圓的方程題型總結(jié)按題型,含詳細答案

1、圓的方程題型總結(jié)一、基礎(chǔ)知識1圓的方程圓的標準方程為 ；圓心，半徑 .圓的一般方程為 ；圓心 ，半徑 二元二次方程 Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 表示圓的條件為：(1) ； (2) 2. 直線和圓的位置關(guān)系 ：直線 Ax By C 0，圓(x a)2 (y b)2 r2 ，圓心到直線的距離為 d.則：( 1) d= ；( 2)當時，直線與圓相離；當時，直線與圓相切；當 時，直線與圓相交；( 3 )弦長公式： .3. 兩圓的位置關(guān)系圓 C1 : x a1y b1r12 ；圓C2:2x a2y b2r22則有：兩圓相離 ； 外切相交 ； 內(nèi)切內(nèi)含 .、題型總結(jié)：(一)圓的方程1. x2 y2

2、 3x y 1 0 的圓心坐標 ，半徑 .2點( 2a,a 1)在圓 x2 +y 2 2y4=0的內(nèi)部，則 a的取值范圍是( ) 11A 1a1B 0 a1C 1aD a155 3若方程 x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0) 所表示的曲線關(guān)于直線 y x對稱，必有）A E F B D F C DED D,E,F 兩兩不相等 4圓 x2 y 2ax 2ay 2a 23a0的圓心在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限 5. 若 直 線 3x 4y 12 0 與 兩 坐 標 軸 交 點 為 A,B, 則 以 線 段 AB 為 直 徑 的 圓 的 方 程 是A. x2 y4x

3、 3y 0 B.22x y 4x 3y 0C. x2 y4x 3y 4 0 D.2y 4x 3y 8 02y2 4 外一點 P 4,2作圓的兩條切線 , 切點為 A,B , 則 ABP的外接圓方程是（ ）A.(x 4)2+(y2)2=4B.x2+(y2)2=4C.(x 4)2 +(y 2)2=5D.(x 2)2+(y 1)2=5 7. 過點 A 1, 1 , B1,1 且圓心在直線 xy 2 0 上的圓的方程（2222A.x 3 y14B.x3y 1 42222C.x 1 y 1 1D.x1y 1 1 8圓 x2 y2 2x 6y 90 關(guān)于直線2x y5 0 對稱的圓的方程是A(x 7)2

4、(y1)2 1B (x7)2 (y 2)2 1C2(x 6)2 (y2)2 1D (x6)2 (y 2)2 1） 9已知 ABC的三個項點坐標分別是A（4，1），B（6， 3 ）， 6. 過圓 x2C（ 3，0），求 ABC外接圓的方程10求經(jīng)過點 A（2， 1） ，和直線 x y 1相切，且圓心在直線 y 2x上的圓 的方程2. 求軌跡方程22 11. 圓 x2 y2 4y 12 0 上 的 動 點 Q ， 定 點 A 8,0 ， 線 段 AQ 的 中 點 軌 跡 方 程 12方程 x y 1 x2 y2 4 0 所表示的圖形是（ ）A一條直線及一個圓B兩個點C一條射線及一個圓D兩條射線及一

5、個圓 13已知動點 M到點 A（2，0）的距離是它到點 B（8，0）的距離的一半， 求：（1）動點 M的軌跡方程； （2）若 N為線段 AM的中點，試求點 N的軌跡3. 直線與圓的位置關(guān)系14.圓 x 12 y2 1的圓心到直線 y33 x的距離是（）A. 1 B.23 C. 1 D.2 15.過點 2,1 的直線中,被x22y2 2x4y 0 截得弦長最長的直線方程為A. 3x y 5 0B.3x y 7 0C. x 3y 3 0D.x 3y 1 0 16. 已知直線 l 過點2，0），當直線l 與圓 x 2y22x 有兩個交點時，其斜率 k 的取值范圍是（A. (2 2，2 2)B. (

6、2， 2) C.D.441118，18)17. 圓 x24x0在點 P（1, 3） 處的切線方程為A xx 3yC x3yD x 3y22 18過點 P（ 2，1）作圓 C：x2+y2ax+2ay+2a+1=0的切線有兩條，則 a 取值范圍是（C 3a 2D2 3 a 或 a 25519直線x 2y 30與圓(x 2)2(y3）2 9交于 E、F兩點，則 EOF （ O為原點）的面積為（）A3B 3C6 5 D 3 5245 D 520過點M（ 0， 4），被圓 （x1) 2 y24截得弦長為 2 3 的直線方程為 _ _ A a 3B a 3 21已知圓 C: x12y 2 2 25 及直線

7、 l : 2m 1 xm 1 y 7m 4.mR1）證明:不論m取什么實數(shù) ,直線l與圓 C恒相交；2）求直線 l 與圓 C 所截得的弦長的最短長度及此時直線l 的方程 22已知圓 x2+y2+x6y+m=0和直線 x+2y 3=0 交于 P、Q兩點，且以 PQ為直徑的圓恰過坐標原點， 求實數(shù) m的值4. 圓與圓的位置關(guān)系2 2 2 223. 圓 x2 y2 2x 0 與圓 x2 y2 4y 0 的位置關(guān)系為 24已知兩圓 C1:x2 y2 10,C2:x2 y2 2x 2y 14 0. 求經(jīng)過兩圓交點的公共弦所在的直線方程Ax+y+3=0B2x y5=0C3xy9=0D4x 3y+7=026

8、兩圓 C1: x22 y2x 2y 20，C2:22x y 4x2y 1 0 的公切線有且僅有（ ）A1條B2條C3條D4條 27已知圓C1 的 方 程 為f (x,y)0，且 P（x0,y0）在圓C1外，圓 C2的方程為）2 2 2 2 25兩圓 x2+y24x+6y=0和 x2+y26x=0 的連心線方程為（f （x,y） = f （x0,y0 ） ，則 C1 與圓 C2 一定（） 28求圓心在直線 x y0 上，且過兩圓 x222y2 2x 10y 24 0 ，x22y2 2x 2y 8 0 交點的圓的方程5. 綜合問題2 29. 點 A 在圓 x22y2 2y 上, 點 B 在直線 y

9、x 1上, 則 AB 的最小 30. 若點 P 在直線 2x 3y 10 0上, 直線PA,PB 分別切圓x22y2 4 于 A,B 兩點 , 則四邊形A 相離B相切C同心圓D相交PAOB 面積的最小值為（）A 24 B 16 C 8 D 431. 直線 y x b與曲線 x 1 y2 有且只有一個交點，則 b的取值范圍是（）AB 1 b 1且 b2C 1 b 1以上答案都不對 32. 如果實數(shù) x, y滿足 x2 y2 4x 1 0 求: （ 1） y 的最大值；x（2） y x 的最小值；22（3）x y 的最值 . 33一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預(yù)報：臺風中心位于輪

10、船正西70 km 處，受影響的范圍是半徑長 30 km 的圓形區(qū)域已知港口位于臺風正北40 km 處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響圓的方程題型總結(jié)參考答案1. （- 3,1）； 14 ；2 2 29解：解法一：設(shè)所求圓的方程是 （x a）2 （y b）2 r2 因為 A（4，1），B（6， 3），C（ 3，0）都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程，于是(4 a)2 (1 b)2 r 2,a1,(6 a)2 ( 3 b)2 r 2, 可解得 b3,( 3 a)2 (0 b)2 r 2.r225.所以 ABC的外接圓的方程是(x 1)2(y 3)2 25解法二：因為 ABC外接

11、圓的圓心既在 AB 的垂直平分線上，也在 BC的垂直平分線上，所以先求 AB、BC 的垂直平分線方程，求得的交點坐標就是圓心31642， kBC0 ( 3)1 ，3 63線段 AB 的中點為（ 5， 1），線段 AB的垂直平分線方程為y13BC的垂直平分線方程 y 323(x12(x32)5)，BC 的中點為坐標32)，解由聯(lián)立的方程組可得1, ABC外接圓的圓心為（ 1，3），3.半徑 r | AE | (4 1)2 (1 3)2 5 22故 ABC外接圓的方程是 (x 1)2 (y 3)2 25 10解：因為圓心在直線 y 2x上，所以可設(shè)圓心坐標為 （ a,-2 a），據(jù)題意得：(a 2

12、)2( 2a 1)2 |a 2a 1| ， (a2)2 (1 2a)2 21(1 a)2， a =1 ，圓心為 （1 ， 2） ，半徑為 2 ，所求的圓的方程為 （x 1）2(y2)2 2.11.(x 4)2+(y1)2=4；13解：（ 1）設(shè)動點 M（ x，y）為軌跡上任意一點，則點M的軌跡就是集合P M |MA |112|MB|由兩點距離公式，點 M 適合的條件可表示為(x 2)22 1 2 2 y2 2 (x 8)2 y2 ，平方后再整理，得 x2 y2 16 可以驗證，這就是動點M的軌跡方程2 ）設(shè)動點 N 的坐標為（ x，y）， M的坐標是（ x1，y1）由于 A（ 2， 0），且為

13、線段 AM的中點，所以2 x1x 1 ，20 y1y 1 所以有 x1 2x22， y1 2y由（ 1）題知， M是圓 x2 y2 16上的點，所以 M坐標（ x1， y1）滿足： x12 y12 16 將代入整理，得 （x 1）2 y2 4 所以 N的軌跡是以( 1，0)為圓心，以 2 為半徑的圓(如圖中的虛圓為所求)14.解法一：如圖，在矩形 APBQ中，連結(jié) AB ， PQ交于M ，顯然 OM AB， AB PQ2由 OM 2)2在直角三角形AM2OA2 ，即(x2a)2y b 2 1 2 2 2(y2b)2 41( x a)2 (y b)2 r2，也即 x 22 2 2 2y2 2r

14、2 (a2 b2 ) ，這便是 Q的軌跡方程解法二：2設(shè)Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，則 x122 y122 r ， x22y2r2又 PQ 2AB2，即( x a)2(y b)2 (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 2r2 2(x1x2y1y2)又 AB 與 PQ 的中點重合，故 x a x1 x2 ， y b y1y2 ，即2 2 2( x a) ( y b) 2r2( x1x2 y1y2) ，有 x2 y2 2r2 (a2 b2) 這就是所求的軌跡方程；=0 或 15x 8y 32=0；22解 :(1)直線方程 l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 , 可以

15、改寫為m 2x yy40 , 所以直線必經(jīng)過直線 2xy 7 0和 x y 4 0 的交點 . 由方程組 2x y 7 xy40, 解得03,3, 即兩直線的交點為 A(3,1) 又1因為點A 3,1與圓心C1,2 的距離 d 5 5,所以該點在 C內(nèi),故不論m取什么實數(shù) ,直線l 與圓 C恒相交.(2) 連接 AC , 過 A 作 AC 的垂線 , 此時的直線與圓 C 相交于 B 、 D . BD 為直線被圓所截得的最短弦長 . 此時 , AC5, BC 5, 所以 BD2 25 54 5 . 即最短弦長為 4 5 .又直線 AC 的斜率 kAC121 , 所以直線 BD 的斜率為 2. 此

16、時直線方程為 : y 1 2 x 3,即2x y 5 0.2y1 y2 423解：由 x xy2 x 6y m 0 25y2 20y 12 m 02y 3 012 my1y25又 OP OQ，x1x2+y1y2=0, 而 x1x2=96(y1+y2)+4y1y2= 4m 27 54m 27512 m 0 解得 m=3.524. 相交； 25.x y 2 0 ； ；29解法一：(利用圓心到兩交點的距離相等求圓心) 將兩圓的方程聯(lián)立得方程組22x2 y2 2x 10y 24 0x2 y2 2x 2y 8 0 ，解這個方程組求得 兩圓的交點坐標 A( 4，0)，B(0， 2)因所求圓心在直線 x y

17、 0 上，故設(shè)所求圓心坐標為 (x, x) ，則它到上面的兩上交點 (4，0)和(0，2)的距離相等，故有 ( 4 x)2 (0 x)2x2 (2 x)2 ，即 4x12， x 3， y x 3 ，從而 圓心坐標是( 3，3)又r( 4 3)2 3210， 故所求圓的方程為 (x 3)2 (y 3)2 10解法二：(利用弦的垂直平分線過圓心求圓的方程)同解法一求得兩交點坐標 A( 4，0)，B(0，2)，弦 AB的中垂線為 2x y 3 0 ，它與直線 x y 0交點( 3，3)就是圓心，又半徑 r 10 ， 故所求圓的方程為 (x 3)2 (y 3)2 10 解法三：(用待定系數(shù)法求圓的方程

18、)同解法一求得兩交點坐標為 A( 4，0)，B(0，2)設(shè)所求圓的方程為 (x a)2 (y b)2 r 2 ，因兩點在此圓上，且圓心在 x y 0上，所以得方程組( 4 a)2 b2 r 2a 3a2 (3 b)2 r2 ， 解之得 b 3 ， a b 0 r 10故所求圓的方程為 (x 3)2 (y 3)2 10 解法四：(用“圓系”方法求圓的方程過后想想為什么)設(shè)所求圓的方程為x2 y2 2x 10y 24 (x2 y2 2x 2 y 8) 0 (1)，2 2 2(1 ) 2(5 ) 8(3 ) 即 x2 y2x y 0 11115 可知圓心坐標為 ( , ) 11 因圓心在直線 x y

19、 0 上，所以 1 5 0，解得211將2 代入所設(shè)方程并化簡，求圓的方程x2 y2 6x 6y 8 033. (1)3；(2)62；(3)x2y24 3 ；x2y27 4 3 .min max34解法一： 設(shè)點 P 、 Q的坐標為 (x1,y1)、(x2, y2) 一方面，由 OP OQ，得kOP kOQ1，即1 ，也即： x1x2 y1y2 0 x1 x2另一方面，( x1 , y1 ) 、(x2 , y2) 是方程組2y2y230的實數(shù)解，即 x1、 x2 是方程 m025 x10x 4m27的兩個根 x1 x22，x1x24m 27又 P 、 Q 在直線2y3 0 上，1 y1y2 2(3 x1)將代入，得 y1y 212(3m5x2)12將、代入，