拉普拉斯變換及逆變換

1、第十二章 拉普拉斯變換及逆變換拉普拉斯(Laplace)變換是分析和求解常系數(shù)線性微分方程的一種簡便的方法，而且在自動控制系統(tǒng)的分析和綜合中也起著重要的作用。我們經(jīng)常應(yīng)用拉普拉斯變換進(jìn)行電路的復(fù)頻域分析。本章將扼要地介紹拉普拉斯變換(以下簡稱拉氏變換)的基本概念、主要性質(zhì)、逆 變換以及它在解常系數(shù)線性微分方程中的應(yīng)用。第一節(jié)拉普拉斯變換在代數(shù)中，直接計算 3N =6.28咒寸5202 x(i.i64)5 是很復(fù)雜的，而引用對數(shù)后，可先把上式變換為13lg N = lg 6.28 (lg 5781 - lg 9.82 lg 20) lg 1.16435然后通過查常用對數(shù)表和反對數(shù)表，就可算得原來

2、要求的數(shù)N。這是一種把復(fù)雜運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡單運(yùn)算的做法，而拉氏變換則是另一種化繁為簡的做法。、拉氏變換的基本概念定義12.1設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t_0時有定義，若廣義積分 f(t)edt在P的某一區(qū)域內(nèi) 弋0收斂，則此積分就確定了一個參量為 P的函數(shù)，記作F(P)，即boF(P)二 f(t)edt0 ( 12.1) 稱(12.1 )式為函數(shù)f(t)的拉氏變換式，用記號Lf(t)二F(P)表示。函數(shù)F(P)稱為f(t) 的拉氏變換(Laplace)(或稱為f (t)的象函數(shù))。函數(shù)f (t)稱為F(P)的拉氏逆變換(或稱為F(P)象原函數(shù))，記作LF(P) = f(t)，即 f(t) = LF(P)。關(guān)

3、于拉氏變換的定義，在這里做兩點(diǎn)說明：(1) 在定義中，只要求f (t)在t_0時有定義。為了研究拉氏變換性質(zhì)的方便，以后 總假定在t 0時，f(t) =0。(2) 在較為深入的討論中，拉氏變換式中的參數(shù)P是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值。為了方便起 見，本章我們把 P作為實(shí)數(shù)來討論，這并不影響對拉氏變換性質(zhì)的研究和應(yīng)用。(3) 拉氏變換是將給定的函數(shù)通過廣義積分轉(zhuǎn)換成一個新的函數(shù)，它是一種積分變換。 一般來說，在科學(xué)技術(shù)中遇到的函數(shù)，它的拉氏變換總是存在的。例12.1求斜坡函數(shù)f(t)二at ( t -0，a為常數(shù))的拉氏變換。beta 忖t解：Lat atedttd(eT)=-0p0a_pLdt =2e

4、p丄a :P0、，旦eb：空/dt0pp 0 pta - ptao e dt =2e 02 (p 0)、單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換在研究線性電路在脈沖電動勢作用后所產(chǎn)生的電流時，要涉及到我們要介紹的脈沖函數(shù)，在原來電流為零的電路中，某一瞬時(設(shè)為t =0)進(jìn)入一單位電量的脈沖，現(xiàn)要確定電路t - 0,t = 0.上的電流i(t)，以Q(t)表示上述電路中的電量，則Q(t) = 0由于電流強(qiáng)度是電量對時間的變化率，即i(t) =dQ(t)dtJim Q(t TQ0.寸所以，當(dāng)t = 0時,i(t) =0 ；當(dāng) t = 0時，Q(0 ：t) -Q(0) / 1、i(0) = limlim () 口2

5、Z it At 。上式說明，在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠用來表示上述電路的電流強(qiáng) 度為此，引進(jìn)一個新的函數(shù)，這個函數(shù)稱為狄拉克函數(shù)。定義12.20, t c01設(shè)(t), 0 _t _ ；，當(dāng)二一； 0時,(t)的極限、=lim、(t)-；-；刃，0, t ；稱為狄拉克(Dirac )函數(shù)，簡稱為 函數(shù)。t = 0t =0當(dāng)t=0時，、:(t)的值為0 ；當(dāng)t=0時，：(t)的值為無窮大，即：二0,顯然，對任何；0,有:；(t)dt = . St =1，所以._(t)dt0-函數(shù)用一個長度 :.-函數(shù)的強(qiáng)度。工程技術(shù)中，常將.-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)，有些工程書上，將 等于1的有向線

6、段來表示，這個線段的長度表示-函數(shù)的積分，叫做例12.2求單位脈沖信號(t)的拉氏變換。解：根據(jù)拉氏變換的定義，有-beL卜(t)二 、(t)edt -0g1咼z 1(lim)etdt lim 0 edt = limetdt工10. -0 ;11-e；limp；二丄 limP 川(；)T-0 0:1peP ；lim1p ;0 1L、(t) =1。0,tcO例12.3現(xiàn)有一單位階躍輸入 u(t)，求其拉氏變換。11,讓0一 u(t)edt 1edt 二-丄00p0(a為常數(shù))的拉氏變換。ePdt -, (p a),1p _a解：Lu(t)-(p 0)。例12.4求指數(shù)函數(shù)f(t)=eat. -b

7、e .-解：LU.。eaLedt0Leat,()- -p類似可得 Lsin t 2 (p 0) ； Lcos，t22 ( p 0)。p +p +三、拉氏變換的性質(zhì)a2是常數(shù)，且 Lf1(t)二 Fp) , Lf2(t)HF2(p)，則拉氏變換有以下幾個主要性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以求一些較為復(fù)雜的函數(shù)的拉氏變換。 性質(zhì)12.1 （線性性質(zhì)）若a1，(12.2)LHt） a2f2（t） “丄戸a2Lf2（t） yFjP）飛2卩2（卩） 證明：4=ct4=ctLa1f1(t) a2f2(t)& fdt) a? f2(t) e dt 二 a1f1(t)e_pdta?0 f 0=&丄(圳a2Lf2(t)

8、二 aF(p)a2F2(p)1例12.5求函數(shù)f (t)(1 - et)的拉氏變換a-pt-pt4=ctf2(t)edt o解：11L(1-e )=L1aa性質(zhì)12.2 (平移性質(zhì)) 丄.1 Liea若 Lf(t)二 Fp，則Leat f (t)二 F( p -a) ( a為常數(shù))p( P a)(12.3)證明:Leatf(t)二-borate 0 0 at象原函數(shù)乘以e等于其象函數(shù)左右平移sin t和 Let cos t。co2， Lcos tp - f(t)edt = .f (t)ep3dt二F(p_a)位移性質(zhì)表明：例 12.6 求 Lteat，Let1解 因?yàn)?Lt 2，Lsin t-

9、pLteat，(Pa)|a|個單位。2 p 2，由位移性質(zhì)即得 p Letsin tH(p a)22，Le-at cos t:(p+a) +性質(zhì)12.3 (滯后性質(zhì))若L f (t)HFp，則(12.4)Lf(t -a)弋刊F(p) (a 0)證明：亠.a亠.Lf（t-a）二 f（ta）edtf （ta）eptdt 亠丨 f（ta）edt0_0a一 ?在拉氏變換的定義說明中已指出，當(dāng)t ：0時，f（t） =0。因此，對于函數(shù) f（t-a），當(dāng)t-a ：0 （即t 0f (0)， f,乍0)2由(12.6 )式，得2 2 L 一 sin t二 L f (t) = p L f (t) - pf (

10、0) - f (0)，即2 2-/： Lsin t = p Lsin -1 7：移項(xiàng)化簡得Lsin ，t =2p +1利用上述結(jié)果，cos；：;t(sin ；：:t)及(12.5)式，可得Lcos，t = L (sin ，t)二丄 L(sin ，t)=丄 pLsin t - sin 0cooco1 p p 22-022p +國p性質(zhì)12.5(積分性質(zhì))若Lf (t)H F(p) (p=0)，且設(shè)f(t)連續(xù)，則Lf (x)dxH0 p ( 12.8)t證明：令(t o f (x)dt，顯見(00，且因:(t) = f(t)，由微分性質(zhì)，得L(t) =pL(t)申(0)，而 LA(t) = Lf

11、(t) =F(p)，所以有tt1F(p) = pL (t)H pL 0 f(x)dx，即 L 0 f (x)dx F(p)。00p積分性質(zhì)表明：一個函數(shù)積分后再取拉氏變換，等于這個函數(shù)的象函數(shù)除以參數(shù)p。例12.11求Ltn (n是正整數(shù))。解：因?yàn)閠t 二1dx，tt2 = j 2xdx，t3t=f3x2dx000所以由(12.8)式即得Lt二tL1丄1!L 1dx二一 2，0pppt2Lt2!tntn xndx 02Lt = L2 xdx二Lt373.x2dx二23Lt 般地，有Ltnn 4x dt叫嚴(yán)n!性質(zhì)12.6若Lf(t):=Fp，則 a0時1pLf(at)F (上)aa性質(zhì)12.

12、7若Lf(t):= Fp，則Ltnf(t)二(-1)nF（n）（p)性質(zhì)12.8若Lf(t):=F p，且 limf(t)存在,則T t f(t)屮F(p)dp t例 12.12 求 Ltsin t。(12.9)(12.10)(12.11)解：因?yàn)長sin，t =22，由（12.1）式可得d 2poLtsin g(1)dP(L7?例12.13求L竺、。t1sin t解：因?yàn)長sint 2 ，而且lim1，所以由（12.11）式可得憂1咼兀 dp 二 arctg p |/arctg pp 12因此，當(dāng)P = 0時，得到一個廣義積分的值l【T =（即；:號edt-arctgp。t:si nt _

13、二dt : t 2這個結(jié)果用原來的廣義積分的計算方法是得不到的?，F(xiàn)將拉氏變換的八個性質(zhì)和在實(shí)際應(yīng)用中常用的一些函數(shù)的象函數(shù)分別列表如下:表12.1拉氏變換的性質(zhì)序號設(shè) Lf(t)=F(p)1La1f1(ta2f2(t)a1Lf1(t)pa2Lf2(t)2atLe f(t)=F(pa)3Lf (t a)u(t a) =epF(p)(a0)4Lf(t) = pF(p) f(0)L f(n)(t) = pnF( p) pZf (0) + pnf (0)十.十 f z (0)5/F(p)LJ f(x)dx 刃 0p6Lf(ai)=-F()a a( ao7Ltnf(t)=(_1)nF(n)(p)8f (

14、t)說L = i F(p)dp t1 p表12.2常用函數(shù)的拉斯變換表序號f(t)F(p)16(t)12u(t)1 p3t12 p4tn( n =1,2,)n!n卅 p5at e1P a61 eaP( P + a)7teat1(P-a)28tneat( n = 1,2,)n!/n41(P-a)9sincotcoP2 + J10costP2 2P +國11si n（叭+申）psin申+國cos申2 + J P十12COS(GOt +申)pcos co sin p求下列函數(shù)的拉氏變換(1) f(t)=e4t2(2) f(t)=t(3) f(t)=teat(4) f (t) =si n(t )( 是

15、常數(shù)) 求下列題中函數(shù)的拉氏變換(1) 3e4t-1,0 蘭t 蘭 4 + 時 213tsi n 麒2cop(p2g2)214sin cct ot cosot2國(3) f(t)二I 1,4/2丄2、2(p + )15t cost2 2 p -co#2丄22(p + )16et sin cotco(p+a)2 +時 217p + aet cosct(p+ a)2 +時 2181p(1 cosat)1a2 2p(p +a )19atbta be - e(p-a)(p-b)202瞪1pj p2111J p(2) 5sin 2t - 3cost工sint,0玄t必叮(4) f(t)二I t, t習(xí)題

16、12.1(5)0,f(t) 1,.0,(6) f(t)=tneat第二節(jié)拉普拉斯逆變換前面我們主要討論了怎樣由已知函數(shù)f(t)求它的象函數(shù)F(p)的問題.運(yùn)算法的另一面是已知象函數(shù)F(p)要求它的象原函數(shù) f (t)，這就是拉斯逆變換問題.在控制工程中，求拉氏反變換的簡便方法是利用拉氏變換表。同時把常用的拉氏變換的性質(zhì)用逆變換形式一一列出.性質(zhì)12.9 (先行性質(zhì))1 1 1L aF(p) a2F2(p)二 a“L ( p) a?L F?( p)二印 f“(t) *2彳2化)。性質(zhì) 12.10 (平移性質(zhì))LF(p-a) =e LF(p)=e f (t)。1ap性質(zhì) 12.11 (滯后性質(zhì))L

17、 e F(p) = f (t-a) u(t-a)。例12.14求F(p)二22p 3的逆變換。pP +3_ 44p3 4p2 4P p p 2于是 _2p+5解：的亠存上込片p -2p +5( p -1) +4= 2LJ吟5L務(wù)(p -1)2 +42 (p 1)2 +4t p 5 t -12= 2eL 飛2eL 二 p 42 p 455=2et cos2tet sin 2 et2cos2tsin 2t2 2在運(yùn)用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)有問題時，通常遇到的象函數(shù)常常是有理分式，對于有理分式一般可采用部分分式方法將它分解為較為簡單的分式之和，然后再利用拉氏變換F(p)二2(p 2)2 ,4 3

18、 1f(t) = LF(p滬L 石324 p 22 (p 2)表求出象原函數(shù)。例12.15求F(pU的逆變換。解：先將F p分解為幾個簡單分式之和：p 3p 3A . B.Cp3 4p2 4PP(p 2)2p p 2(p 2)2 ,3用待定系數(shù)法求得 A = , B =3 C 1 C =所以442331W 3p3 _2te4-恥丄一丄1 J4 p 22 (p 2)-itet2習(xí)題13.2求下列題中函數(shù)的拉氏逆變換1.F(P)2.F(p)二4pp2 163.F(p)2p -8 p2364.F(P)=1p(p 1)(p 2)5.F(p)2Pp3 6p2 9p6.F(p)=p21P(p-1)2第三節(jié)

19、 拉氏變換在電學(xué)中的應(yīng)用、求解常微分方程例12.16求微分方程x(t)2x(t) =0滿足初值條件x(0) =3的解。解：第一步 對方程兩邊取拉氏變換，并設(shè)Lx(t)=X(p):Lx(t) 2x(t)HL0，Lx(t) 2Lx(t)H0，pX(p)-x(0)+2X(p)=0。將初始條件x(0) =3代入上式，得(p+2)X(p)=3這樣，原來的微分方程經(jīng)過拉氏變換后，就得到了一個象函數(shù)的代數(shù)方程。3第二步解出X(p) : X(p)： p+23第三步 求象函數(shù)的拉氏逆變換：x(t)二L，x(p)二L =3etp + 2這樣就得到了微分方程的解 x(t) = 3et。例12.17有一個二階動態(tài)電路

20、滿足微分方程y -3y+2y = 2e，并且其初值條件y(0) = 2，y (0) = T，求其解。解：對所給微分方程的兩邊分別作拉氏變換.設(shè)Ly(t) =Y(p) =Y，則得p2Y -py(0) -y(0) -3pY-y(0) 2Y將初值條件y(0) =2 , y(0) = 1，代入，得到 Y的代數(shù)方程2 2(p 0 2)Y/ *722p2-5p-5(p2-3p 2)丫二p +1解出丫，得丫2p2-5p-5_(p 1)(p-2)(p-1)將上式分解為部分分式17Y= 3 . 4 _ 3p+1p_1p_2再取拉氏逆變換，就得到滿足所給初值條件的方程的特解為1 -tt 7 2ty(t) e 4e e3 3用拉氏變換還可以解常系數(shù)線性微分方程組。、電學(xué)應(yīng)用舉例例12.18求圖示電路的輸入運(yùn)算阻抗乙n(s)解：由串并聯(lián)關(guān)系得2 s21乙n(S)=1s 12K1K2I(S)=6 s10 s 1 s2