拋物線及其性質(zhì)知識點(diǎn)大全.

1、拋物線及其性質(zhì)1 .拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線.2.拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)：圖形井參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程2y =2px(p0)y2 = _2px(pA0)2x =2py(p0)2x =2py(p0)焦點(diǎn)位置X正X負(fù)Y正Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)吟0)2(p,0)2(0占2(0, p)2準(zhǔn)線方程px =2px =2ppr范圍x 工0, y Rx蘭0,嚴(yán)Ry K0,x Ry 蘭 0,x R對稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)離心率e = 1通徑2p焦半徑A(x,yJAF =為 +R2AF =-為

2、+R2AF號焦點(diǎn)弦長AB|(為 X) + p(X1 +X2)十 p(% +y2)+ p(m + y2)+ p焦點(diǎn)弦長AB 的補(bǔ)充A(Xi，yi)B(x2,y2)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線 丨相切若AB的傾斜角為a , |ab|_ 2psin2 a若AB的傾斜角為a ,貝U AB2p_ 2 cos a2p2)X2 = %y2 = p41 丄 1AF + BFAB2AF BF AF *BF AF *BF p3 拋物線y2 =2px(p 0)的幾何性質(zhì)：(1) 范圍：因?yàn)閜0,由方程可知x 0,所以拋物線在 y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，| y |也增大,說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.(2)對稱性

3、：對稱軸要看一次項(xiàng)，符號決定開口方向.頂點(diǎn)(0，0)，離心率：小，焦點(diǎn)F丐,。)，準(zhǔn)線x七，焦準(zhǔn)距p. 焦點(diǎn)弦：拋物線 y2 =2px(p 0)的焦點(diǎn)弦 AB , A(xi, yj , B(X2, y2),則 | AB |= Xi x? p .弦長|AB|=x 1+X2+P，當(dāng)Xi=X2時，通徑最短為 2p。4.焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)：焦點(diǎn)弦AB , A(xi,yi), B(X2,y2)，焦點(diǎn)F(-,0)22(1)若AB是拋物線y2 =2pXp 0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)，且A(x),yi), B(X2,y2)，則：泌=巴,42yy2=p。若AB是拋物線y2=2p(p 0)的焦點(diǎn)弦，且直線已知直線A

4、B是過拋物線y2 = 2 px( p 0)焦點(diǎn)AB的傾斜角為a，則 AB2 P( a 工 0)。1 1sin11AF BFAB2F ,+=AFBFAF *BFAF * BFp9焦點(diǎn)弦中通徑最短長為 2p。通徑：過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在的軸的焦點(diǎn)弦叫做通徑.(5)兩個相切：以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線,以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。5.弦長公式： A(xi,yi), B(x2,y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則AB|=J(Xi X2)2+(% y2)2 =Vi+k2 區(qū)-x?巳；i + 厶 I % - y? IV k6. 直線與拋物線的位置關(guān)系直線廠仁一；，拋物線

5、Jiy = 2px 消 y 得:+2(幼-p)x+護(hù)二0(1) 當(dāng)k=0時，直線I與拋物線的對稱軸平行，有一個交點(diǎn)；(2) 當(dāng)k工0時， 0，直線I與拋物線相交，兩個不同交點(diǎn)； =0，直線I與拋物線相切，一個切點(diǎn)； v 0，直線I與拋物線相離，無公共點(diǎn)。(3) 若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，則直線與拋物線必相切嗎？(不一定)7. 關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法直線 l : y 二 kx b 拋物線 |? -匚二，(p 0)聯(lián)立方程法:y = kx +by2 =2pxk2x2 2(kb-p)x b2 = 0設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（xi, yi） , B（X2, y2）,則有:0 ,以及Xi

6、X2, X1X2 ,還可進(jìn)一步求出y1ykx1b kx2b = k（xx2） 2b ,y1y2= （kxib）（kx2b） =k2XX2kb（Nx2）b2在涉及弦長，中點(diǎn)，對稱，面積等問題時，常用此法，比如 a.相交弦AB的弦長AB = v+k2 x1 -x2二 1 k2、（為x2）24為x2 二 1 k22 :% -y2 - i ；y?）2= i kb.中點(diǎn)& 二寧點(diǎn)差法：yiy22i k設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（xi，yi），B（X2,y2），代入拋物線方程，得2 2yi =2pxiy2 =2px2將兩式相減，可得（yi -丫2）（% y2）=2p（xi X2）yi -2 pXi -X2yiy2a.

7、在涉及斜率問題時,kAB2pyi y2b.在涉及中點(diǎn)軌跡問題時，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M （x0, y0），yi - y2 _ 2p _ 2p _ pXi X2 yi y2 2yo y即 kAB ：yo同理，對于拋物線x2=2py（p = 0），若直線I與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（Xo,y。）是弦AB的中點(diǎn)，則有kAB二乞也二紐二“2p 2p p（注意能用這個公式的條件：i）直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，2）直線的斜率存在， 且不等于零）【經(jīng)典例題】(1)拋物線一一二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合其離心率e=1，這使

8、它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美好的1,既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章PF為直徑的圓與y軸( )【例1】P為拋物線y? =2px上任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則以A相交B.相切C.相離【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F衛(wèi),012丿，準(zhǔn)線是I : x =二作PFU l于H,交y軸于Q那么PF = PH ,且 QH =0F中位線,MNp作MNUy軸于N則MN是梯形PQOF的2J OF2PQ=-|ph2= Z|PF .故以2PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評注】相似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則 分別是相離或相交的.D.位置由P確定(1) AB =% +x2 + p(

9、2)1AFBF【證明】(1)如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為 I，作AA 丄 I A,BB,丄1 于B,貝V AF =|AApBF =BB1 =X2+兩式相加即得:2AB(2)當(dāng)AB丄x軸時，有AFAFBF當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)焦點(diǎn)弦成立;pAB的方程為:代入拋物線方程:(2) 焦點(diǎn)弦?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān)理解并掌握這個焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對破解這些試題是大有幫助的A %, % ,B X2,y2 兩點(diǎn)，求證:【例2】過拋物線y2 =2px p 0的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于2:送=2px.化簡得:22 22P 2kxpk 2x k=04方程（1）之二根為k2X1 , X2,xX2

10、-141AF1BB11 1+ppX1X+ x2 + p2PPx1x2x1x224X1X2p2pp2 X1X2:故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有 1_心1=-成立.AF BF p（3）切線拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān) 基本功.理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的【例3】證明：過拋物線2y =2px上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程是:y0y=p ( x+x0)【證明】對方程y2 =2px兩邊取導(dǎo)數(shù)：2y V = 2p，.切線的斜率yk = yxN=R.由點(diǎn)斜式方程：yy0=E(x x 戸 yy = px+ y(1)y。y。y =2卩心 代入（1即得：y 0y=p

11、（ x+x。）（4）定點(diǎn)與定值拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn), 到的收獲卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值.掌握它們，在解題中常會有意想不例如：1.一動圓的圓心在拋物線y2 =8x上，且動圓恒與直線 x 2=0相切，則此動圓必過定點(diǎn)A. 4,0B. 2,0C. 0,2D. 0,-2顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點(diǎn)，選B.2.拋物線y2 =2px的通徑長為2p；3.設(shè)拋物線y2 =2px過焦點(diǎn)的弦兩端分別為 A Xp% , B x2, y2，那么：yyp2以下再舉一例【例4】設(shè)拋物線y2 =2px的焦點(diǎn)弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是 AB,證明：以 AB1為直徑的圓必過_jh定點(diǎn)【

12、分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑，那么 必過拋物線的焦點(diǎn)由此我們猜想：明AB=AB=2p而A1B1與AB的距離為p,可知該圓一切這樣的圓都過拋物線的焦點(diǎn).以下我們對AB的一般情形給于證【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為A Xi,y ,B X2,y2 ,那么：y1 y - = CAj |CB-i2= p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交 x軸于C,那么CF = p.AFBi中 CF =|CA CBi 故ZAFBi =90。.這就說明：以 AiBi為直徑的圓必過該拋物線的焦點(diǎn) 通法特法妙法（1）解析法一一為對稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對稱問題 等）

13、.【例5】（10.四川文科卷.10題）已知拋物線x+y=0對稱的相異兩點(diǎn)）y=-x2+3上存在關(guān)于直線 A、B,則|AB|等于（A.3B.4C.3 、2D.4 . 2【分析】直線AB的中點(diǎn)必在直線【解析】點(diǎn)AB必與直線x+y=0垂直，且線段 x+y=0上，因得解法如下.A、B關(guān)于直線 x+y=0對稱，設(shè)直線AB的方程為:_L y 二 x m 由 ly 一x2 +3設(shè)方程（1）之兩根為Xi,X2，貝V x1x -1設(shè)AB的中點(diǎn)為M（ X。，y。），則x0 = % * x22!代入1 i 1x+y=0 : yo=.故有 M -2 -從而m = y - x = 1.直線AB的方程為：y = x 1.

14、方程（1）成為：x2亠x - 2 = 0 .解得:x = -2,1，從而 y = -1,2，故得：A (-2 , -1 ), B (1, 2) 二 AB| =3血，選 C.（2）幾何法為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長足的發(fā)展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計(jì)算，這又使得許多考生對解析幾何習(xí)題望而生畏.針對這種現(xiàn)狀，人們研究出多種使計(jì)算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法【例6】（11.全國1卷.11題）拋物線y2 =4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為丨，經(jīng)過F且斜L:x為 3的直線與拋物線在 X軸上方的部分相交于點(diǎn) A , AK丄l，垂足為K，則AAKF的面積(A . 4B. 3 3C

15、.紙3【解析】如圖直線 AF的斜率為 3時/ AFX=60 . AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線丨交x軸于M則FM =p=2.且/ KFM=60 ,KF =4, S/kfX442 =4.3.選 C.15【評注】(1平面幾何知識：邊長為 a的正三角形的面積用公式Sa2計(jì)算.厶4(2)本題如果用解析法， 需先列方程組求點(diǎn) A的坐標(biāo)，再計(jì)算正三角形的邊長和面積 .雖不是很 難，但決沒有如上的幾何法簡單(3) 定義法一一追本求真的簡單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來很難但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡單【例7】(07.湖北卷.7題)雙曲線2占=1(a 0, b 0)的左準(zhǔn)線為l，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為

16、F,和F2 ；拋物線C2的線為bl，焦點(diǎn)為f2；A .-1【分析】Cl與C2的一個交點(diǎn)為M,則證-曬等于(MF1 MF21 1c.d .-2 2這道題如果用解析法去做，計(jì)算會特別繁雜，而平面幾何知識又一時用不上，那么就從 最原始的定義方面去尋找出路吧如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c,離心率為e,作 MH _ I于H，令MFi二ri, MF2二d.t點(diǎn)M在拋物線上,=M故獸=啊|mh| |mf2|MFi |這就是說：u的實(shí)質(zhì)是離心率|MF21e.其次，時2與離心率e有什么關(guān)系？注意到:|MFi|也=2=ejg=e(宀2)=加仝一1MR 口 *e這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由

17、于|肝2|MR|FMFT|=e1，e=-1.選 a.(4)三角法一一本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名 同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系實(shí)施“九九歸一”一一達(dá)到解題目的因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，常可以擺脫困境，簡化計(jì)算【例8】(09.重慶文科.21題)如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過物線y2 =8x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)。(I)求拋物線的焦點(diǎn) F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線I的方程；(H)若a為銳角，作線段 AB的垂直平分線 m交 x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值?！窘馕觥?I)焦點(diǎn)

18、F (2, 0),準(zhǔn)線l;x = 2.(n)直線 AB : y 二 tax -2 1 .2x =代入(1),整理得：y2 tana -8y -16tan a = 0 8暢+ y2設(shè)方程(2)之二根為y1, y2,則呂 8tan：y1 y -16i y ”y2設(shè)AB中點(diǎn)為M (x,y )，則彳244cot:tan工2、x0 = cot。y0 + 2 = 4cot +2,2AB的垂直平分線方程是：y4cot二-cot二i x4cot - 2 .令 y=0，則 x =4cot2 ：6,有 P 4cot2 ：6, 0故 FP = OP - OF =4cot 2o+6-2 =4(cot2 +1 )= 4cos2。2工22于是 |FP|-|FP|cos2a= 4csc :門1-cos2：= 4csc : 2sin ： =8，故為定值.(5)消去法一一合理減負(fù)的常用方法 .避免解析幾何中的繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而不求，它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵”【例9】 是否存在同時滿足下列兩條件的直線l : (1) l與拋物線y2 = 8x有兩個不同的交點(diǎn) A和B； （ 2）線段AB被直線l1 : x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線 丨