二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法.

1、二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，一般遵循以下做法： 先將式中的二次根式適當(dāng)化簡(jiǎn) 二次根式的乘法可以參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式 對(duì)于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算. 二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，即在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類項(xiàng). 運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡(jiǎn)二次根式.化簡(jiǎn)二次根式的常用技巧與方法二次根式的化簡(jiǎn)是二次根式教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)，除了掌握基本概念和運(yùn)算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧， 會(huì)收到事半功倍的效果，下面通

2、過具體的實(shí)例 進(jìn)行分類解析.1 .公式法【例1】【解后評(píng)注】以上解法運(yùn)用了“完全平方公式”和“平方差公式”，從而使計(jì)算較為簡(jiǎn)便.2 觀察特征法例 2】計(jì)算：宀；.-【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計(jì)算，須要進(jìn)行兩次分母有理化，計(jì)算相當(dāng)麻煩，觀 察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項(xiàng)都乘以_73(2 + V2-76)_【解】原式【例3】把下列各式的分母有理化.(1)，即得分子，于是可以簡(jiǎn)解如下:【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個(gè)因式，將它有理化要乘以兩個(gè)有理化因式那樣分子將有三個(gè) 因式相等，計(jì)算將很繁，觀察分母中的兩個(gè)因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：=(婦 _ 亦)二_ 卑)=

3、1+1【解】原式_ :_- - :At的系【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡(jiǎn)但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中 數(shù)若為“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了 ！因此，可以解答如下：=1十 R【解】原式-t/x -11 - fx- )(7x + i + 7x -+1 -3 運(yùn)用配方法例 4】化簡(jiǎn)I -”【解】原式宀【解后評(píng)注】注意這時(shí)是算術(shù)根，開方后必須是非負(fù)數(shù)，顯然不能等于“4 平方法例 5】化簡(jiǎn) 7【解】=6-濟(jì)+ 2棉-岡禺心隱=12 + 2#-35 =. 二一丄二 【解后評(píng)注】對(duì)于這類共軛根式-；與-；-的有關(guān)問題，一般用平方法都可以進(jìn)行化簡(jiǎn)5恒等變形公式法【例6】化簡(jiǎn)上二d【方法導(dǎo)引】若直

4、接展開，計(jì)算較繁，如利用公式応：“?,則使運(yùn)算簡(jiǎn)化.【解】原式= +（72-76）f + 73-（72-76）f=2（凋2 + 価-屈=2x（3 + 8-4a/3）=22-虻6 常值換元法例 7】化簡(jiǎn)-I /. L1. 丄一】-】【解】令卜二一一：，則：原式=J（, + 3住滬匚光匸2）+ =+1（/ + 3 j +1=花? +% + f= ?+3d+l=1998J+3x1998+1 39979997 裂項(xiàng)法1 1 1 A 1 + A +【例8】化簡(jiǎn) - -.【解】原式各項(xiàng)分母有理化得原式一廠 / I 匸 肓 .1，=【例9】化簡(jiǎn)2+ 2煩4 + 2価 + 価爐廁*+側(cè)術(shù)+兀加岳）【方法導(dǎo)引】

5、 這個(gè)分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個(gè)因數(shù)之和，于是則有如下簡(jiǎn)解：1111+ + +7+710 2 + V7 a/13 + a/w 4 + a/13価-歷+尼屈-履亠4-歷3 33= l(0-A/7 + 77-2 + 7i3-# + 4-) = |8 構(gòu)造對(duì)偶式法旳 + 2 + J/ -4 * 旳 + 2 + J, -4【例10】化簡(jiǎn) 宀-* 丨宀【解】構(gòu)造對(duì)偶式，于是沒a = ?s +2 + 7 -4 , b =幷 + 2-J* _4則.? ：丨，二：，：:, - : : Tda b=一 + 原式 1 一：abab2=+2-2=9 由里向外，逐層

6、化簡(jiǎn)J1998 Jl 997 陌?Jl 995 * 1993 +1 +1 +1719943 =1994而二.J19 麗 995)1 = /199坯加991卩1 = 1996原式 1,11:1|-【解后評(píng)注對(duì)多重根式的化簡(jiǎn)問題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡(jiǎn)的方法處理.io .由右到左，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)【例ii化簡(jiǎn)【方法導(dǎo)引原式從右到左是層層遞進(jìn)的關(guān)系，因此從右向左進(jìn)行化簡(jiǎn).【解原式=如0 J2 + J2 + 【解后評(píng)注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號(hào)逐層脫去，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不具有熟練的技能是難以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的的.返回二次根式大小比較的常用方

7、法二次根式的化簡(jiǎn)具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個(gè)無理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很強(qiáng)的技巧性，對(duì)初中生來說是一個(gè)難點(diǎn)，但掌握一些常見的方法對(duì)它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用.1 根式變形法【例1】比較二與二的大小【解】將兩個(gè)二次根式作變形得久芳二療石F陌，5石二T?對(duì)F厲；尸：丁 即- 7- .3【解后評(píng)注】本解法依據(jù)是：當(dāng).:|，.【時(shí)，?，則 f 卍；若.；-：，2 平方法【例2】比較的大小【解】J - ：，- ?-|：【解后評(píng)注】本法的依據(jù)是：當(dāng)|，i -時(shí)，如果一 -1，則，如果，3 分母有理化法通過運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.2 【例3】比較一

8、- 1與7的大小73 + 122（遐+ 1）【解】柘-1 3 -1（a/3 +1）1_-72+1於i仮t（血+1）= 72+1又匸 I:.7 14 分子有理化法利用分母的大小來判斷在比較兩個(gè)無理數(shù)的差的大小時(shí)，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化,其倒數(shù)的大小.【例4】比較陌庶與価-厲的大小715-/14解阿血+何_ 1715+./14+斥7w-./13 =: _后麗 714+/13 .而 715-,/140與求差比較法相對(duì)應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運(yùn)用的是如下性質(zhì)，當(dāng)-，i 時(shí)，則：彳lea&巴1 臺(tái)a ：【例8】比較-與匸匸的大小.解:/11 .二:：I解后評(píng)注得上所述，含有根式的無

9、理數(shù)大小的比較往往可采用多種方法，來求解有時(shí) 還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對(duì)于具體的問題要作具體分析， 以求用最佳的方法解岀正確的結(jié)果.二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，一般遵循以下做法： 先將式中的二次根式適當(dāng)化簡(jiǎn) 二次根式的乘法可以參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式八：（_；,二） 對(duì)于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算. 二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，即在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類項(xiàng). 運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡(jiǎn)二次根式.化

10、簡(jiǎn)二次根式的常用技巧與方法二次根式的化簡(jiǎn)是二次根式教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容， 對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)，除了掌握基本概念 和運(yùn)算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧， 會(huì)收到事半功倍的效果，下面通過具體的實(shí)例 進(jìn)行分類解析.1 .公式法ab -b2【例1 計(jì)算【解后評(píng)注】以上解法運(yùn)用了“完全平方公式”和“平方差公式”，從而使計(jì)算較為簡(jiǎn)便.2 觀察特征法2屈十翻-3屈例 2】計(jì)算：宀；-；，即得分子，于是可以簡(jiǎn)解如下:【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計(jì)算，須要進(jìn)行兩次分母有理化，計(jì)算相當(dāng)麻煩，觀 察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項(xiàng)都乘以一屈2十龐-屈一厲【解】原式【例3】把下列各式的分母有理化.

11、罷:壬Jx + 1 + 2斗-(1) J 八一 1 (2)，7(；)【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個(gè)因式，將它有理化要乘以兩個(gè)有理化因式那樣分子將有三個(gè) 因式相等，計(jì)算將很繁，觀察分母中的兩個(gè)因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡(jiǎn)但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中1的系 數(shù)若為“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了！因此，可以解答如下:【解】原式- Jx-1)(J 兀+1)(/兀亠 i _也二冷+肝3 運(yùn)用配方法【例4】化簡(jiǎn)I - .匚”【解】原式九汀丿，寸宀【解后評(píng)注】注意這時(shí)是算術(shù)根，開方后必須是非負(fù)數(shù)，顯然不能等于“4 平方法付6_后+ J6十辰解】丿

12、6后+ 2址6-后（6+侮）+ 6+ 愿= 12 + 2-35 = 14. . - - : 【解后評(píng)注】對(duì)于這類共軛根式-；與，二的有關(guān)問題，一般用平方法都可以進(jìn)行化簡(jiǎn)5恒等變形公式法【例6】化簡(jiǎn)上二工【方法導(dǎo)引】若直接展開，計(jì)算較繁，如利用公式-汀 .Iv- * ，則使運(yùn)算簡(jiǎn)化.【解】原式=鴿+ 9-刷+爐佢-屈f=2 + 価-同=2x(3 + 8-473)= 22-86 常值換元法【例 7】化簡(jiǎn)-I /. L1. 丄一】-】【解】令I(lǐng)1.-.，則：原式=J牡+ 2)+1=4輕 +3)+1=花 2 +% + lf二/+%+1 二 1998：+3x1998+1-39979997 裂項(xiàng)法【例 8

13、】化簡(jiǎn)二 叮-丫 .4 : JJ【解】原式各項(xiàng)分母有理化得原式一廠丨下匸 肓 .1， 丁【例9】化簡(jiǎn)2 + 2 + 7104 + 2/13 + 10（樂怖你側(cè)+質(zhì)用+岳）個(gè)分?jǐn)?shù)的分子【方法導(dǎo)引】 這個(gè)分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每等于分母的兩個(gè)因數(shù)之和，于是則有如下簡(jiǎn)解：電+ V7）十（仍代）亠麗+屈二R +曾）【解】原式1111=+7+710 2 + 7? 辰価 4 + /13TW-a/7 歷-2 a/13-,/10 4-713=+3 333= （710-+77-2 + 713-# + 4/13）= |8 構(gòu)造對(duì)偶式法w +2 + C -4 ?i +2 + 朋 -4【例1

14、0】化簡(jiǎn)一亠- J -;【解】構(gòu)造對(duì)偶式，于是沒a =幷 +2 + J, , b 二丹+則一一 _.丨一一；, -原式=丹+2_2=舟9 由里向外，逐層化簡(jiǎn)J1998 J1997 阪?J1995 瓦 1993 + 1 + “ 1 + 1解】.匚丁心： ：.7199? = 1994J199云1995+1 = J19 藥可。99&-1卩1 =#9 = 1996原式|1:1-【解后評(píng)注】對(duì)多重根式的化簡(jiǎn)問題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡(jiǎn)的方法處理.io.由右到左，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)【例11】化簡(jiǎn)【方法導(dǎo)引】原式從右到左是層層遞進(jìn)的關(guān)系，因此從右向左進(jìn)行化簡(jiǎn).【解】原式=+忑2 + 如的 23-(a/

15、2 +=J2+7TJ2-厲=占一紡=衍=i.【解后評(píng)注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號(hào)逐層脫去, 逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不具有熟練的技能是難以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的的.返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡(jiǎn)具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個(gè)無理數(shù)（即二次根式） 的大小同樣具有很強(qiáng)的技巧性，對(duì)初中生來說是一個(gè)難點(diǎn)，但掌握一些常見的方法對(duì)它的學(xué)習(xí)有 很大的幫助和促進(jìn)作用.i根式變形法【解】將兩個(gè)二次根式作變形得二眄5血=7?對(duì)s厲7545，.歷亦即3石5歷則2 平方法例 2】比較3-丄與二1的大小【解皿仁珞，】7J .L巧A則一；.，如果.

16、/ -.1,【解后評(píng)注】本法的依據(jù)是：當(dāng)fl0, 60 時(shí)，如果.則.； ： 3 分母有理化法通過運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.2 【例3】比較；與一芒1的大小73 + 122（過+ 1）柘-1 （朽 _（朽 +）-72 +1（72-1（72+）4 分子有理化法利用分母的大小來判斷在比較兩個(gè)無理數(shù)的差的大小時(shí)，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化,其倒數(shù)的大小.【例4】比較715-,/14與価-厲的大小解715-./14 =何血?jiǎng)?15+/M7w-./13 =麗-柜3+屁+7131W+V13又/5 -H .,/、 p 亠1 1八厲 + 佰 Tm+a/13 而 J15-./M 714

17、-/135 等式的基本性質(zhì)法【解法1【例5比較的大小.7 I.7 : ./I-.776-75 + (/6 + 75) = 76+76又.：仏 +同=12 + 27 = 12 + 2 履j7-j608 .求商比較法與求差比較法相對(duì)應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運(yùn)用的是如下性質(zhì)，當(dāng):II， 訂時(shí)，則：-t -0, &0 時(shí)，如果:，則，如果；則3 分母有理化法通過運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.2 1【例3】比較-一 1與-的大小73 + 122(遐+ 1)柘-1 3 -J3 +1)1 72+172-1 p2-ij72+l)4 分子有理化法在比較兩個(gè)無理數(shù)的差的大小時(shí)，

18、我們通常要將其進(jìn)行分子有理化,其倒數(shù)的大小.利用分母的大小來判斷【例4】比較,：，1 -1-與 U的大小解715-./14 =何血?jiǎng)?15+/147w-./13 =+7131 1血麗 TU+a/13 .而 715-./14714-/135 等式的基本性質(zhì)法【例5比較的大小【解法1.7 I.7 : ./I-.776-75 +(./6+ 75) = 76+76仏 +同=12 + 26x6=22 + 236j7-j67e-75【解后評(píng)注】本解法利用了下面兩個(gè)性質(zhì)：都加上同一個(gè)數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變 非負(fù)底數(shù)和它們的二次幕的大小關(guān)系一致.【解法2】將它們分別乘以這兩個(gè)數(shù)的有理化因式的積，得（77-76）（77+）（76+75） = 76+75茁-苗+屈広+厲卜后廳又門廠-左-卜“- /-【解后評(píng)注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個(gè)正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.6 利用媒介值傳遞法【例6】比較rm【解后評(píng)注】適當(dāng)選擇介于兩個(gè)無理數(shù)之間的