元法基礎(chǔ)試題

1、有限元法基礎(chǔ)試題A）、填空題（5X 2 分）單元?jiǎng)偠染仃噆eBTDBd中，矩陣B為 矩陣D為邊界，具體指邊界條件通常有兩類。通常發(fā)生在位置完全固定不能轉(zhuǎn)動(dòng)的情況為 定有限的非零值位移的情況，如支撐的下沉，稱為 邊界 內(nèi)部微元體上外力總虛功：d Wex ,xxy, yFbxuxy ,xy ,y Fbyv dxdy+ x u,xy v,yxyu,yu,x dxdy 的表達(dá)式中，第一項(xiàng)為 的虛功，第二項(xiàng)為 的虛功彈簧單元的位移函數(shù) N1+N2=。kij 數(shù)學(xué)表達(dá)式：令 d j =， dk =， k j ，則力 Fi kij 。二、判斷題（ 5X 2 分）位移函數(shù)的假設(shè)合理與否將直接影響到有限元分析的

2、計(jì)算精度、效率和可靠性。 （）變形體虛功原理適用于一切結(jié)構(gòu)（一維桿系、二維板、三位塊體） 、適用于任何力學(xué)行為 的材料（線性和非線性） ，是變形體力學(xué)的普遍原理。 （ ） 變形體虛功原理要求力系平衡，要求虛位移協(xié)調(diào)，是在“平衡、協(xié)調(diào)”前提下功的恒等關(guān) 系。 （ ）常應(yīng)變?nèi)菃卧凶冃尉仃囀?x或y的函數(shù)。（）對(duì)稱單元中變形矩陣是x或y的函數(shù)。（）三、簡(jiǎn)答題（ 26 分）列舉有限元法的優(yōu)點(diǎn)。 （8 分） 寫出有限單元法的分析過(guò)程。 （8 分） 列出 3種普通的有限元單元類型。 （6 分） 簡(jiǎn)要闡述變形體虛位移原理。 （4 分）四、計(jì)算題（ 54 分）對(duì)于下圖所示的彈簧組合，單元的彈簧常數(shù)為100

3、00N/m,單元的彈簧常數(shù)為20000N/m 單元的彈簧常數(shù)為10000N/m確定各節(jié)點(diǎn)位移、反力以及單元的單元力。（10分）對(duì)于如圖所示的桿組裝，彈性模量 E為10GPa桿單元長(zhǎng)L均為2m橫截面面積A均為2 X 10-4m，彈簧常數(shù)為2000kN/m所受荷載如圖。采用直接剛度法確定節(jié)點(diǎn)位移、作用力 和單元的應(yīng)力。（10分）對(duì)稱桁架如圖（a）所示，桿單元彈性模量均為E,橫截面面積均為A,單元長(zhǎng)度如圖，根 據(jù)對(duì)稱性，求圖（b）的整體剛度矩陣。（12分）（ a）（ b）如圖所示的平面桁架，確定轉(zhuǎn)換矩陣 Ti，并寫出Ti K Ti T （10分）確定下圖所示梁的各節(jié)點(diǎn)位移。梁已按節(jié)點(diǎn)編號(hào)離散化。梁在

4、節(jié)點(diǎn) 1 固支，節(jié)點(diǎn) 2有滾柱 支撐，節(jié)點(diǎn)3作用有垂直向下的力 P=50kN令沿梁彈性模量E=210GPa 1=12 X 10-4ni,梁 單元長(zhǎng)L=3m彈簧常數(shù)k=200kN/m （12分）參考答案（A：一、填空題（5X 2分）變形矩陣或應(yīng)變矩陣彈性矩陣或本構(gòu)關(guān)系矩陣齊次邊界 非齊次邊界微元體上外力在隨基點(diǎn)剛體平移所做虛功外力在微元體變形虛位移上所做虛功1_ 1_ 1 _0_ 二丁 0斷題（5X 2 分：2 2 2x2三、簡(jiǎn)答題（26分）答：優(yōu)點(diǎn)有：很容易地模擬不規(guī)則形狀結(jié)構(gòu)；可以很方便地處理一般荷載條件；由 于單元方程是單個(gè)建立的，因此可以模擬由幾種不同材料構(gòu)成的物件；可以處理數(shù)量不 受限

5、制和各類邊界條件；單元尺寸大小可以變化；改變模型比較容易可以包括動(dòng)態(tài) 作用可以處理大變形和非線性材料帶來(lái)的非線性問(wèn)題。 （8分）答：有限元方法的一般步驟有：離散和選擇單元類型；選擇位移函數(shù)；定義應(yīng)變位 移和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系；推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚭头匠?；組裝單元方程得出總體方程并引入邊 界條件；求解未知自由度；求解單元應(yīng)變和位移；解釋結(jié)果。（8分）答：彈簧單元，桿單元，梁?jiǎn)卧?，軸對(duì)稱單元，常應(yīng)變?nèi)菃卧?，線應(yīng)變?nèi)切螁卧?，?面體單元等。（任意上述三種均可）（6分）答：變形體虛位移原理：受給定外力的變形體處于平衡狀態(tài)的充分、必要條件是，對(duì)一切 虛位移，外力所作總虛功恒等于變形體所接受的總虛變形功。（4分

6、）四、計(jì)算題（54分）解：沿彈簧建立X坐標(biāo)：（A）每個(gè)彈簧單元?jiǎng)偠染仃嚾缦拢嚎傮w剛度矩陣：（B）總體剛度矩陣方程： 邊界條件：F2x 450N， F3x 0，d1x 0，d4x 0F1x270N，F(xiàn)4x 180N解得：d2x 0.027m，d3x 0.018m，（C）求單元2節(jié)點(diǎn)力解得：f?x 180N，禮 180N解：沿桿單元建立X坐標(biāo)：（A）每個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚾缦拢?1,2 AE 111kk1106L1 113611k32 106N/m11總體剛度矩陣：（B）總體剛度矩陣方程：邊界條件：F2x5000N，F(xiàn)3x0，解得：d2x 0.003m，d3x 0.001m，1N/m1d1x 0，d4x

7、 0F1x3000 N，F(xiàn)4x 2000N（C）單元的應(yīng)力解得：f?x 2000N，f?x2000N2?3x _ 2000x4A 2 1010MPa桿單元受壓有限元法基礎(chǔ)試題（B）一、填空題（5X 2分）,二是整體剛度矩陣方程中節(jié)點(diǎn)荷載由兩部分組成， 常應(yīng)變?nèi)切螁卧奈灰坪瘮?shù) Ni + Nj + Nm =最小勢(shì)能原理與虛位移原理等價(jià)，一個(gè)是以 的形式描述，另一個(gè)用 的形式表達(dá)。計(jì)算軸對(duì)稱單元?jiǎng)偠染仃囉腥N方法，一是采用數(shù)值積分，二是 是基本的三維單元是二、判斷題（5X 2分）邊界條件通常有兩類。通常發(fā)生在位置完全固定不能轉(zhuǎn)動(dòng)的情況為非其次邊界。線應(yīng)變?nèi)切螁卧凶冃尉仃囀?x或y的函數(shù)。桿單

8、元的位移函數(shù)2 + N2 =1。單元?jiǎng)偠染仃噆eBTDBd中，矩陣B為彈性矩陣，矩陣D為變形矩陣。在梁?jiǎn)卧泄?jié)點(diǎn)力與位移的方向規(guī)定應(yīng)該是與材料力學(xué)中規(guī)定是一致的。三、簡(jiǎn)答題（26分）簡(jiǎn)述剛度矩陣的特性。（6分）寫出位移函數(shù)的含義。（4分）寫出推導(dǎo)彈簧單元?jiǎng)偠染仃嚨姆治鲞^(guò)程。（7分）試列舉三種有限元商用軟件，并說(shuō)明各自優(yōu)點(diǎn)。（9分）四、計(jì)算題（54分）對(duì)于下圖所示的彈簧組合，單元的彈簧常數(shù)為2000N/m，單元的彈簧常數(shù)為2000N/m，節(jié)點(diǎn)3處位移S為0.01m，確定各節(jié)點(diǎn)位移、單元力和反力。（10分）如圖所示的桿單元，桿單元彈性模量為E,桿單元長(zhǎng)為L(zhǎng),橫截面面積為A,試分別計(jì)算（a）、 （b

9、）總體x-y坐標(biāo)下的剛度矩陣。（10分）（a）（b）對(duì)稱桁架如圖（a）所示，桿單元彈性模量均為E,橫截面面積均為A,單元長(zhǎng)度如圖，根 據(jù)對(duì)稱性，求圖（b）的整體剛度矩陣。（12分）（a）（b）確定下圖所示梁的各節(jié)點(diǎn)位移。梁已按節(jié)點(diǎn)編號(hào)離散化。梁在節(jié)點(diǎn)2作用有垂直向下的力P=12kN令沿梁彈性模量E=70GPal=2 X 10-4m,梁?jiǎn)卧L(zhǎng)L=4m彈簧常數(shù)k=200kN/m （10 分）如圖所示梁，確定節(jié)點(diǎn)位移，以及每一單元的力和反作用力。梁彈性模量E=70GPa I=3X 10-4m，梁?jiǎn)卧L(zhǎng)L=4m作用在梁?jiǎn)卧木己奢d P為8 kN/m。（12分）參考答案（B）:一、填空題（5X 2分）

10、直接節(jié)點(diǎn)荷載等效節(jié)點(diǎn)荷載1 直功 直接積分對(duì)單元中心點(diǎn)計(jì)算四面體單元二、判斷題（5X 2分）x V V x X三、簡(jiǎn)答題（26分）答：剛度矩陣的特性有：對(duì)稱的；奇異的；主對(duì)角項(xiàng)總是正的。（6分）答：位移函數(shù)的含義：將單元中任意一點(diǎn)的位移近似地表示成該單元節(jié)點(diǎn)的函數(shù)。當(dāng)?shù)趇個(gè)單元自由度為1,而所有其他自由度值為0, M代表在整個(gè)單元域中假定的位移函數(shù)形狀。（4分）答：推導(dǎo)彈簧單元?jiǎng)偠染仃嚨姆治鲞^(guò)程為選擇單元類型；選擇位移函數(shù)；定義應(yīng)變 位移和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系；推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚭头匠?；組裝單元方程得出總體方程并引入 邊界條件；求解節(jié)點(diǎn)位移；求解單元力。（7分）答：ABAQU是一套先進(jìn)的通用有限元系統(tǒng)，

11、屬于高端 CAE軟件。它長(zhǎng)于非線性有限元分 析,可以分析復(fù)雜的固體力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)系統(tǒng)，特別是能夠駕馭非常龐大的復(fù)雜問(wèn)題和模 擬高度非線性問(wèn)題。ABAQU不但可以做單一零件的力學(xué)和多物理場(chǎng)的分析，同時(shí)還可以做系統(tǒng)級(jí)的分析和研究，其系統(tǒng)級(jí)分析的特點(diǎn)相對(duì)于其他分析軟件來(lái)說(shuō)是獨(dú)一無(wú)二的。ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、流體、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、聲場(chǎng)分析于一體的大型通用有限元分析軟件， 發(fā)展了很多版本，但是它們核心的計(jì)算部分變化不大，只是模塊越來(lái)越多。ANSYS系統(tǒng)擅長(zhǎng)于多物理場(chǎng)和非線性問(wèn)題的有限元分析，在鐵道，建筑和壓力容器方面應(yīng)用較多。LS-DYNA是一個(gè)通用顯式非線性動(dòng)力分析有限元程序，最初是1976年在美國(guó)勞倫斯利弗莫爾國(guó)家實(shí)驗(yàn)室由主持開發(fā)完成的，主要目的是為核武器的彈頭設(shè)計(jì)提供分析工具，后經(jīng)多 次擴(kuò)充和改進(jìn)，計(jì)算功能更為強(qiáng)大。LSDYN/長(zhǎng)于沖擊、接觸等非線性動(dòng)力分析。（9分）四、計(jì)算題（54分） 常應(yīng)變?nèi)菃卧?/p>