電磁場(chǎng)與電磁波(第三版)課后答案第1章

1、第一章習(xí)題解答給定三個(gè)矢量A、B和C如下:A =ex+ev2-e:3B =Yv4 + qC = 5-0-2求：(1 ) aA : (2) |A-B|； (3) a； &肋;(5) a 在 B 上的分量;(6) AxC ；(7) A(BxC)和(Ax)C； (8) (AxB)xC 和 Ax(xC)。解ex+ey2-ez3Vl2 + 22+(-3)2 A-B =|(ex + ev 2 - e. 3) - (-e v 4 + e,) | = |cv +ey6-e.4| = -53(3) AB= (J +務(wù)2-3) (-j.4 +j) = 11(4 )由e,B = cos (- -y=) = 135.

2、54B _ 11 _H_|A|B| V14xV17 7238(5)A在B上的分量 A = |A|cos%=節(jié)船(6)AxC =J ey ez12 - 350-2=一 “4一0、13-0.10x (7)由于BxC= 0 -4 1 =ev8 + ev5 + 2050-2AxB =12 -3 = -et10-evl-e.40 -41所 以xC) = (e* +e、.2e；3)(v8 + e.,5 + e：20) = 42(AxBC = (一e0-1 一e：4) 5-e：2) = -42 J 務(wù)e.(8) (AxB)xC= -10 -1 -4 =er2-ev40 + e;550-255冬Ax(BxC)

3、=12-3=耳55-e、44 一 e；ll8520三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為人(0丄-2)、P2 (4,1,-3)和P5 (6,2,5) o(1) 判斷是否為一直角三角形；(2) 求三角形的面積。解(1)三個(gè)頂點(diǎn)片(0,1,-2)、/(4,1,-3)和璟6,2,5)的位置矢量分別 為2, r2=ex4+ey-ez3 f r3=ex6+ey2+ez5則Rn=rir =4-e：,Riy=r-r2 =ex2 + ey+e.S ,尺31=斤_巧=一乙6_0_冬7由此可見RifRy = (v4-c.)(v2 + ev +e.8) = 0故糾出出為一直角三角形。(2) 三 角 形 的 面 積S = -|/?l2x

4、l?23| = -|7?12|x|7?23|=丄 Vi7x 他= 17.132 2 2求P(-3丄4)點(diǎn)到P(2,-2,3)點(diǎn)的距離矢量R及R的方向。解 rpf=-ex3 + ey+ez4 , rp = j2yv2 + j3 ,且Rp、p與x、y、z軸的夾角分別為給定兩矢量A=ex2 + ey3-e:4和 =54-匕5 +耳6,求它們之間的 夾角和4在B上的分量。解A與B之間的夾角為&AB一31V29x/77)=13A在B上的分量為A廠4侖=7= = -3.532給定兩矢量 A=ex2 + ey3-eA 和 B = -ex6-ey4 + e：,求 AxB 在 C =乞- j+q上的分量。解 A

5、x= 23-4 = -03 + y22 + e()-6 -41所以AxB在C上的分量為(AxB)c證明：如果 A.B = A.C 和 4xB = AxC,貝 Ub = C；解由 AxB = AxC ,則有 Ax(AxB) = Ax(AxC),即(AB)A 一 (AM)B = (AC)A 一 (AA)C由于AB=AC,于是得到 (AA)B = (AA)C故B=C如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么 便可以確定該未知矢量。設(shè)A為一已知矢量，P = AX而P = AxX, P 和P已知，試求X。解由P = AxX 9有AxP = Ax(AxX) = ()A (AA)X = pA AA

6、)X故得x = pA-AxPAM在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由(4,年,3)定出，求該點(diǎn)在：(1) 直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)；(2)球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。解(1)在直角坐標(biāo)系中 x = 4cos(2/3) = 2 y = 4sin(2/3) = 2 /3 Z = 3故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(-2,2點(diǎn)3)。(2)在球坐標(biāo)系中 廣=存廚=5、6 = tan_,(4/3) = 53.1 = 2/3 = 120故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為(5,53.1。, 120。)用球坐標(biāo)表示的場(chǎng)E=e三,廣(1 )求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(-3,4,-5)處的E和Ex ;(2)求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(-3,4,-5)處E與矢量B =ex2-ey2+ez構(gòu)成 的

7、夾角。解(1)在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(一3,4,-5)處,r2 =(-3)2+42+(-5)2 =50 , 故丄2尸刀I創(chuàng) q 1 一33近Er =eE =Ecos0 =x=-v r 1 1 rr 2 5/220(2)在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(-3,4,-5)處，r = -ex3 + eyA-ez5 ,所以廠 25 25rYv3 + y4 - “510/2E = - 一故 E 與 B 構(gòu)成的夾角為 0EB = cos-1 （/： ） = cos-1 （- = 153.6間網(wǎng)3/2球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn)（斤0,0）和（巧,&2妙）定出兩個(gè)位置矢量&和 %。證明&和禺間夾角的余弦為cos 丫 = cos q cos 02

8、+ sin 0 sin 02 cos( 0)解 由R =exr sinq cos +ej sin sig +ej cosqR、=sin cos必 +ev/; sin0. sin% +ej; cos3得到cos/岡陶sin q cos 叭 sin & cos 必 + sin sin g sin 02 sin 0 + cos cos & =sin q sin (cos 叭 cos 0 +】sin 琳 sin 0) + cos q cos 0、=sin q sin 0 cos(g 0J + cos q cos 02一球面S的半徑為5,球心在原點(diǎn)上，計(jì)算：43sin&)dS的S值。3sind/9=75

9、2解 g3sin&)dS =g3sin&)*erdS = jgjSo o在由r = 5、z = 0和乙=4囲成的圓柱形區(qū)域，對(duì)矢量A =err2 +e.2z 驗(yàn)證散度定理。解在圓柱坐標(biāo)系中V.A = - (rr2) + (2) = 3r + 2r drdz.42才5所以J A dr = jdzjdj (3r + 2)rd r = 1200/r rooo又=rdr = J |J3r2sinrdrooo求矢量A =exx+eyx2 +e.y2z沿心平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方 形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求 xA對(duì)此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。解A*d/ =

10、Jxdx-Jxdx +j*22 d y-JOd y = 8又所以故有Vx A =y y60dx dy= ex2yz + e:2x2 2V x Ad S = J J (ex 2yz + e: 2x)叫 dxdy = 8 0 0扌 Ad / =8 = j Vx Ad Scs求矢量A = exx+eyxy2沿圓周x2 + y2 =a2的線積分，再計(jì)算VxA對(duì) 此圓面積的積分。解AdZ =(j)xdx + xydy= f(_fl2 cossin+a4 cos2 sin2 )d = c ci4fVxA.dS = fe_(-).,d5= fy2dS= j f r2 sin2 rddr = iidyfH4證

11、明：(1 ) ? = 3； (2) VxR = O : (3) V(A7?) = A 0 其中 R=exx + ery + ezz 9 a 為一常矢量。解(1) “占+警+鼻3ox cy czudddnoxdydzxyy(3) 設(shè)A=exAx +eyAy +ezAz, ji! AR = Axx + Ayy + Azz ,故qeV(A7?) = rv (Axx + Av v + A. z) + e v (Axx + Ayy + A.z) +dx dyQez (Axx + Ayy + Azz) = ex +S4 +冬4 = A 6z一徑向矢量場(chǎng)F=erf(r)表示，如果VF=O,那么函數(shù)/(門會(huì)

12、有什么特點(diǎn)呢解 在圓柱坐標(biāo)系中，由 VeF=lA(r) = or dr可得到/(r) = -C為任意常數(shù)。r在球坐標(biāo)系中，由 V.F=-lr/(r) = Or d r可得到/(D = r給定矢量函數(shù)E = exy + evx ,試求從點(diǎn)R(2,1,-1)到點(diǎn)P2(& 2,-1)的 線積分jEd/： (1)沿拋物線x = /： (2)沿連接該兩點(diǎn)的直線。這 個(gè)E是保守場(chǎng)嗎|Ev d x + Ev d y = J y d x + xd y = cc(2)連接點(diǎn)A(2,l,-1)到點(diǎn)人(82-1)直線方程為x-6y+4=0故22jEd/ = JE dx + Evdy = Jyd(6y_4) + (6

13、y-4)dy = j(12y-4)dy = 14 cc11由此可見積分與路徑無(wú)關(guān)，故是保守場(chǎng)。求標(biāo)量函數(shù) = x2yz的梯度及”在一個(gè)指定方向的方向?qū)?shù)， 此方向由單位矢量J嵩+ ev捺+冬捺定出；求3,1)點(diǎn)的方向?qū)?shù) 值。解V境宀）+諾心）+詩(shī)宀）=ex2xyz. +evx2z+故沿方向勺7掃f忌7島的方向 導(dǎo)數(shù)為6屮cl點(diǎn)（2,3,1）處沿勺的方向?qū)?shù)值為6”3616601121F = W+W+75o = 75o試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中今+斜嚳相似的方法推導(dǎo) 圓柱坐標(biāo)下的公式V.A = 1(Mr) + + o r drrd(f dz解 在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題圖所示。矢量場(chǎng)4沿-方向

14、穿出該六面體的表面的通量為算=J J 人丄+曲 + 心)- J J Ar|frdrd0 Z0 Z(r + Ar)Ar(r + A/0,z) rArr.札)A0z a %)ArA0z =-“兒)Ar drr dr同理r+3r z+Azr+Ar z+HJ J Ajgod/dzr z-J f A|drdzoAaoAa比(幾0 + A0,z)-A0(/0z)JAAz 2 ArAlz = Ar60rcr+Ar 什? d? d- j j Aj.rdrdr+Ar 0+A0J J Alr 0rA.(/ 0, z + Az) 一 A：(匚 0 z)rArAAz az+士絲廠3竝=絲厶dzdz因此，矢量場(chǎng)4穿出該

15、六面體的表面的通量為匹=”,.+咒+氏1-/ dr rd（f） dz.：+ -（）r Qr廠 60dz故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式竺=1皿)丄訊丄汎方程w=4+4+4給出一橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單/ lr c位法向矢量。解由于故橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量為現(xiàn)有三個(gè)矢量A、B、C為A=er sin cos(/ + ee cos 0 cos 0 - sin 0 B=erzr sin(j+ez2 cos0+e:2rzsin0 C =ex(3y2 -2x)+eyx2 +e:2z,(1) 哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示哪些矢量可以由 一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示(2) 求出這些矢量的源分布。解

16、(1)在球坐標(biāo)系中1_d_rsinO dO（sin&AG）+rsin d（/| Q| q6r (尸 sin & cos。) +(sin & cos 0 cos 0) +(sin 0)=r orrsn0 dO廠 sin & 60-sin cosrsin0dOcos0 2 sin cos cos。=u rsinddrArsinOrrsine.0d_麗rsinOAread麗rAe1r2 sin 0sin cosddO廠COS。COS 0rsinOed_d(t一廠sin Osin。=0故矢量4既可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個(gè)矢量函 數(shù)的旋度表示；在圓柱坐標(biāo)系中2 6 0 Q、1 SB, 6

17、BVB =(叫)+ =r drr d(/ dzIO/。 八 15.7八八(7z sin 0) +(z cos ) + (2rz sin )= r drr d(/dzFsin。 zsin0夂 人一+ 2r sin (p = 2r sin(/5 e ezSreeezd d d_ 1ddddr d(f dzdrd(fdz.Br 叫 B.z2 sin rz1 cos 2/7 sin=0VxB = -r故矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示;直角在坐標(biāo)系中二些+些+些=dx dy dzd .d . d-(3/-2x) + (x2) + -(2z) = 0 oxdy ozVxC = e：(2x-6y)6 d

18、d dx dy dz 3b_2x x2 2z故矢量C可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示。(2)這些矢量的源分布為VB = 2rsin , VxB = 0 :V.C = 0 , VxC=c:(2x-6y)利用直角坐標(biāo)，證明V.(/4) = /V.A + A.V/解在直角坐標(biāo)中罕讐“羨詩(shī)+ Aoy ozox cydz(/讐+譜)+(/讐+ A孚)+ (讐+譜)=ox ox oy oy dz cz歆鳳)+舟備)+舟證明V.(Ax/7) = HVxA-A.Vx/f解 根據(jù)算子的微分運(yùn)算性質(zhì)，有Ve(Ax/f) = V4e(Ax/7) + Vz/e(AxH)式中V.4表示只對(duì)矢量A作微分運(yùn)算，J表示只對(duì)矢量H作微分運(yùn) 算。由 ab xc) = ca xb),可得同理故有Va.(A X H) = H.(y