2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 坐標(biāo)系 四 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介學(xué)案新人教A版選修4-4

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 坐標(biāo)系 四 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介學(xué)案新人教a版選修4-42020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 坐標(biāo)系 四 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介學(xué)案新人教a版選修4-4年級：姓名：四柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介考綱定位重難突破1.理解柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的概念和結(jié)構(gòu).2.掌握空間點的三種坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化公式.重點：空間直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化關(guān)系. 難點：空間一點的球坐標(biāo)與其他坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化公式.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第11頁自主梳理1空間直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點o，作兩兩垂直的三條數(shù)軸ox，oy，oz，使xoy135，yoz9

2、0，這就是空間直角坐標(biāo)系有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫點p的直角坐標(biāo)(2)柱坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系oxyz中，設(shè)p是空間任意一點，它在oxy平面的射影為q，用(，)表示點q在平面oxy上的極坐標(biāo)，點p的位置可用有序數(shù)組(，z)表示這就是柱坐標(biāo)系有序數(shù)組(，z)叫點p的柱坐標(biāo)其中0,02，z.(3)球坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系oxyz中，設(shè)p是空間任意一點，連接op，記|op|r，op與oz軸正向所夾的角為.p在oxy平面的射影為q，ox軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到oq時所轉(zhuǎn)過的最小正角為.這樣點p的位置就可以用有序數(shù)組(r，)表示這就是球坐標(biāo)系有序數(shù)組(r，)叫做點p的球坐標(biāo)其中r0,0，00，y0，點在第一

3、象限，點a的柱坐標(biāo)為.探究二直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的互化例2(1)設(shè)點m的球坐標(biāo)為，求它的直角坐標(biāo)；(2)已知點m的直角坐標(biāo)為(1,1，)，求它的球坐標(biāo)解析(1)r2，zrcos 2cos，xrsin cos 2sincos1，yrsin sin 2sinsin1，點m的直角坐標(biāo)為(1,1，)(2)由互化公式得r2，由rcos z，得cos ，又tan 1，且x0，y0，點m的球坐標(biāo)為.應(yīng)用互化公式與可實現(xiàn)點的球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化已知球坐標(biāo)化直角坐標(biāo)時，把r，代入互化公式即可；直角坐標(biāo)化球坐標(biāo)時，先求r，再利用zrcos 求出，最后求，但應(yīng)注意的值由直角坐標(biāo)中的x，y的值來確定2(1)將點的球坐標(biāo)

4、化為直角坐標(biāo)；(2)將點的直角坐標(biāo)(0，2,0)化為球坐標(biāo)解析：(1)因為點的球坐標(biāo)(r，)化為直角坐標(biāo)為(x，y，z)(rsin cos ，rsin sin ，rcos )，所以化為直角坐標(biāo)為(1，2)(2)由(x，y，z)(0，2,0)，得r2.由zrcos (0)，得cos 0，得；又(02)角的終邊過點(0，2)，得.所以點的直角坐標(biāo)(0，2,0)化為球坐標(biāo)為.探究三球坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的應(yīng)用例3已知球坐標(biāo)系oxyz中，點m，點n，求|mn|.解析方法一由題意知，|om|on|6，mon，mon為等邊三角形，|mn|6.方法二設(shè)點m的直角坐標(biāo)為(x1，y1，z1)，則x16sincos，y1

5、6sinsin，z16cos3.點m的直角坐標(biāo)為，設(shè)點n的直角坐標(biāo)為(x2，y2，z2)，則x26sincos，y26sinsin，z26cos3.點n的直角坐標(biāo)為，|mn|6.怎樣求球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)兩點之間的距離已知球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)的兩個點，求這兩點間的距離時，可用坐標(biāo)的幾何意義研究這兩點與原點構(gòu)成的三角形特征，用解三角形的方法求出兩點間距離當(dāng)這個三角形的幾何特征不便于求兩點間距離時，可將球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)化為空間直角坐標(biāo)，用空間直角坐標(biāo)的方法求兩點間距離3已知點p1的球坐標(biāo)是p1，p2的柱坐標(biāo)是p2，求|p1p2|.解析：設(shè)p1的直角坐標(biāo)為(x1，y1，z1)，則p1點的直角坐標(biāo)為.設(shè)p2的直角坐

6、標(biāo)為(x2，y2，z2)，則p2的直角坐標(biāo)為.|p1p2| .忽視球坐標(biāo)的順序致誤典例直線坐標(biāo)(，2)化為球坐標(biāo)為_解析由(x，y，z)(，2)，得r4.由zrcos (0)，得cos ，得；又tan ，且(02)角的終邊過點(，0)，得.所以點的直角坐標(biāo)(，2)化為球坐標(biāo)為.答案錯因與防范(1)點(x，y，z)的球坐標(biāo)是(r，)，而不是(r，)，解答本題時常因為沒有注意，的順序而把球坐標(biāo)寫成而致誤(2)在空間坐標(biāo)系中，將點的直角坐標(biāo)化為柱坐標(biāo)重點是求極徑和極角；將點的直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo)，重點是求半徑、高低角與極角其中由三角函數(shù)值求角是難點，突破這一難點的關(guān)鍵是明確角的取值范圍以及角的終邊所在的象限，如本例中計算角，容易出現(xiàn)得到第三象限角的錯誤隨堂訓(xùn)練對應(yīng)學(xué)生用書第14頁1若點m的直角坐標(biāo)為(1，3)，則它的柱坐標(biāo)是()a.b.c. d.解析：2，tan ，結(jié)合點m的坐標(biāo)知，z3，點m的柱坐標(biāo)為.答案：c2若點m的直角坐標(biāo)為(1，1，)，則它的球坐標(biāo)為()a. b.c. d.解析：由坐標(biāo)變換公式，得r2，cos ，.tan 1，.點m的球坐標(biāo)為.答案：b3點p的柱坐標(biāo)為(4，3)，則點p到原點的距離為_解析：xcos 4c