專題四曲線運動講義

1、專題四曲線運動知識網絡:條件：F合與初速V。 不在一條直線上平拋運動研究方法：運動的合成和分解曲線運動特例規(guī)律：水平方向勻速直線運動豎直方向自由落體運動方向：沿切線方向一、運動的合成與分解1曲線運動勻速圓周運動特點：v、a大小不變，方向時刻變化描述：v、3、T、a、n、f條件：F合與初速Vo垂直條件：只受重力，初速水平(1) 曲線運動的條件：質點所受合外力的方向(或加速度方向)跟它的速度方向不在同一直線上。當物體受到的合力為恒力(大小恒定、方向不變)時，物體作勻變速曲線運動，如平拋運動；當物體受到的合力大小恒定而方向總跟速度的方向垂直，則物體將做勻速率圓周運 動.(這里的合力可以是萬有引力衛(wèi)星

2、的運動、庫侖力電子繞核旋轉、洛侖茲力一 帶電粒子在勻強磁場中的偏轉、彈力繩拴著的物體在光滑水平面上繞繩的一端旋轉、重力與彈力的合力一一錐擺、靜摩擦力一一水平轉盤上的物體等. );如果物體受到約束，只 能沿圓形軌道運動，而速率不斷變化一一如小球被繩或桿約束著在豎直平面內運動，是變速率圓周運動.合力的方向并不總跟速度方向垂直.(2) 曲線運動的特點：曲線運動的速度方向一定改變，所以是變速運動。需要重點掌握的 兩種情況：一是加速度大小、方向均不變的曲線運動，叫勻變速曲線運動，如平拋運動，另 一是加速度大小不變、方向時刻改變的曲線運動，如勻速圓周運動。2、運動的合成與分解(1) 從已知的分運動來求合運

3、動，叫做運動的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它們都是矢量，所以遵循平行四邊形定則。重點是判斷合運動和分運動，這里分兩種情況介紹。一種是研究對象被另一個運動物體所牽連，這個牽連指的是相互作用的牽連，如船在水上航行，水也在流動著。 船對地的運動為船對靜水的運動與水對地的運動的合運動。一般地，物 體的實際運動就是合運動。第二種情況是物體間沒有相互作用力的牽連，只是由于參照物的變換帶來了運動的合成問題。如兩輛車的運動，甲車以 v甲=8 m/s的速度向東運動，乙車以 v乙=8 m/s的速度 向北運動。求甲車相對于乙車的運動速度v甲對乙。(2) 求一個已知運動的分運動，叫運動的分解，解題時應按實

4、際“效果”分解，或正交分 解。(3) 合運動與分運動的特征： 等時性：合運動所需時間和對應的每個分運動時間相等 獨立性：一個物體可以同時參與幾個不同的分運動，各個分運動獨立進行，互不影響。(4)物體的運動狀態(tài)是由初速度狀態(tài)( 動的力和運動的觀點思路是：存在中間牽連參照物問題：如人在自動 扶梯上行走，可將人對地運動轉化為人對 梯和梯對地的兩個分運動處理。v0)和受力情況(F合)決定的，這是處理復雜運復朵運動簡單運動勻變速曲線運動問題:可根據初速度(v0)和受力情況建立直角坐標系,將復雜運動轉化為坐標軸上的簡單運動來處理。如平拋運動、帶電粒子在勻強電場中的偏轉、帶電粒子在重力場和電場中的曲線運動等

5、都可以利用這種方法處理。運動的性質和軌跡物體運動的性質由加速度決定 （加速度得零時物體靜止或做勻速運動；加速度恒定時物體做勻變速運動；加速度變化時物體做變加速運動）。物體運動的軌跡（直線還是曲線）則由物體的速度和加速度的方向關系決定（速度與加速度方向在同一條直線上時物體做直線運動；速度和加速度方向成角度時物體做曲線運動）。兩個互成角度的直線運動的合運動是直線運動還是曲線運動？決定于它們的合速度和合加速度方向是否共線（如圖所示） 常見的類型有： a=:勻速直線運動或靜止。 a恒定：性質為勻變速運動， v、a同向，勻加速直線運動； v、a反向，勻減速直線運動； v、a成角度，勻變速曲線運動 方向接

6、近，但不可能達到。） a變化：性質為變加速運動。（6 ）過河問題分為:（軌跡在方向逐漸向 a的v、a之間，和速度v的方向相切,如簡諧運動，加速度大小、方向都隨時間變化。如右圖所示，若用 v1表示水速，v2表示船速，則：過河時間僅由v2的垂直于岸的分量 v丄決定，即, v2丄岸時，過河所用時間最短，最短時間為tV2與V1無關，所以當 也與v1無關。V1過河路程由實際運動軌跡的方向決定，當v1 v2時，最短路程程為（如右圖所示）tv_v1 v v2時，最短路程為dV2（7）連帶運動問題指物拉繩（桿）或繩（桿）拉物問題。由于高中研究的繩都是不可伸長的， 桿都是不可伸長和壓縮的， 即繩或桿的長度不會改

7、變， 所以解題原則是:把物體的實際速度 分解為垂直于繩（桿）和平行于繩（桿）兩個分量，根據沿繩（桿）方向的分速度大小相同 求解?！纠?】如圖所示，在河岸上用細繩拉船，使小船靠岸，拉繩的速度為 當拉船頭的細繩與水平面的夾角為0=30時，船的速度大小為【例2】兩根光滑的桿互相垂直地固定在一起。上面分別穿有一個小球。 b間用一細直棒相連如圖。當細直棒與豎直桿夾角為a時，求兩小球實際 va : vb二、平拋運動 當物體初速度水平且僅受重力作用時的運動，被稱為平拋運動。變速運動。平拋運動可分解為水平方向的勻速運動和豎直方向的自由落體運動這兩個分運 動。廣義地說，當物體所受的合外力恒定且與初速度垂直時，做

8、類平拋運動。1、平拋運動基本規(guī)律速度：v = v , vy合速度vVy方向：tan 0 = vx=gtV。、 打2位移x=vot y= 2合位移大?。簊=處屮丄,t方向：tan a = x 2v。1gt2浮 時間由y= 2 得t= x (由下落的咼度y決定) 豎直方向自由落體運動，勻變速直線運動的一切規(guī)律在豎直方向上都成立。 2.應用舉例(1 )方格問題【例3】平拋小球的閃光照片如圖。已知方格邊長a和閃光照相的頻閃間隔T,求：解析：水平方向： 先求C點的水平分速度5avO、g、vc2a2Vos = gT , gT豎直方向：vx和豎直分速度vy，再求合速度a /,Vc412aVx 二 V0 J

9、Vy(2 )臨界問題典型例題是在排球運動中， 為了使從某一位置和某一高度水平扣出的球既不觸網、 扣球速度的取值范圍應是多少？【例4】已知網高H,半場長L,扣球點高h，扣球點離網水平距離 求：水平扣球速度 v的取值范圍。2T2Tas、TvC:【例5】如圖所示，長斜面 0A的傾角為放在水平地面上，現(xiàn)從頂 點0以速度V0平拋一小球，不計空氣阻力，重力加速度為g,求小球在飛行過程中離斜面的最大距離s是多少？(3 )一個有用的推論平拋物體任意時刻瞬時時速度方向的反向延長線與初速度延長線的交點到拋出點的距離都等于水平位移的一半。證明：設時間t內物體的水平位移為 s，豎直位移為h，則末速度2htan:亠Vx

10、又不出界,h : I :H “、V円l*L 1OaVxvtV0的水平分量 vx=vO=s/t，而豎直分量 vy=2h/t , h ss = 一所以有 tan2【例6】從傾角為B =30。的斜面頂端以初動能 拋出一個小球，則小球落到斜面上時的動能為 3、曲線運動的一般研究方法(1)研究曲線運動的一般方法就是正交分解法。將復雜的曲線運動分解為兩個互相垂直方 向上的直線運動。一般以初速度或合外力的方向為坐標軸進行分解?！纠?】 如圖所示，在豎直平面的xoy坐標系內，oy表示豎直向上方向。該平面內存在沿x軸正向的勻強電場。一個帶電小球從坐標原點沿oy方向豎直向上拋出，初動能為4J,不計空氣阻力。它達到

11、的最高點位 置如圖中M點所示。求： 小球在M點時的動能E1。E=6J向下坡方向平在圖上標出小球落回 x軸時的位置N。小球到達N點時的動能E2。4、斜拋運動分斜上拋和斜下拋(由初速度方向確定)兩種，下面以斜上拋運動為例討論.(1) 特點：加速度 H F ,方向豎直向下，初速度方向與水平方向成一夾角5 = 90拋或豎直下拋，為平拋運動.(2) 常見的處理方法： 將斜上拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的 豎直上拋運動，這樣有由此可得如下特點：a.斜向上運動的時間與斜向下運動的時間相等： b.從軌道最高點將斜 拋運動分為前后兩段具有對稱性， 如同一高度上的兩點， 速度大小相等，速度方向與水

12、平線 的夾角大小相等. 將斜拋運動分解為沿初速度方向的斜向上的勻速直線運動和自由落體運動兩個分運動，用矢量合成法則求解. 將沿斜面和垂直斜面方向作為 x、y軸，分別分解初速和加速度后用運動學公式解題.【例8】一足球運動員開出角球，球的初速度是20 m/s，初速度方向跟水平面的夾角是37 .如果球在飛行過程中，沒有被任何一名隊員碰到，空氣阻力不計，g取10 m/s2，求:(1) 落點與開出點之間的距離；(2) 球在運動過程中離地面的最大距離.5、類平拋運動在具體的物理情景中，常把復雜的曲線運動，分解成幾個簡單的直線運動來處理.用類似 平拋運動的解決方法解決問題，例如帶電粒子在電場中的偏轉運動等.

13、解決此類問題要正 確理解合運動與分運動的關系：1、等時性：合運動與分運動經歷的時間相等.即同時開始，同時進行，同時停止.2、 獨立性：一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，不受其它分運動的影響.3、等效性：各分運動的規(guī)律疊加起來與合運動的規(guī)律有完全相同的效果.【例9】如圖所示，光滑斜面長為 a,寬為b，傾角為B。一物塊沿斜面上方頂點P水平射入，而從右下方頂點 Q離開斜面，求物塊入射的初速度為多少？三、圓周運動、描述圓周運動物理量:1、線速度(1) 大?。簐= t (s是t時間內通過的弧長)(2) 方向：沿圓周的切線方向，時刻變化(3) 物理意義：描述質點沿圓周運動的快慢2、角速度：(1

14、) 大?。? t (是t時間內半徑轉過的圓心角)(2) 方向：沿圓周的切線方向，時刻變化(3) 物理意義：描述質點繞圓心轉動的快慢3、周期T、頻率f :作圓周運動的物體運動一周所用的時間，叫周期；單位時間內沿圓周繞圓心轉過的圈數(shù)，叫頻率。即周期的倒數(shù)。4、V、T、 f的關系rf點評：、T、 f，若一個量確定，其余兩個量也就確定了，而v還和r有關。5、向心加速度a:= 4:.(1)大小:2 f 2r(2) 方向：總指向圓心，時刻變化(3) 物理意義：描述線速度方向改變的快慢。比、角速度之比、加速度之比?！纠?0】如圖所示裝置中，三個輪的半徑分別為 r、2r、4r, b點到圓心的距離為r，求圖中a

15、、b、c、d各點的線速度之【例11】如圖所示，一種向自行車車燈供電的小發(fā)電機 的上端有一半徑r0=1.0cm的摩擦小輪，小輪與自行車車 輪的邊緣接觸。當車輪轉動時，因摩擦而帶動小輪轉動， 從而為發(fā)電機提供動力。自行車車輪的半徑R1=35cm小齒輪的半徑 R2=4.0cm，大齒輪的半徑 R3=10.0cm。求 大齒輪的轉速n1和摩擦小輪的轉速 n2之比。、牛頓運動定律在圓周運動中的應用(圓周運動動力學問題)1. 向心力2 , 2V24 兀2 2F 二 ma向二 m m R 二 m一 R = m4二 f R(1)大小:RT2(2)方向：總指向圓心，時刻變化說明：向心力”是一種效果力。任何一個力，或

16、者幾個力的合力，或者某一個力的某個分 力，只要其效果是使物體做圓周運動的，都可以作為向心力。“向心力”不一定是物體所受合外力。做勻速圓周運動的物體，向心力就是物體所受的合外力，總是指向圓心。做變速圓周運動的物體，向心力只是物體所受合外力在沿著半徑方向上的一個分力，合外力的另一個 分力沿著圓周的切線，使速度大小改變。2. 處理方法：一般地說，當做圓周運動物體所受的合力不指向圓心時，可以將它沿半徑方向和切線方向正交分解，其沿半徑方向的分力為向心力，只改變速度的方向， 不改變速度的大小； 其沿切線方向的分力為切向力， 只改變速度的大小， 不改變速度的方向。 分別與它們相應的向心加速度描述速度方向變化

17、的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢。做圓周運動物體所受的向心力和向心加速度的關系同樣遵從牛頓第二定律：Fn=man在列方程時，根據物體的受力分析， 在方程左邊寫出外界給物體提供的合外力，右邊寫出物體需要mv 或 m豹 2 R 或 mi R的向心力（可選用RT等各種形式）。如果沿半徑方向的合外力大于做圓周運動所需的向心力，物體將做向心運動，半徑將減小；如果沿半徑方向的合外力小于做圓周運動所需的向心力，物體將做離心運動，半徑將增大。 如衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時，在遠地點和近地點的情況。3處理圓周運動動力學問題的一般步驟：（1）確定研究對象，進行受力分析；（2）建立坐標系，通常選取質點所在位置為坐

18、標原點，其中一條軸與半徑重合;（3 ）用牛頓第二定律和平衡條件建立方程求解。4 幾個典型例題（1）圓錐擺圓錐擺是運動軌跡在水平面內的一種典型的勻速圓周運動。其特點是由物體所受的重力與彈力的合力充當向心力，向心力的方向水平。也可以說是其中彈力的水平分力提供向心力（彈力的豎直分力和重力互為平衡力）?！纠?2】小球在半徑為 R的光滑半球內做水平面內的勻速圓周運動，試分析圖中的B （小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角） 與線速度v、周期T的關系。（小球的半徑遠小于 R。） 解析：小球做勻速圓周運動的圓心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方

19、向必然水平。如圖所示有:2mv2mg tanmRsin 八Rsin 8v = JgRtansin 日,T = 2兀 J Rcos =2兀|上 由此可得：- g g ,（式中h為小球軌道平面到球心的高度）。可見，B越大（即軌跡所在平面越高），v越大，T越小。點評：本題的分析方法和結論同樣適用于圓錐擺、火車轉彎、飛機在水平面內做勻速圓周飛行等在水平面內的勻速圓周運動的問題。共同點是由重力和彈力的合力提供向心力，向心力方向水平。（2 ）輕繩和輕桿模型這類問題的特點是：由于機械能守 恒，物體做圓周運動的速率時刻在改 變，物體在最高點處的速率最小，在 最低點處的速率最大。物體在最低點 處向心力向上，而重

20、力向下，所以彈 力必然向上且大于重力；而在最高點處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進行討論。彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有 即V - gR，否則不能通過最高點。2mvF mg =y R-mg彈力只可能向上，如車過橋。在這種情況下有:mg - F乞 mg, v 乞.gR否則車將離開橋面，做平拋運動。這種情況下，速度大小vC（3）綜合應用例析【例15】如圖所示，用細繩一端系著的質量為M=0.6kg的物體A靜止在水平轉盤上，細繩另一端通過轉盤中心的光滑小孔0吊著質量為 m=0.3kg的小球B, A的重心到0點的距離為0.2m .若A與轉盤間的最大靜摩擦力為f

21、=2N，為使小球B保持靜止，求轉盤繞中心0旋轉的角速度3的取值范圍.（取g=10m/s2）【例16】一內壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內，環(huán)的半徑為R （比細管的半徑大得多）.在圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點）.A球的質量為m1, B球的質量為m2它們沿環(huán)形圓管順時針運動，經過最低點時的速度都為V0 .設A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1、m2 R與V0應滿足的關系式是四、探究平拋運動物體運動規(guī)律1、探究平拋運動物體在豎直方向的運動規(guī)律猜測平拋運動的軌跡是一條曲線，且沿這條曲線越往下，曲線的切線方向越趨近于豎直方向，物體的速

22、度方向也越來越趨近于豎直方向，如 圖所示，圖中9 2V 0 1。由機械能守恒定律可知V2V1，由運動的分解不難得知，物體經過 A B兩位置時豎直方向的分速度大小關系為V2yV1y。所以，物體在豎直方向的初速度為零且做加速運動，結合物體豎直 方向只受重力作用這一因素，我們不難做出這樣的猜測：平拋運動物體 在豎直方向的分運動是自由落體運動。實驗 按圖所示操作實驗，如果小球 A確實如猜想的那樣豎直方向做V0V2 彈力既可能向上又可能向下，如管內轉（或桿連球、環(huán)穿珠）可以取任意值。但可以進一步討論：當V 、. gR時物體受到的彈力必然是向下的；當v ；gR時物體受到的彈力必然是向上的； 當. gR時物

23、體受到的彈力恰好為零。 當彈 力大小Fmg時，向心力只有一解： F +mg當 彈力F=mg時，向心力等于零?！纠?3】如圖所示，桿長為 L,球的質量為 m桿連球在豎直平面內繞軸0自由轉動，已知在最高點處，桿對球的彈力大小為F=0.5mg，求這時小球的瞬時速度大小?！纠?4】如圖所示的裝置是在豎直平面內放置光滑的絕緣軌道，處于水平向右的勻強電場中，以帶負電荷的小球從高 h的A處靜止開始下滑，沿軌道ABC運動后進入圓環(huán)內作圓周運 動。已知小球所受到電場力是其重力的3/4,圓滑半徑為R,斜面傾角為B, sBC=2R若使小球在圓環(huán)內能作完整的圓周運動，h至少為多少？自由落體運動，那么 A、B兩小球在空

24、中運動的時間應該相等，同時下落，同時著地。仔細 觀察（不僅用眼看，更要用耳仔細聽）可以得知，不管小球距地面的高度為多大，也不管小錘擊打金屬片的力度多大（小錘擊打金屬片的力度越大，A小球水平拋出的初速度越大），兩小球每次都是同時落地。結論 上述實驗中，兩小球每次都是同時落地， 這說明兩小球在空中運動的時間相等，也 就說明了平拋運動物體在豎直方向的分運動是自由落體運動。2、探究平拋運動物體在水平方向的運動規(guī)律 思路要想知道平拋運動物體在水平方向上運動的特點，關鍵在于找到物體的水平位移隨時間變化的規(guī)律。因此，我們可測量幾段相等時間間隔內物體在水平方向上的位移，找 出其特點，看看這些位移是否相等。 實

25、驗設法通過實驗得到平拋運動的軌跡；在平拋運動的軌跡上找到每隔相等時間物體所到達的位置；測量兩相鄰位置間的水平位移，分析這些位移的特點。那么，如何通過實驗得到平拋運動的軌跡呢？教材提出了三個參考案例：案例一：利用水平噴出的細水柱顯示平拋運動軌跡； 案例二：利用斜面小槽等裝置記錄平拋運動軌跡； 案例三：利用數(shù)碼照相機或數(shù)碼攝像機記錄平拋運動軌跡。怎樣才能找到軌跡上每隔相等時間平拋物體所到達的位置呢？有同學可能會提出選用秒表以便測時間，這是不對的，因為平拋運動時用秒表測時間很難準確操作，這會帶來較大誤差。通過前面的實驗探究我們已經知道，平拋運動在豎直方向上的分運動是自由落體運動,1 2而自由落體運動

26、下落的高度h是與運動時間t的二次方成正比的，即h=gt2。因此，圖中在豎直坐標軸 y上，從原點開始向下任取一個坐標為h的點,再找到坐標為4h、9h、16h 的點。在物體運動過程中，縱坐標從其中一個位 置運動到下一個位置所用的時間都是相等的。過這些點做水平線與軌跡相交， 交點就是每經相等時間物體所到達的位置。在誤差允許范圍內，實驗測得它們 對應的橫坐標可表示為I、21、31,可見在相等的時間間隔內物體在水平方 向的位移相等。 結論 在相等的時間間隔內物體在水平方向的位移相等，這說明平拋運動在 水平方向做勻速直線運動3、描繪平拋運動的軌跡為記錄平拋運動軌跡，實驗室中較常用的方法是教材介紹參考案例2

27、：利用實驗室的斜面小槽等器材裝配圖所示的裝置。鋼球從斜槽上同一位置滾下，鋼球在空中做平拋運動的軌跡就是一定的。設法用鉛筆描出小球經過的位置。通過多次實驗，在豎直白紙上記錄鋼球所經過的多個位置，連起來就得到鋼 球做平拋運動的軌跡。該實驗所需器材包括：附帶金屬小球的斜槽，木板及豎直固定支架，白紙，圖釘，刻 度尺，三角板，重錘，鉛筆等。實驗步驟如下: 安裝調整斜槽用圖釘把白紙釘在豎直板上，在木板的左上角固定斜槽，可用平衡法調 整斜槽，即將小球輕放在斜槽平直部分的軌道上，如小球能在任意位置靜止，就表明水平 程度已調好。 調整木板 用懸掛在槽口的重錘線把木板調整到豎直方向，并使木板平面與小球下落的 豎直面平行，然后把重錘線方向記錄到釘在木板上的白紙上，固定木板，使在重復實驗的 過程中，木板與斜槽的相對位置保持不變。 確定坐標原點把小球放在槽口處，用鉛筆記下小球在槽口時球心在木板上的水平投影點O 0即為坐標原點。 描繪運動軌跡用鉛筆的筆尖輕輕地靠在木板的平面上，不斷調整筆尖的位置，使從斜槽上滾下的小球正好碰到筆尖，然后就用鉛筆在該處白紙上點上一個黑點，這就記下了小球 球心所對應的位置。保證小球每次從槽上開始滾下的位置都相同，用同樣的方法可找出小 球平拋軌跡上的一系列位置。取下白