分位數(shù)回歸模型及其應(yīng)用研究

1、 第一組 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論與方法分位數(shù)回歸模型及其應(yīng)用研究王桂勝 王桂勝：男，1970年生，首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)院副教授，清華大學(xué)經(jīng)管學(xué)院博士生。 （首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)，北京，100026）摘要：本文在對(duì)分位數(shù)回歸方法的含義和基本原理進(jìn)行全面分析說明的基礎(chǔ)上，對(duì)分位數(shù)回歸方法在panel data模型中的應(yīng)用作了深入分析，并對(duì)不同回歸估計(jì)方法在panel data模型中的估計(jì)效果進(jìn)行了比較分析。在此基礎(chǔ)上，通過分別采取一般最小平方法和分位數(shù)回歸法對(duì)中國15省區(qū)的人均消費(fèi)和人均收入的回歸方程估計(jì)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)分位數(shù)回歸方法在進(jìn)行某些特殊的panel data模型估計(jì)時(shí)具有一定的優(yōu)勢(shì)。關(guān)鍵

2、詞：分位數(shù)回歸、面板數(shù)據(jù)模型、懲罰分位數(shù)回歸估計(jì)一、分位數(shù)回歸研究介紹 自koenker 和 bassett (1978)提出線性分位數(shù)回歸理論以來，分位數(shù)回歸（qr）即成為近幾十年來發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛的回歸模型方法，它不僅深化了對(duì)傳統(tǒng)回歸模型的理解，而且也推廣了回歸模型的類型和應(yīng)用，使得回歸模型擬合有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確細(xì)致。分位數(shù)回歸模型是在穩(wěn)健估計(jì)模型基礎(chǔ)上發(fā)展形成。穩(wěn)健估計(jì)（robust estimation）理論包括基于一般凸損失函數(shù)的m 估計(jì)理論、基于樣本秩統(tǒng)計(jì)量的r估計(jì)理論和基于樣本次序統(tǒng)計(jì)量的l估計(jì)理論等。分位數(shù)回歸強(qiáng)調(diào)以解釋變量的分位數(shù)來估計(jì)推斷因變量的分位數(shù)，通過建立分位數(shù)估

3、計(jì)方程，并運(yùn)用線性規(guī)劃方法或非參數(shù)估計(jì)等方法來估計(jì)相應(yīng)于不同分位數(shù)的解釋變量系數(shù)或未知參數(shù)。分位數(shù)回歸是中位數(shù)回歸和均值回歸的推廣。分位數(shù)回歸模型具體又分為四分位數(shù)回歸、十分位數(shù)回歸、百分位數(shù)回歸、logit分位數(shù)回歸、審查分位數(shù)回歸等模型。關(guān)于分位數(shù)回歸研究的最近發(fā)展，主要表現(xiàn)在分位數(shù)回歸技術(shù)方法和方法應(yīng)用等兩方面的研究上。具體包括koenker和zhijie xiao (2000) 解決分位數(shù)回歸過程中存在的特定推斷問題; kim 和muller (2000) 關(guān)于雙步分位數(shù)回歸的漸進(jìn)特性的研究; tasche (2001) 對(duì)最小分位數(shù)回歸的無偏性研究; chernozhukov 和ha

4、n hong (2002) 提出對(duì)審查分位數(shù)回歸的三步評(píng)估法;吳建南、bret-schneider 等(2002) 用蒙特卡羅(monte carlo) 方法產(chǎn)生100 個(gè)隨機(jī)數(shù)據(jù)集合來比較顯著權(quán)重分析方法與分位數(shù)回歸的優(yōu)劣; kottas 和krnjajic 提出分位數(shù)回歸中的貝葉斯非參數(shù)模型;koenker(2004)將分位數(shù)回歸方法運(yùn)用于panel data模型估計(jì)中，并提出了pqr估計(jì)技術(shù)及相關(guān)理論證明，在此基礎(chǔ)上carlos lamarche（2006）對(duì)pqr估計(jì)方法進(jìn)一步深入探討并結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析等等。此外是對(duì)分位數(shù)回歸方法的應(yīng)用研究。在這一方面,barnes 和w. h

5、ughes (2002) 利用分位數(shù)回歸對(duì)跨部門公債市場(chǎng)的回收進(jìn)行了分析;buhai (2004) 在分析介紹了分位數(shù)回歸方法的基礎(chǔ)上,研究了它在持續(xù)時(shí)期模型和循環(huán)結(jié)構(gòu)等式模型中的應(yīng)用;leggett 和craighead 利用分位數(shù)回歸確定了時(shí)間分布和特定風(fēng)險(xiǎn)驅(qū)動(dòng)的影響。國內(nèi)也有很多學(xué)者將分位數(shù)回歸估計(jì)方法運(yùn)用于醫(yī)學(xué)衛(wèi)生事業(yè)研究、公共管理事業(yè)等具有極值分布特點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)研究中。具體如教育收益率估計(jì)分析、勞工歧視因素分析等等。本文將在系統(tǒng)介紹分位數(shù)回歸模型的含義和基本原理的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)分析將分位數(shù)回歸方法與panel data模型結(jié)合分析的主要形式和估計(jì)原理以及相關(guān)結(jié)果。第二節(jié)討論分位數(shù)回歸方

6、法的一般原理以及pqr估計(jì)原理，在此基礎(chǔ)上提出關(guān)于panel data的分位數(shù)回歸模型的pqr估計(jì)方法；第三節(jié)分析分位數(shù)回歸方法在panel data模型中的應(yīng)用以及數(shù)據(jù)模擬；第四節(jié)對(duì)本文的分析結(jié)果進(jìn)行總結(jié)。二、分位數(shù)回歸模型原理（一）分位數(shù)回歸的基本原理一般線性回歸模型可設(shè)定如下：在滿足高斯-馬爾可夫假設(shè)前提下，可表示如下：其中，為待估解釋變量系數(shù)。上述模型即均值回歸模型表達(dá)式，是對(duì)等式兩邊取數(shù)學(xué)期望的結(jié)果。類似于均值回歸模型，也可設(shè)定中位數(shù)回歸模型如下：其中，為關(guān)于x的條件中位數(shù)，為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的中位數(shù)。以及分位數(shù)回歸模型如下：對(duì)于均值回歸模型，可采取最小平方法（ols）估計(jì)未知參數(shù)；對(duì)于中

7、位數(shù)回歸模型，可采取最小一乘法（或稱最小絕對(duì)偏差法lad）；而對(duì)于分位數(shù)回歸模型，則可采取線性規(guī)劃法（lp）估計(jì)其最小加權(quán)絕對(duì)偏差，從而得到解釋變量的回歸系數(shù)。分別可表示如下：ols法： 求解得：lad法： 求解得：qr法： 求解得：其中，。（二）panel data模型與分位數(shù)回歸方法考慮一般panel data模型，表達(dá)式如下： 其中，i代表不同的樣本個(gè)體，t代表不同的樣本觀察時(shí)點(diǎn)，u表示隨機(jī)誤差項(xiàng)，表示解釋變量的系數(shù)向量，i表示第i個(gè)樣本的不可觀察隨機(jī)效應(yīng)。關(guān)于的估計(jì)有兩種情形，即固定效應(yīng)情形和隨機(jī)效應(yīng)情形，相應(yīng)的有兩種估計(jì)方法。將上述panel data模型寫成如下矩陣形式：固定效應(yīng)情

8、形下，的估計(jì)量為 隨機(jī)效應(yīng)情形下，的估計(jì)量為 假設(shè)u n(0,r), n(0,w)，v=z+u。則有 ?？梢詫?duì)此情形panel data模型采取gls估計(jì)法、也可采取反映個(gè)體影響的懲罰最小二乘法（pls）估計(jì)回歸系數(shù)，分別表述如下：gls法： pls法：二者的共同解為：。對(duì)于上述panel data模型也可采取分位數(shù)回歸法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。為此。建立以下條件分位數(shù)方程：上述分位數(shù)方程假設(shè)個(gè)體效應(yīng)是固定的。對(duì)此方程，koenker（2004）提出了懲罰分位數(shù)回歸（pqr）方法進(jìn)行估計(jì)。具體如下：其中，wj為相應(yīng)于各分位數(shù)的權(quán)數(shù)，為調(diào)節(jié)系數(shù)。如果=0，則為固定效應(yīng)分位數(shù)回歸估計(jì)量（feqr）；如果0，

9、則為懲罰分位數(shù)回歸估計(jì)量（pqr）。此外，koenker還對(duì)分位數(shù)回歸和懲罰分位數(shù)回歸估計(jì)量的漸進(jìn)特性進(jìn)行了詳細(xì)的考察。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用蒙特卡羅模擬法在小樣本設(shè)定下比較分析了不同回歸估計(jì)方法的效果，如下表所示： 表 1 最小平方法與分位數(shù)回歸法的估計(jì)效果比較誤差項(xiàng)分布 ls pls lsfe qr pqr qrfe正態(tài)分布偏差 0.0031 0.0048 0.0056 0.0048 0.0067 0.0047均方誤差平方根 0.0847 0.0604 0.0668 0.0977 0.0781 0.0815t分布偏差 -0.0062 -0.0054 -0.0051 -0.0063 -0.0101

10、 -0.0082均方誤差平方根 0.1377 0.1031 0.1143 0.1274 0.0881 0.0921卡方分布偏差 -0.0068 0.0002 0.0032 -0.0052 0.0063 0.0072均方誤差平方根 0.2155 0.1503 0.1650 0.2362 0.1506 0.1513由上表可見，對(duì)于某些非正態(tài)分布，分位數(shù)回歸估計(jì)效果相對(duì)較好一些（如表1中的t分布）。三、分位數(shù)回歸方法的應(yīng)用分位數(shù)回歸方法對(duì)于具有某些非高斯分布的隨機(jī)誤差項(xiàng)和隨機(jī)效應(yīng)的回歸方程的系數(shù)估計(jì)具有較好的效果，這已在理論上得到了論證。本文將運(yùn)用實(shí)際經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)對(duì)比最小平方法與分位數(shù)回歸方法在pane

11、l data模型中的估計(jì)效果。所用數(shù)據(jù)來自中國1996-2002年東北、華北和華東15個(gè)省、市、自治區(qū)的居民人均消費(fèi)（cp，不變價(jià)格）和人均收入（ip，不變價(jià)格） 注：本數(shù)據(jù)資料來自張曉峒著eviews使用指南與案例，機(jī)械工業(yè)出版社，2007年，第261頁。建立關(guān)于人均消費(fèi)與人均收入關(guān)系的panel data模型，分別采取最小平方法和分位數(shù)回歸法進(jìn)行估計(jì)，由于樣本資料原因，本文僅考慮合并數(shù)據(jù)下和固定效應(yīng)下的兩種估計(jì)方法的估計(jì)結(jié)果，并進(jìn)行比較分析。1、 合并數(shù)據(jù)下最小平方法估計(jì)運(yùn)用eviews軟件對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)果如下：其中，判定系數(shù)為0.98,常數(shù)項(xiàng)t統(tǒng)計(jì)量值為2.0,回歸系數(shù)t統(tǒng)計(jì)量值

12、為79.7。2、固定效應(yīng)下最小平方法估計(jì)對(duì)15個(gè)省區(qū)設(shè)計(jì)15個(gè)虛擬變量d1，d2，d15。其定義為： 運(yùn)用eviews軟件，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到如下結(jié)果： 其中，判定系數(shù)為0.99,常數(shù)項(xiàng)t統(tǒng)計(jì)量值為1.6,回歸系數(shù)t統(tǒng)計(jì)量值為55。3、合并數(shù)據(jù)下分位數(shù)回歸法估計(jì)將15個(gè)省區(qū)的數(shù)據(jù)當(dāng)作一個(gè)個(gè)體的數(shù)據(jù)進(jìn)行分位數(shù)回歸估計(jì)，運(yùn)用stata軟件運(yùn)行后，得到如下結(jié)果：表 2 各分位數(shù)下合并數(shù)據(jù)分位數(shù)回歸估計(jì)結(jié)果分位數(shù)ip常數(shù)項(xiàng)判定系數(shù)（r2）系數(shù)t統(tǒng)計(jì)量系數(shù)t統(tǒng)計(jì)量0.20.724648.63187.25272.730.84440.50.742258.85205.25913.090.87430.75

13、0.779229.60139.57041.140.89300.80.798931.3275.44620.620.89684、固定效應(yīng)下分位數(shù)回歸法估計(jì)與2中固定效應(yīng)回歸一樣，可設(shè)計(jì)15個(gè)虛擬變量d1，d2，d15，并運(yùn)用stata軟件進(jìn)行分析可得如下結(jié)果：表 3 各分位數(shù)下固定效應(yīng)分位數(shù)回歸估計(jì)結(jié)果分位數(shù)ip常數(shù)項(xiàng)判定系數(shù)（r2）系數(shù)t統(tǒng)計(jì)量系數(shù)t統(tǒng)計(jì)量0.20.679936.28490.54115.560.90960.50.671519.91597.55093.270.92120.750.732825.23351.14422.220.93290.80.740824.76309.19151.9

14、00.9359比較分析上述兩種回歸方法的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)在固定效應(yīng)情形下兩種方法回歸效果均比合并數(shù)據(jù)情形下更好；在同一情形下做回歸分析，顯然分位數(shù)回歸分析結(jié)果更加穩(wěn)定，各系數(shù)估計(jì)顯著程度更高。因而，分位數(shù)回歸估計(jì)在panel data模型中可以發(fā)揮重要作用。四、結(jié)論本文在對(duì)分位數(shù)回歸方法的含義和基本原理進(jìn)行全面分析說明的基礎(chǔ)上，對(duì)分位數(shù)回歸方法在panel data模型中的應(yīng)用作了深入分析，并對(duì)不同回歸估計(jì)方法在panel data模型中的估計(jì)效果進(jìn)行了比較分析。一般而言，分位數(shù)估計(jì)方法在估計(jì)具有非正態(tài)分布的誤差項(xiàng)或不可觀察的隨機(jī)效應(yīng)時(shí)具有一定優(yōu)勢(shì)。本文在理論分析之后，提供了一個(gè)應(yīng)用案例分析，通

15、過對(duì)我國人均收入和人均消費(fèi)的各種回歸分析，充分證明了分位數(shù)回歸的較好效果。當(dāng)然，由于樣本數(shù)據(jù)的不足，缺乏對(duì)在隨機(jī)效應(yīng)情形下兩種回歸方法估計(jì)的效果比較，以及在不同調(diào)節(jié)系數(shù)下對(duì)懲罰分位數(shù)回歸估計(jì)效果的考察。這將在分位數(shù)回歸方法的應(yīng)用分析中進(jìn)一步開展深入探討。參考文獻(xiàn)1emanuel parzen, quantile probability and statistical data modeling, j.statistical science, vol. 19, no. 4, (nov., 2004), pp. 652-662.2roger koenker and zhijie xiao, inf

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