天算不如人算概率的故事

1、偶然與必然偶然與必然 v 北宋天歷、皇佑年間，大將狄青北宋天歷、皇佑年間，大將狄青 奉旨征討反賊儂智高奉旨征討反賊儂智高. v 在眾人矚目下狄青舉手一揮，把銅幣全部扔在地上，結(jié)在眾人矚目下狄青舉手一揮，把銅幣全部扔在地上，結(jié) 果一百個(gè)銅幣居然全部是錢面朝上。果一百個(gè)銅幣居然全部是錢面朝上。 v 將士們士氣大振，一舉殲滅敵軍。將士們士氣大振，一舉殲滅敵軍。 v 這真的是這真的是“ 天意天意”嗎？嗎？ 偶然與必然偶然與必然 v 國(guó)王想處死一位大臣，但還不想讓國(guó)王想處死一位大臣，但還不想讓 “ 暴君暴君”的名聲落在自己頭上。的名聲落在自己頭上。 v 行刑之前，執(zhí)行官將兩個(gè)紙條遞給大臣行刑之前，執(zhí)行官

2、將兩個(gè)紙條遞給大臣 示意他抽取一個(gè)。示意他抽取一個(gè)。 v 大臣抽了一個(gè)將其塞進(jìn)了嘴里吞了下去，說(shuō)我接受了神的審判，大臣抽了一個(gè)將其塞進(jìn)了嘴里吞了下去，說(shuō)我接受了神的審判， 你看看剩下的字條就知道我吞進(jìn)去你看看剩下的字條就知道我吞進(jìn)去 的是什么了。的是什么了。 v 大家一看剩下的字條上寫(xiě)的大家一看剩下的字條上寫(xiě)的“ 死死”. v 這是天意嗎？這是天意嗎？ 偶然與必然偶然與必然 確定現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象確定現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象 太陽(yáng)從東方升起太陽(yáng)從東方升起 明年的今天要下雨明年的今天要下雨 投擲一枚均勻的硬幣正面朝上投擲一枚均勻的硬幣正面朝上 在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的發(fā)生具有某種規(guī)律性。在大量重復(fù)試驗(yàn)中，

3、隨機(jī)事件的發(fā)生具有某種規(guī)律性。 故雖故雖“ 天有不測(cè)風(fēng)云天有不測(cè)風(fēng)云”，仍可以，仍可以“ 預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)”天氣。天氣。 偶然中的必然偶然中的必然 v 大量的偶然事件中蘊(yùn)藏著必然的規(guī)律。大量的偶然事件中蘊(yùn)藏著必然的規(guī)律。 實(shí)驗(yàn)人實(shí)驗(yàn)人投擲次數(shù)投擲次數(shù)出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率 狄摩根狄摩根204810610.5181 布布 豐豐404020480.5069 皮爾遜皮爾遜1200060190.5016 皮爾遜皮爾遜24000120120.5005 福爾摩斯與跳舞的小人兒福爾摩斯與跳舞的小人兒 v 福爾摩斯探案集里有個(gè)跳舞小人的故事大家是否還記得？福爾摩斯探案集里有個(gè)跳舞小人的故事大家是否還

4、記得？ 福爾摩斯與跳舞的小人兒福爾摩斯與跳舞的小人兒 v 26個(gè)英文字母出現(xiàn)的頻率個(gè)英文字母出現(xiàn)的頻率 A0.082E0.127I0.070 B0.015F0.022J0.002 C0.028G0.020K0.008 D0.043H0.061 小人兒對(duì)應(yīng)的字母小人兒對(duì)應(yīng)的字母 概率的起源概率的起源 v 概率的歷史源于中世紀(jì)的賭博問(wèn)題。概率的歷史源于中世紀(jì)的賭博問(wèn)題。 v 意大利修道士帕奇利在意大利修道士帕奇利在1487年出版的書(shū)中介紹了被稱為年出版的書(shū)中介紹了被稱為 “ problem of points”的賭博問(wèn)題。的賭博問(wèn)題。 v 1654年，帕斯卡年，帕斯卡Pascal的朋友，的朋友，

5、一位賭金保管人向帕斯卡提出了后來(lái)人一位賭金保管人向帕斯卡提出了后來(lái)人 們所知道的們所知道的“ 德德 美爾美爾”問(wèn)題，帕斯卡與問(wèn)題，帕斯卡與 朋友費(fèi)爾馬書(shū)信交流，成為概率論的實(shí)朋友費(fèi)爾馬書(shū)信交流，成為概率論的實(shí) 質(zhì)性出發(fā)點(diǎn)。質(zhì)性出發(fā)點(diǎn)。 概率的起源概率的起源 v “ 德德 美爾美爾”問(wèn)題：實(shí)力相當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)賭徒甲和乙，每人各押?jiǎn)栴}：實(shí)力相當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)賭徒甲和乙，每人各押 32個(gè)金幣的賭注，先贏得對(duì)方三次的人獲得這個(gè)金幣的賭注，先贏得對(duì)方三次的人獲得這64個(gè)金幣。賭個(gè)金幣。賭 博進(jìn)行了一段時(shí)間，甲贏了對(duì)方兩次，乙贏了一次，如果這博進(jìn)行了一段時(shí)間，甲贏了對(duì)方兩次，乙贏了一次，如果這 時(shí)賭博被迫中斷，那么兩人

6、應(yīng)該怎么分這時(shí)賭博被迫中斷，那么兩人應(yīng)該怎么分這64個(gè)金幣的賭金呢？個(gè)金幣的賭金呢？ 31 6464 44 甲分個(gè)，乙分個(gè) 11 6464 22 甲分個(gè)，乙分個(gè) 21 6464 33 甲分個(gè)，乙分個(gè) 賭博中的概率賭博中的概率 v 古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型） v 投擲一個(gè)骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)投擲一個(gè)骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的概率為的概率為1/6. v 于是甲在第四局賭博中獲勝的概率為于是甲在第四局賭博中獲勝的概率為 v 1/2 v 甲在第四局落敗在第五局獲勝的概率為甲在第四局落敗在第五局獲勝的概率為 v (1/2)(1/2)= 1/4 v 于是甲最終獲勝的概率為于是甲最終獲勝的概率為 113

7、 244 賭博中的概率賭博中的概率 v 于是賭金于是賭金“ 公平公平”的分配方式是的分配方式是 31 6464 44 甲分個(gè)，乙分個(gè) v “ 公平公平”一詞在賭博中的含義是什么？一詞在賭博中的含義是什么？ 賭博中的概率賭博中的概率 “ 公平公平”一詞在賭博中的含義是什么？一詞在賭博中的含義是什么？ v 一人設(shè)賭局：一人設(shè)賭局：投擲一枚骰子四次，若出現(xiàn)投擲一枚骰子四次，若出現(xiàn) 6點(diǎn)，則為贏；邀人參加。（擲者點(diǎn)，則為贏；邀人參加。（擲者“上算上算”） 又改設(shè)賭局：又改設(shè)賭局：投擲兩枚骰子投擲兩枚骰子46次，若出現(xiàn)次，若出現(xiàn)“雙雙6”點(diǎn)，則為贏；邀人點(diǎn)，則為贏；邀人 參加。（擲者參加。（擲者“不上算

8、不上算”） 寫(xiě)信請(qǐng)教帕斯卡寫(xiě)信請(qǐng)教帕斯卡 v 假如你和一個(gè)同學(xué)決定用一次投擲骰子的結(jié)果來(lái)決定由誰(shuí)來(lái)負(fù)責(zé)打掃寢假如你和一個(gè)同學(xué)決定用一次投擲骰子的結(jié)果來(lái)決定由誰(shuí)來(lái)負(fù)責(zé)打掃寢 室，如果出現(xiàn)室，如果出現(xiàn)2至至6點(diǎn)則明天由你來(lái)打掃寢室，如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)點(diǎn)則明天由你來(lái)打掃寢室，如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1則明天由則明天由 他來(lái)負(fù)責(zé)打掃，你認(rèn)為此次他來(lái)負(fù)責(zé)打掃，你認(rèn)為此次“ 賭博賭博”是否是是否是“ 公平公平”的？的？ 賭博中的概率賭博中的概率 v 現(xiàn)在我們把剛才的那場(chǎng)現(xiàn)在我們把剛才的那場(chǎng)“ 賭博賭博”中的中的“ 賭注賭注”改一下。改一下。 v 還是你和一個(gè)同學(xué)決定用一次投擲骰子的結(jié)果來(lái)決定由誰(shuí)來(lái)負(fù)還是你和一個(gè)同學(xué)決定用一

9、次投擲骰子的結(jié)果來(lái)決定由誰(shuí)來(lái)負(fù) 責(zé)打掃寢室，這次是如果出現(xiàn)責(zé)打掃寢室，這次是如果出現(xiàn)2至至6則明天由你來(lái)打掃寢室，則明天由你來(lái)打掃寢室， 如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1則后面五天都由他來(lái)負(fù)責(zé)打掃，你認(rèn)為此次則后面五天都由他來(lái)負(fù)責(zé)打掃，你認(rèn)為此次 “ 賭博賭博”是否是是否是“ 公平公平”的？的？ v 事實(shí)上，賭博的公平性是和概率中的一個(gè)事實(shí)上，賭博的公平性是和概率中的一個(gè) 概念概念“ 期望期望”密切相關(guān)的。密切相關(guān)的。 幾何概率幾何概率 v 如圖，假設(shè)在下面每個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒小黃豆，分別求它落如圖，假設(shè)在下面每個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒小黃豆，分別求它落 到陰影部分的概率（可以猜想）。到陰影部分的概率（可

10、以猜想）。 圖形圖形1圖形圖形2 幾何概率幾何概率 v 幾何概率的定義：幾何概率的定義： v 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積 或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型?；蝮w積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型。 v 在幾何概型中，事件在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式：的概率的計(jì)算公式： 構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積) 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積) ( )P A 布豐投針布豐投針 v 公元公元1777年的一天，法國(guó)科學(xué)家年的一天，法國(guó)科學(xué)家D布豐布豐(D.Buffon 17071788)的家

11、里賓客滿堂，他們是應(yīng)主人的邀請(qǐng)進(jìn)行的家里賓客滿堂，他們是應(yīng)主人的邀請(qǐng)進(jìn)行 一次奇特試驗(yàn)。一次奇特試驗(yàn)。 v 布豐先生拿出一張紙上預(yù)先畫(huà)好了一條條等距離的平行線。接布豐先生拿出一張紙上預(yù)先畫(huà)好了一條條等距離的平行線。接 著他又抓出一大把原先準(zhǔn)備好的小針，這些小針的長(zhǎng)度都是平著他又抓出一大把原先準(zhǔn)備好的小針，這些小針的長(zhǎng)度都是平 行線間距離的一半。行線間距離的一半。 v 然后布豐先生宣布：然后布豐先生宣布：“ 請(qǐng)諸位把這些小針一根一根往紙上扔請(qǐng)諸位把這些小針一根一根往紙上扔 吧吧! 不過(guò)，請(qǐng)大家務(wù)必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告不過(guò)，請(qǐng)大家務(wù)必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告 訴我。訴我?！?/p>

12、 布豐投針布豐投針 布豐投針布豐投針 布豐投針布豐投針 布豐投針布豐投針 v 投針結(jié)果，共投針投針結(jié)果，共投針2212次，其中與平行線相交的次，其中與平行線相交的704次?？偞??？?數(shù)數(shù)2212與相交數(shù)與相交數(shù)704的比值為的比值為3.142。 v 值得一提的是，后來(lái)有不少人步布豐先生的后塵，用同樣的方值得一提的是，后來(lái)有不少人步布豐先生的后塵，用同樣的方 法來(lái)計(jì)算法來(lái)計(jì)算值。值。 v 意大利數(shù)學(xué)家拉茲瑞尼意大利數(shù)學(xué)家拉茲瑞尼(Lazzerini)。他在。他在1901年宣稱進(jìn)行年宣稱進(jìn)行 了多次的投針試驗(yàn)，每次投針數(shù)為了多次的投針試驗(yàn)，每次投針數(shù)為3408次，平均相交數(shù)為次，平均相交數(shù)為 10

13、84次，代入布豐公式求得次，代入布豐公式求得3.1415929。 v 為什么我們可以用這種方法得到圓周率的近似值？為什么我們可以用這種方法得到圓周率的近似值？ 總總 結(jié)結(jié) v 偶然與必然偶然與必然 v 概率的起源概率的起源 v 古典概型古典概型 v 賭博中的概率賭博中的概率 v 幾何概率幾何概率 v 布豐投針布豐投針 Monty Hall problem v 有著真實(shí)原型的有著真實(shí)原型的決勝?zèng)Q勝21點(diǎn)點(diǎn)，原本引人入勝的故事卻被導(dǎo)，原本引人入勝的故事卻被導(dǎo) 演拖得冗長(zhǎng)不堪，節(jié)奏太慢的情節(jié)摻雜了太多的感情因素。唯演拖得冗長(zhǎng)不堪，節(jié)奏太慢的情節(jié)摻雜了太多的感情因素。唯 一令人感興趣的是三個(gè)門的問(wèn)題，很有趣。一令人感興趣的是三個(gè)門的問(wèn)題，很有趣。 v 這個(gè)問(wèn)題取自一個(gè)美國(guó)電視節(jié)目這個(gè)問(wèn)題取自一個(gè)美國(guó)電視節(jié)目“ Lets make a deal”，該節(jié)目的主持人叫，該節(jié)目的主持人叫Monty Hall，以后別人就稱此，以后別人就稱此 問(wèn)題為問(wèn)題為Monty Hall problem。 Monty Hall problem v 你面前有三扇關(guān)閉的門（你面前有三扇關(guān)閉的門（1、2、3），其中一個(gè)門后面有一輛），其中一個(gè)門后面有一輛 轎車，另兩個(gè)門后面是山羊。轎車，另兩個(gè)門后面是山羊。 v 主持人讓你任選一扇你認(rèn)為后面是轎車的門，假設(shè)你選擇主持人讓你任選