11-3,4高斯定理

1、1 11-3,4 高斯定理 一、電場線(electric line of field) E 在電場中畫一組曲線，在電場中畫一組曲線， 曲線上每一點的切線方向與曲線上每一點的切線方向與 該點的電場方向一致，這一該點的電場方向一致，這一 組曲線稱為組曲線稱為電場線電場線。 通過無限小面元通過無限小面元dS的的電電 場線數(shù)目場線數(shù)目dN與與dS 的比值稱的比值稱 為電力線密度。我們規(guī)定為電力線密度。我們規(guī)定電電 場中某點的場強的大小等于場中某點的場強的大小等于 該點的電力線密度。該點的電力線密度。 dS E dN E dS 注意：dS 是垂直E 的 2 總結(jié)：總結(jié)：E 方向方向 大?。捍笮。?：切線

2、方向切線方向 dN E dS =電場線密度電場線密度 E c E b c a E b E a 電場線性質(zhì)：電場線性質(zhì)： （1）起于正電荷）起于正電荷(或無限遠或無限遠)，止于負電荷，止于負電荷(或無限遠或無限遠)； （2）不閉合，也不在沒有電荷的地方中斷；）不閉合，也不在沒有電荷的地方中斷； （3）兩條電場線在沒有電荷的地方不會相交。）兩條電場線在沒有電荷的地方不會相交。 3 + 4 + 5 + 6 qq2 7 + + + + + + + + + + + + 8 二、電場強度通量(electric flucx) 通過任一面積元的電場線的條數(shù)稱為通過這一面通過任一面積元的電場線的條數(shù)稱為通過這一

3、面 積元的積元的電場強度通量。（簡稱電通量）。（簡稱電通量） E S 均勻電場均勻電場 ， 垂直平面垂直平面 E ES e cos e ES 均勻電場均勻電場 ， 與平面夾角與平面夾角 E n e SE e E S 9 E E 非均勻電場強度電通量非均勻電場強度電通量 s SEdcosd ee s SE d e e e2 2 d d 2 ,0 2 e e1 1 d d 1 ,0 2 SE dd e n ddeSS 為封閉曲面為封閉曲面S S d E n e 1 dS 2 dS 2 2 E 1 1 E 10 SS SESEdcosd e 閉合曲面的電場強度通量閉合曲面的電場強度通量 SE dd

4、e 例例1 如圖所示如圖所示 ，有一，有一 個三棱柱體放置在電場強度個三棱柱體放置在電場強度 的勻強電的勻強電 場中場中 . 求通過此三棱柱體的求通過此三棱柱體的 電場強度通量電場強度通量 . 1 CN200 iE x y z E o E S d E S 規(guī)定：法線的正方向為指向閉合 曲面的外側(cè)。 11 例例1 如圖所示如圖所示 ，有一，有一 個三棱柱體放置在電場強度個三棱柱體放置在電場強度 的勻強電的勻強電 場中場中 . 求通過此三棱柱體的求通過此三棱柱體的 電場強度通量電場強度通量 . 1 CN200 iE x y z E o 規(guī)定：法線的正方向為指向閉合曲面的外側(cè)。 12 x y z E

5、 o P Q R N M 解解 下右左 后前 eee eee 下后前eee 0d s SE 左左 左 左 ESES s SE cosd e n e n e n e 左右 右 右 ESES s SE cosd e 0 eeeeee 下右左后前 13 kSjSiSSkEjEiEE zyxzyx 2 ( 240) ( 1.1)( 160) 4.2390 2.4 528 Nm / exxyyzz ESESESES C 解：解： 例例2：在均勻電場中，：在均勻電場中，( 240)( 160)390Eijk 通過平面通過平面( 1.1)4.22.4Sijk 的電通量是多少？的電通量是多少？ 14 15 1

6、6 三、 高斯定理（Gauss theorem） 17 在真空中在真空中, ,通過任一通過任一閉合閉合曲面的電場強度通量曲面的電場強度通量, , 等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以 . . 0 （與（與面外面外電荷無關(guān)，閉合曲面稱為高斯面）電荷無關(guān)，閉合曲面稱為高斯面） 高斯定理 1 0 1 n i i S ESq 內(nèi)內(nèi) e e S S d d 請思考：請思考：1 1）高斯面上的高斯面上的 與那些電荷有關(guān)與那些電荷有關(guān) ？ E s 2 2）哪些電荷對閉合曲面哪些電荷對閉合曲面 的的 有貢獻有貢獻 ？ e 18 高斯高斯(Gauss,1777-1855)

7、, 是德國數(shù)學(xué)家是德國數(shù)學(xué)家 ，也是天，也是天 文學(xué)家和物理學(xué)家文學(xué)家和物理學(xué)家 ，他，他 和牛頓、阿基米德，被譽和牛頓、阿基米德，被譽 為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。 高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之 一，在歷史上影響之大，一，在歷史上影響之大， 可以和阿基米德、牛頓、可以和阿基米德、牛頓、 歐拉并列，有歐拉并列，有“數(shù)學(xué)王子數(shù)學(xué)王子” 之稱。之稱。 19 20 + S d （1）點電荷位于球面中心）點電荷位于球面中心 2 0 4 q Er r SS S r q SEd 4 d 2 0 e 0 e q r 高斯定理的導(dǎo)出高斯定理的導(dǎo)出 高斯高斯 定理定理 庫侖定

8、律庫侖定律 電場強度疊加原理電場強度疊加原理 與球面半徑無關(guān)，即以點電荷與球面半徑無關(guān)，即以點電荷q為中心的任一球面，為中心的任一球面， 不論半徑大小如何，通過球面的電通量都相等。不論半徑大小如何，通過球面的電通量都相等。 21 討論：討論： c、若封閉面不是球面，、若封閉面不是球面， 積分值不變。積分值不變。 .00 e aq 電量為電量為q的正電荷有的正電荷有q/ 0條電條電 力線由它發(fā)出伸向無窮遠力線由它發(fā)出伸向無窮遠 電量為電量為q的負電荷有的負電荷有q/ 0 條電力線終止于它條電力線終止于它 00 e q + q b、若、若q不位于球面中心，不位于球面中心， 積分值不變。積分值不變。

9、 0s q EdS 22 (2) 場源電荷為點電荷，但在閉合曲面外。場源電荷為點電荷，但在閉合曲面外。 +q 因為有幾條電力線進面內(nèi)必然有同樣數(shù)目的電力線因為有幾條電力線進面內(nèi)必然有同樣數(shù)目的電力線 從面內(nèi)出來。從面內(nèi)出來。 0 e 0 s SdE 23 (3) 場源電荷為點電荷系場源電荷為點電荷系(或電荷連續(xù)分布的帶電體或電荷連續(xù)分布的帶電體)， 高斯面為任意包圍點電荷系的閉合曲面高斯面為任意包圍點電荷系的閉合曲面 n EEEE 21 n i eienee 1 21 S e SdE s n sS SdESdESdE 21 0 1 i e S S E dSq i q 2 q 1 q 24 （4

10、） 多個點電荷多個點電荷q1,q2,qn，其中，其中k個被任意閉個被任意閉 合曲面合曲面S所包圍，另外所包圍，另外n k個處于個處于S面之外：面之外： 根據(jù)上一條的證明，閉合曲面根據(jù)上一條的證明，閉合曲面S外的外的n k個電荷個電荷 對對S面的電通量無貢獻，面的電通量無貢獻，S面的電通量只決定于其面的電通量只決定于其 內(nèi)部的內(nèi)部的k個電荷，并應(yīng)表示為個電荷，并應(yīng)表示為 k i i qSE 1 0 s 1 d （6） 任意閉合曲面任意閉合曲面S包圍了一個任意的帶電體包圍了一個任意的帶電體 這時可以把帶電體劃分成很多很小的體元這時可以把帶電體劃分成很多很小的體元d ， 體元所帶的電荷體元所帶的電荷

11、dq = d 可看作點電荷，與上面可看作點電荷，與上面 第第3條的結(jié)果一致，這時條的結(jié)果一致，這時S的電通量可表示為的電通量可表示為 d 1 d 0 s SE 25 e 1 0 S 1 d n i S i ESq 內(nèi)內(nèi) 高斯定理 1 1）高斯面上的電場強度為高斯面上的電場強度為所有所有內(nèi)外電荷的總電場強度內(nèi)外電荷的總電場強度. . 4 4）僅高斯面僅高斯面內(nèi)內(nèi)的電荷對高斯面的電的電荷對高斯面的電通量通量有貢獻有貢獻. .電通量電通量 與面外電荷無關(guān)與面外電荷無關(guān) 2 2）高斯面為封閉曲面高斯面為封閉曲面. . 5 5）高斯定理反映了靜電場的基本性質(zhì)高斯定理反映了靜電場的基本性質(zhì)- -靜電場是靜

12、電場是有源場有源場. . 3 3）穿進高斯面的電場強度通量為負，穿出為正穿進高斯面的電場強度通量為負，穿出為正. . 總總 結(jié)結(jié) = = 0，不一定面內(nèi)無電荷，有可能面內(nèi)電荷等量異號。不一定面內(nèi)無電荷，有可能面內(nèi)電荷等量異號。 = = 0，不一定高斯面上各點的場強為，不一定高斯面上各點的場強為 0。 26 表明電力線從正電荷發(fā)出，穿出閉合曲面表明電力線從正電荷發(fā)出，穿出閉合曲面, 所以所以正電荷是靜電場的源頭正電荷是靜電場的源頭。 靜電場是靜電場是有源場有源場 表明有電力線穿入閉合曲面而終止于負電荷，表明有電力線穿入閉合曲面而終止于負電荷， 所以所以負電荷是靜電場的尾。負電荷是靜電場的尾。 0

13、0 ie q 00 ei q 27 已知某高斯面上的電通量為零，則以下描述正確的是：（已知某高斯面上的電通量為零，則以下描述正確的是：（ ） A此高斯面上各點的場強一定為零； B此高斯面內(nèi)一定不存在電荷； C此高斯面內(nèi)不存在電荷或高斯面內(nèi)所有電荷代數(shù)和為零； D以上說法都不對。 一高斯面上場強處處為零，下列說法中錯誤的是：（一高斯面上場強處處為零，下列說法中錯誤的是：（ ） A. 此高斯面內(nèi)不可能存在電荷；此高斯面內(nèi)不可能存在電荷； B. 此高斯面上電通量為零；此高斯面上電通量為零； C. 此高斯面外可能存在電荷；此高斯面外可能存在電荷； D. 此高斯面內(nèi)可能存在電荷。此高斯面內(nèi)可能存在電荷。

14、 點電荷點電荷q q在球形高斯面的中心，當球形高斯面的半徑縮小為原來的在球形高斯面的中心，當球形高斯面的半徑縮小為原來的 一半時，與原球形高斯面相比，它的：（一半時，與原球形高斯面相比，它的：（ ） A高斯面上各點的電場強度不變，穿過高斯面的電通量不變；高斯面上各點的電場強度不變，穿過高斯面的電通量不變； B高斯面上各點的電場強度不變，穿過高斯面的電通量改變；高斯面上各點的電場強度不變，穿過高斯面的電通量改變； C高斯面上各點的電場強度改變，穿過高斯面的電通量改變；高斯面上各點的電場強度改變，穿過高斯面的電通量改變； D高斯面上各點的電場強度改變，穿過高斯面的電通量不變。高斯面上各點的電場強度

15、改變，穿過高斯面的電通量不變。 28 點電荷點電荷 Q 被曲面被曲面 S 所包圍，從無窮遠處引入另一點電荷所包圍，從無窮遠處引入另一點電荷 q至曲面外一點，如圖所示，則引入前后：（至曲面外一點，如圖所示，則引入前后：（ ） A A曲面曲面S S 的電場強度通量不變，曲面上各點場強不變；的電場強度通量不變，曲面上各點場強不變； B B曲面曲面S S 的電場強度通量變化，曲面上各點場強不變；的電場強度通量變化，曲面上各點場強不變； C C曲面曲面S S 的電場強度通量變化，曲面上各點場強變化；的電場強度通量變化，曲面上各點場強變化； D D曲面曲面S S 的電場強度通量不變，曲面上各點場強變化；的

16、電場強度通量不變，曲面上各點場強變化； Q q S 根據(jù)高斯定理的數(shù)學(xué)表達式 , d 0 / i S inside S ESq A A閉合曲面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合曲面上各點的場強一定為零；閉合曲面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合曲面上各點的場強一定為零； B B閉合曲面內(nèi)的電荷代數(shù)和不為零時，閉合曲面上各點的場強一定處處閉合曲面內(nèi)的電荷代數(shù)和不為零時，閉合曲面上各點的場強一定處處 不為零；不為零； C C閉合曲面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合曲面上各點的場強不一定處處閉合曲面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合曲面上各點的場強不一定處處 為零；為零； D D閉合曲面上各點的場強為零時，閉合曲面內(nèi)一定處處無電

17、荷。閉合曲面上各點的場強為零時，閉合曲面內(nèi)一定處處無電荷。 下列說法中正確的是：（ ） 29 如圖所示，在如圖所示，在C點放置點電荷點放置點電荷q1，在在A點放置點電荷點放置點電荷q2， S為包圍為包圍q1的封閉曲面，的封閉曲面，P點是曲面上任意一點。現(xiàn)在點是曲面上任意一點?，F(xiàn)在 把把q2從從A點移到點移到B點，則（點，則（ ）。）。 o C P A B A. . 通過通過S面的電通量改變，但面的電通量改變，但P點的電場強度不變；點的電場強度不變； B. . 通過通過S面的電通量和面的電通量和P點的電場強度都改變；點的電場強度都改變； C. . 通過通過S面的電通量和面的電通量和P點的電場強度

18、都不變；點的電場強度都不變； D. . 通過通過S面的電通量不變，但面的電通量不變，但P點的電場強度改變。點的電場強度改變。 一不帶電導(dǎo)體球殼半徑為一不帶電導(dǎo)體球殼半徑為R，在球心處放一點電荷、測得球殼，在球心處放一點電荷、測得球殼 內(nèi)外的電場，然后將此點電荷移到距球心內(nèi)外的電場，然后將此點電荷移到距球心R/2/2處，重新測量電場。處，重新測量電場。 A. A. 殼內(nèi)外電場均不變化殼內(nèi)外電場均不變化B. B. 殼內(nèi)電場變化、殼外電場不變殼內(nèi)電場變化、殼外電場不變 C. C. 殼內(nèi)電場不變化，殼外電場變殼內(nèi)電場不變化，殼外電場變 D. D. 殼內(nèi)外電場均變化殼內(nèi)外電場均變化 30 四 高斯定理的

19、應(yīng)用 其步驟為：其步驟為：1 1）對稱性分析；）對稱性分析；2 2）根據(jù)對稱性選擇）根據(jù)對稱性選擇 合適的高斯面；合適的高斯面；3 3）應(yīng)用高斯定理計算）應(yīng)用高斯定理計算. . （用高斯定理求解的靜電場必須具有一定的（用高斯定理求解的靜電場必須具有一定的對稱性對稱性） 3. .高斯面上所有各點的場強大小相等，方向與高斯面法線方向一高斯面上所有各點的場強大小相等，方向與高斯面法線方向一 致；致； 或高斯面上某一部分各點的場強方向與高斯面法線方向垂直，高斯面上某一部分各點的場強方向與高斯面法線方向垂直， 該部分的通量為零。而另一部分各點的場強大小相等，方向與該部分的通量為零。而另一部分各點的場強大

20、小相等，方向與 高斯面法線方向一致。高斯面法線方向一致。 2. .高斯面應(yīng)選取規(guī)則形狀。高斯面應(yīng)選取規(guī)則形狀。 1. .高斯面要經(jīng)過所研究的場點。高斯面要經(jīng)過所研究的場點。 cos S EdS 0 q = =目的是將目的是將E E從積分號中提出來。從積分號中提出來。 31 1. 均勻帶電球面的電場均勻帶電球面的電場 4. 均勻帶電球體的電場均勻帶電球體的電場 3. 均勻帶電無限大平面的電場均勻帶電無限大平面的電場 2. 均勻帶電圓柱面的電場均勻帶電圓柱面的電場 5. 均勻帶電球體空腔部分的電場均勻帶電球體空腔部分的電場 32 例例1：求半徑為：求半徑為R的的均勻帶電球體均勻帶電球體在球內(nèi)外各點

21、的場在球內(nèi)外各點的場 強分布。設(shè)球體電荷密度為強分布。設(shè)球體電荷密度為 （或總電量為或總電量為Q） 。 3 00 34 rQ Err r R Rr 3 0 1 4 d 3 S r ES Rr 3 22 00 34 RQ Err rr 解解：因為電荷分布具有球?qū)ΨQ性。：因為電荷分布具有球?qū)ΨQ性。 固選取固選取同心的球面為高斯面。為高斯面。 Q E R r 3 0 3 2 e 4 R Qr rE 1)點在球外 (r R） 0 1 d S ESQ 2 e 0 4 Q Er )點在球內(nèi)(r R） 33 + + + + + + + + + + + O R 例例2 2 均勻帶電球殼均勻帶電球殼的電場強度的

22、電場強度 0d 1 S SE 0E d d 2 0 S Q ES r 1 S 2 0 4 Q Er r 2 0 4 Q r E r 2 s 一半徑為一半徑為 , 均勻帶電均勻帶電 的薄球殼的薄球殼 . 求球殼內(nèi)外任意點的電場強求球殼內(nèi)外任意點的電場強 度度. R Q 2 0 4 Q R rR o E 解（解（1） Rr 0 Rr（2） 34 + + + + + o x y z 例例3 3 無限長均勻帶電直線的電場強度無限長均勻帶電直線的電場強度 下底）上底）柱面）( dd d sss SESESE 選取閉合的柱形高斯面選取閉合的柱形高斯面 無限長均勻帶電直線，單位長度上的電荷，即無限長均勻帶電

23、直線，單位長度上的電荷，即 電荷線密度為電荷線密度為 ，求距直線為，求距直線為 處的電場強度處的電場強度. . r 對稱性分析：對稱性分析：軸對稱軸對稱解解 h S SE d 柱面）( d s SE n e n e n e E + r 35 0 h 0 2 E r 0 2 h rhE d dd d (Ss ESE S 柱柱面面） + + + + + o x y z h n e E + r 36 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

24、 + + + + + + + + + 例例4 無限大均勻帶電平面的電場強度無限大均勻帶電平面的電場強度 無限大均勻帶電平面，單位面積上的電荷，即電無限大均勻帶電平面，單位面積上的電荷，即電 荷面密度為荷面密度為 ，求距平面為，求距平面為 處的電場強度處的電場強度. . r 選取閉合的柱形高斯面選取閉合的柱形高斯面 0 2 E 對稱性分析：對稱性分析： 垂直平面垂直平面 E 解解 0 d S SE S 底面積底面積 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +