例9、某勘探隊(duì)勘測(cè)到，在1萬(wàn)平方千米的海域中有40平方千米的大陸 架儲(chǔ)藏著石油，假設(shè)在海域中任意一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的概率是多少？ 分析：石油在1萬(wàn)平方千米的海域大陸架的分布可以看作是

31、隨機(jī)的而40平方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積，由幾何概型公式可以求得概率。解：記“鉆到油層面”為事件 A， 則 P（A）= 儲(chǔ)藏石油的大陸架面積40門=0 004所有海域的大陸架面積10000答：鉆到油層面的概率是0.004 .例10、一只海豚在水池中游弋，水池為長(zhǎng) 30m，寬20m的長(zhǎng)方形，求此 刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率.解：由已知可得，海豚的活動(dòng)范圍在 26X 16川的區(qū)域外， 所以海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率為P 1亜6 0.30830 20練習(xí)1、平面上有一組平行線且相鄰平行線間的距離為3 cm,把一枚半徑為1 cm的硬幣任意平擲在這個(gè)平面，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是（）A.4B.C.D.解析：平面被這一組平行線分割成條狀區(qū)域，現(xiàn)對(duì)兩條平行線之間的區(qū) 域考慮：平行線間的距離為3 cm,硬幣半徑為1 cm,要想硬幣不與兩條 平行線相碰，硬幣中心與兩條平行線的距離都應(yīng)大于1 cm，如圖：硬幣中心只有落在陰影部分（不包括邊界）時(shí),cm1