規(guī)模經(jīng)濟和壟斷競爭下的D—S模型[行業(yè)使用]

1、規(guī)模經(jīng)濟和壟斷競爭下的 DS模型 第三組：張曉 袁璐 余佳瑩 黃蓉 田銀歡 王立斌 1應用分析 一、模型的微觀基礎一、模型的微觀基礎 2應用分析 1.已知效用函數(shù) ,預算約束 ,證明：在約束效用 最大點，價格比率 / 一定等于邊際效用比率 。 bay AxU Byx PPyx PxP y yxMUMU / 證 (1.1) (1.2) (1.1)中的 , 及（1.2）中的 由（1.1） 0 1 x ba x yx ba PyaAxU yPxPByAxU 0 1 y ba yPbbAxU 0yPxPBUyx Xx ba MUuyaAx 1 yy ba MUuybAx 1 x x x ba P MU

2、 P yaAx 1 3應用分析 由（1.2）， 于是， y y y ba P MU P ybAx 1 y y x x P MU P MU y x y x P P MU MU 4應用分析 2.給定一個柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) .預算約束 證明成本最小時的輸入比率為 證：利用拉格朗日函數(shù)法， 由 (2.1)及 (2.2) 整理， LAKq BLPKPLK K L P P L K 0 )( 1 KK LK PLAKQ LPKPBLAKQ 0 1 LLPLAKQ 0LPKPBQLK LKP LAK P LAK 11 LAK LAK P P K L 1 1 （2.2） （2.1） 5應用分析 由于 及 ,

3、所以， (2.3) LLL 1 KKK 1 1 L K P P K L K L P P L K 6應用分析 3.對于一個線性的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) ,證明： (資本產(chǎn)出彈性)， (勞動產(chǎn)出彈性)。 證 由產(chǎn)出彈性定義， 及 因為 求邊際函數(shù)， L AKQQK QL KQ KQ QK LQ LQ QL 。則及，令LKk -11 LAkL L K ALAKQ )( 1 Ak L K ALAK L Q Ak L K ALAKLAK K Q )1 ()()1 ()1 ( )( 11) 1(111 7應用分析 求平均函數(shù), 然后，用平均函數(shù)分別去除邊際函數(shù)，得到彈性， Ak L LAk L Q Ak

4、k Ak K LAk K Q 1 1 )1 ( 1 1 Ak Ak LQ LQ Ak Ak KQ KQ QL QK 8應用分析 4. 方程 2.3（ 及 ） 給出了廣義柯布-道格拉斯生產(chǎn)函 數(shù)最小成本輸出比率。證明：任何廣義柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)有單一替代彈 性，即 =1。 證 替代彈性被定義為：由于價格比 微小的變化率所引起的最低成本比 的變化率。 (4.1) L K P P K L K L P P L K KLPPLK KL KL KL KL PP LK PPd LKd PP PPd LK LKd )( )( )( )( )( )( KLPPd LKd 因為（2.3）中的和為常數(shù)，而PK和

5、PL為自變量，K/L可以視為PK/PL的函數(shù) 注意到（4.1）的第二個比率中，=邊際函數(shù)、平均函數(shù)，首先（2.3）的邊際函 數(shù)為 9應用分析 然后，兩邊同時除以 ，求（2.3）的平均函數(shù)， 代入（4.1）， KLPP KLPP LK 1 )( )( KL KL PP LK PPd LKd 10應用分析 5.利用（2.3）給出的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的最低成本比率（ ） 檢驗答案，其中 證 因為 ，由（2.3） 資本和勞動必須以16K：15L的比率使用。 K L P P L K 43, 5 . 04 . 0 LKPPLKq及 0.50.4， 1.5 1.6 30.5 40.4 L K ）（ ）（

6、 11應用分析 二、 CES 生產(chǎn)函數(shù) 12應用分析 CES生產(chǎn)函數(shù) 不變替代彈性生產(chǎn)函數(shù)(Constant Elasticity of Substitution，縮寫為CES)，是指在生產(chǎn)要素投入之間 具有不變的替代彈性這樣一類生產(chǎn)函數(shù)。其一般形式為 式中，Q代表產(chǎn)出,K為資本投入,L為勞動投入。A、為參數(shù)， 它們滿足A0、01、-1的條件。 1 )1 ( LKAQ 13應用分析 CES生產(chǎn)函數(shù)有兩個重要特性： （1）它是一次齊次的； （2）它有不變的替代彈性。 14應用分析 1 )1 ( LKAQ 1.已知CES函數(shù) 回憶問題1的結(jié)論：如果函數(shù)達到最優(yōu)，則價格比等于邊際產(chǎn)品之比。 （a）證

7、明CES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性為常數(shù)，（b）確定的取值范圍。 證明：（a）根據(jù)提示，函數(shù)達到最優(yōu)投入的條件是價格比等于 邊際產(chǎn)量之比 K L K L P P KQ LQ MP MP / / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) 1 ( 11 11) 1 ( KLKA KLKA K Q LLKA LLKA L Q 利用廣義冪函數(shù)法則求式的一階導數(shù)， 15應用分析 K L P P L K K L KLKA LLKA KQ LQ 11 1 1 1 1 1 1 11 1 11 / / 1 1 1 1 1 1 1 K L K L P P L K P P L K 為了計算方便，令 1 1

8、1 h 1 1 K L P P h L K 則 根據(jù)式，函數(shù)達到函數(shù)達到 最優(yōu)投入的條件是最優(yōu)投入的條件是 價格比等于邊際產(chǎn)量之比價格比等于邊際產(chǎn)量之比 16應用分析 由于和為常數(shù)，正如問題4一樣，將K/L視為PL/PK的函數(shù)。我們知道 函數(shù)的邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比為替代彈性， KL KL KL KL PP LK PPd LKd PP PPd LK LKd / / )/( )/( / )/( / )/( 則邊際函數(shù)為 1 1 1 1 1 )/( )/( K L KL P P h PPd LKd 平均函數(shù)為 1 1 1 / / K L KL P P h PP LK 1 1 K L P P h L

9、 K 由式， 17應用分析 （b）由（a） 得 ，而 的取值范圍是 -1， 若-11; 若=0， 則=1； 若0 , 則1 (1) 23應用分析 將預算約束代入（1）式 結(jié)論：產(chǎn)品種類越豐富，也就是說消費者偏好盡可能 多的產(chǎn)品，效用也越大。 1 1 )( n p E 1 0 1 n i dyY (2) 24應用分析 2.消費者效用最大化 根據(jù)上式，構(gòu)建拉格朗日函數(shù)： 分別對產(chǎn)品變量i和j求偏導： n ii i Eypts y MaxY 0 . 0 n o ii n ii EypdyL 1 0 1 25應用分析 對于產(chǎn)品i ii n ii pydy 1 1 1 1 0 1 1 1 對于產(chǎn)品j j

10、ii n i pydy 1 1 1 1 0 1 1 1 j j j i j i j i p p y y p p y y 1 兩式相除可得： (3) 26應用分析 對兩邊分別取對數(shù)： 結(jié)論： 不僅是產(chǎn)品之間的替代彈性也是需求的價格 彈性。 )ln()ln()ln()ln( jiji ppyy j i j i p p y y lnln (4) (5) 27應用分析 對（3）式兩邊同乘Pi 為了求出j產(chǎn)品的需求函數(shù)，對產(chǎn)品i在0到n的區(qū)間上進行積分： j i j ii p p y yp 1 j n ii i n iii p dp y dyp 0 1 0 n ii j j dp p Ey 0 1 (6

11、) 28應用分析 結(jié)論：pj自身價格越高，這Yj的消費越少，P為綜合價格， 綜合價格越高，對Yj的需求越大。 1 P p EPEpyy j jjj ， 將（7）式代入（6）式， 1 1 0 1 n ii dpP 定義綜合價格指數(shù)： (7) (8) 29應用分析 對（6）式改寫為： 兩邊同時對j產(chǎn)品在0到n上進行積分： 1 0 1 1 1 1 n ii j j dp p Ey 1 0 1 0 1 1 0 1 n ii n ij i n j dp dp Edy 3.間接效用 30應用分析 1 1 1 0 1 1 0 1 n ij n ij dpEdy 1 1 0 1 n ij dpEY P E V

12、Y(9) 結(jié)論：間接效用隨著綜合價格的上升而下降。 31應用分析 因為對稱性假設pi=p,我們可以將（7）式改寫為： 1 1 1 1 0 1 1 1 np dp n i 1 1 0 1 n ii dpP 結(jié)論：綜合價格指數(shù)隨著產(chǎn)品種類的增加而上 升，進而引起間接效用的增大。 32應用分析 生產(chǎn)者市場均衡 假定有n個廠商生產(chǎn)不同的產(chǎn)品，每個廠商對其所生 產(chǎn)的產(chǎn)品具有壟斷性。 對于廠商j有如下成本函數(shù)： 其中 wFcyTCjj)(10) FcyL j 33應用分析 該成本函數(shù)具有以下特征： a.勞動投入是影響產(chǎn)量的唯一因素，勞動報酬等于工資率w。 b.廠商具有不變的固定成本F和邊際成本c。 c.成

13、本函數(shù)是次加性的，即存在規(guī)模經(jīng)濟。 jj j j y Fw cw y TC AC 0 2 jj j y Fw y AC 也就是說對于每一種產(chǎn)品只有唯一一個生產(chǎn)商。 34應用分析 1.利潤最大化問題（PMP） 考慮到消費者的需求，每一壟斷廠商將設定一個 價格。 對于壟斷廠商j其利潤函數(shù)為： jjjj TCyp(11) 35應用分析 因此，廠商j的利潤最大化問題可表示為： Max s.t. jjj TCyp 1 p p Ey j j wF p p cE p p EpMax jj j p j 11 36應用分析 對上式求 的導數(shù)（FOC）： j p 01 1 1 1 p p cwEp p E j j

14、 cwp j 1 （12） 37應用分析 結(jié)論： a.每個壟斷廠商面臨著同樣的均衡價格 b.當價格高于邊際成本時，廠商即可獲利。利潤隨 著替代彈性的增大而減少，當替代彈性趨于無窮大 時，廠商的均衡價格就等于邊際成本，也即為壟斷 競爭的最優(yōu)均衡。 pp j 38應用分析 而這正與我們之前所熟知的壟斷廠商的定價規(guī)則 一致： 是替代彈性的絕對值。 MCp 1 1 1 39應用分析 2. .均衡產(chǎn)出 首先，我們用公式（12）來重新改寫公式（11）的 利潤函數(shù)： 假設廠商自由進入（邊際廠商的凈收益為零），每 個壟斷廠商都是零利潤經(jīng)營，即 Fcywywc ijj 1 0 j Fcywywc jj 1 40應用分析 整理上式我們可得均衡產(chǎn)出式： 等式（13）表明對于所有的壟斷廠商均衡產(chǎn)出是 一樣的。 由于效用函數(shù)和成本函數(shù)都是對稱的，在市場均衡 時，每個廠商具有相同的均衡產(chǎn)量、面對同樣的 均衡價格。 c F yy j 1（13） 41應用分析 3.3.均衡產(chǎn)品種類 為了得到均衡的產(chǎn)品種類，我們假設勞動力市場是 確定的： 對（14）兩邊同乘w后作變形可得： 這個表達式可以直觀的看出，因為勞動投入是影 響產(chǎn)出的唯一因素，所以總收益等于總成本。 )(FcynL （14） )(TCnwL 42應用分